Relato de Experiência
LIMITE DE UMA FUNÇÃO: CONTEÚDO VIÁVEL PARA O ENSINO MÉDIO?
GT 02 – Educação matemática no ensino médio e ensino superior.
Lucas Dominguini, IF-SC, [email protected]
Solange Freitas Gomes, Unesc, [email protected]
Ester de Souza Bitencourt Alves, Unesc, [email protected]
Resumo: O Cálculo Diferencial e Integral é uma das ferramentas matemáticas mais aplicáveis.
Porém, o seu ensino tem se restringindo a cursos de Educação Superior. Porém, nos últimos anos
vem se discutindo a sua inserção no Ensino Médio. Alguns autores de livros didáticos do Programa
Nacional do Livro do Ensino Médio (PNLEM) já inserem esse conteúdo em suas obras, porém não
o relacionam com rotinas dos alunos. Dessa forma, o presente trabalho visa relatar uma experiência
docente que buscou formas de inserir o conceito de limite no Ensino Médio por meio de
modelagem matemática de situações cotidianas. São apresentadas duas situações problemas de
partida: um carro em movimento e um tanque de água. A partir disso fazem-se simulações de
movimentos do carro e de operações de enchimento e esvaziamento do tanque. Montam-se gráficos
e busca-se encontrar tendências de valores para a variável dependente quando se dá valores a
variável dependente. Ao final, concluiu-se que a inserção do conteúdo de Limite no Ensino Médio
é uma opção viável, desde que abordada de forma contextualizada.
Palavras-chave: Ensino Médio; Ensino de Matemática; Limite de uma função; contextualização.
Apresentação
A atual conjectura econômica mundial baseia-se no desenvolvimento do
conhecimento científico-tecnológico, principalmente das ciências naturais e exatas. Isto
exige das novas gerações apropriação, em nível básico, de conhecimentos que até então
não faziam parte dos currículos escolares. No campo da Física, por exemplo, questões
envolvendo os conhecimentos oriundos da Física Moderna estão se firmando como um
conteúdo fundamental para a compreensão de tecnologias como a TV digital, a transmissão
sem fio, a energia nuclear. Na área da Matemática, o cálculo diferencial e integral
encontra-se entre esses novos conteúdos que necessitam ser trabalhos no ensino básico.
O currículo do ensino médio deve ser estruturado em conformidade aos Parâmetros
Curriculares Nacionais (PCN’s). É uma das formas de assegurar ao aluno a possibilidade
de ampliar e aprofundar os conhecimentos nas diversas áreas do conhecimento, neste caso,
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os da matemática, de maneira integrada com outras áreas do conhecimento. “Os estudantes
nessa área devem levar em conta que a Matemática busca dar conta de aspectos do real e
que é instrumento formal de expressão e comunicação para diversas ciências (BRASIL,
2000, p. 21)”.
As Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2008, p. 69),
preconizam que os alunos concluintes do Ensino Médio saibam
usar Matemática para resolver problemas práticos do quotidiano; para
modelar fenômenos em outras áreas do conhecimento, compreendam que
a Matemática é uma ciência com características próprias, que se organiza
via teoremas e demonstrações; percebam a Matemática como um
conhecimento social e historicamente construído; caibam apreciar a
importância da Matemática no desenvolvimento cientifico e tecnológico.
O estudo do Calculo Diferencial e Integral é considerado um dos conteúdos
matemáticos mais influentes no desenvolvimento científico e tecnológico atual. Permite
que se obtenha novos processos, equipamentos, métodos no processo de transformação da
natureza, entre outros. Atualmente, esse conteúdo é muito abordado nos cursos superiores
nas áreas de ciências da natureza, engenharias e tecnologias. Sua importância se dá por sua
aplicabilidade em diversas áreas do conhecimento. Porém quando se trata do ensino deste
conteúdo no ensino médio infelizmente este se torna pouco valorizado.
Introduzir conceitos de Cálculo Diferencial e Integral no Ensino Médio auxilia na
compreensão de algumas propriedades, entre elas o limite de uma função, ferramenta
indispensável para a compreensão de fenômenos físicos, como velocidade, força, etc.
Desse modo, a falta desse conteúdo no Ensino Médio, torna a Física mais complexa do que
realmente apresenta ser. Então porque não preparar os alunos no ensino médio, com a
inclusão de conceitos de Limite de uma Função, por exemplo, com estratégias que tornem
mais amplo o aprendizado dos conteúdos?
Com base neste questionamento, o presente trabalho tem por objetivo relatar uma
experiência de ensino de limite de uma função, em uma turma de terceiro ano do Ensino
Médio, a partir da modelagem matemática de fenômenos físicos. Visa desenvolver
modelos matemáticos na qual é fundamental a presença de limite de uma função para sua
compreensão e aplicar esses modelos em outras situações.
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O Cálculo Diferencial e Integral no Ensino Médio: uma proposta investigativa
O Cálculo Diferencial e Integral é uma ferramenta extremamente útil. Suas
variações se fazem presente em quase todas as áreas do conhecimento. Seu maior objetivo
é de propiciar condições de base para o estudo de equações diferenciais, que envolvem
modelos para resolução de problemas relevantes de Física, Química, etc.
Uma introdução ao Calculo Diferencial e Integral fez parte do currículo das escolas
no Brasi por duas vezes. Segundo Carvalho (1996), a primeira em 1891, com a reforma
proposta por Benjamim Constante no início da República e uma segunda vez, no governo
de Getúlio Vargas, na Reforma Capanema, em 1942, constando do currículo escolar
oficialmente até 1961.
Mas ocorreu no Brasil e em outros países, na década de 60 e 70, uma influencia
pelo movimento da Matemática Moderna, alterando assim, alguns conteúdos do ensino de
matemática, dentre eles, houve a exclusão de cálculo.
O ensino de elementos de Cálculo Diferencial e Integral no ensino médio é algo que
está ao alcance dos alunos desse nível de ensino. Ascender a esse conhecimento é de suma
importância, pois esse conteúdo se encontra altamente conexo com a ciência moderna, bem
como a exploração de competência e habilidades matemáticas que possam a vir ser
desenvolvidas pelos próprios alunos. Sobre isso, Ávila (1991, p. 2) menciona que
O cálculo vem desempenhando um papel de grande relevância em todo o
desenvolvimento cientifico-tecnológico. Portanto, descarta-lo no ensino é
grave, porque deixar de lado uma competente significativa e certamente a
mais relevante da Matemática para a formação do aluno num contexto de
ensino moderno e atual.
Em seu artigo Cálculo no segundo Grau, o professor Roberto Costallat Duclos
(DUCLOS, 1992), apóia totalmente a opinião de Ávila, relatando suas experiências
pessoais e profissionais sobre o assunto. Para ambos, desde que seja apresentado de
maneira conveniente, o Cálculo, ao contrário de ser difícil, é muito gratificante, porque traz
idéias inovadoras, pelo poder e pelo alcance de seus métodos.
Atualmente alguns livros didáticos de ensino médio apresentam tópicos relativos do
Cálculo Diferencia e Integral, como limite, derivadas e integrais (GIOVANNI;
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BONJORNO, 2005). Infelizmente trazem este conteúdo na 3ª série, ou seja, no final do
curso, onde pouco se pode aproveitar do estudo. Entretanto, na maioria das vezes, estes
temas não são ensinados sob o pretexto de serem difíceis e impróprios.
Devido algumas justificativas tais como falta de tempo para trabalhar o conteúdo,
conteúdo muito difícil para o ensino médio, os professores acabam por não abordando em
suas aulas esse tema. O Cálculo passou a fazer parte do livro didático, mas não do
currículo de ensino médio, o que o torna então, pouco valorizado, gerando assim,
deficiências na aprendizagem que acabam refletindo no ensino superior.
Para Palis (1995, p. 22) os cursos superiores que apresentam a disciplina de Cálculo
apresentam índices a absurdamente elevados de abandono e insucesso, principalmente no
primeiro de sua sequência. Estes índices, por si só, já apontam a necessidade de se buscar
alternativas de ação pedagógica que, aliadas as outras medidas, possam dar conta desse
problema que, desde muitos anos, subsiste na universidade.
Com isso, o Cálculo faz parte do livro didático, mas não do currículo do ensino
médio. Ávila (1991) destaca que a justificativa que os programas de matemática são
extensos e não comportariam a inclusão do cálculo é um equivoco. Segundo o autor, os
programas estão mal estruturados. Para o autor, os professores insistem em exercer
programas longos, com conteúdos fragmentados sem significados. Em sua opinião,
aproveitar o tempo com o ensino das noções básicas do Cálculo e suas aplicações seria
mais proveitoso. Porém, a Proposta Curricular de Santa Catarina (SANTA CATARINA,
1998, p. 105) afirma que,
A Matemática ainda é vista somente como uma ciência exata – pronta e
acabada, cujo ensino e aprendizagem se dão pela memorização ou por
repetição mecânica de exercícios de fixação, privilegiando o uso de
regras e ‘macetes’. [...] a Matemática é entendida apenas como
ferramenta para a resolução de problemas ou como necessária para
assegurar a continuidade linear do processo de escolarização, não
contemplando a multiplicidade de fatores necessários ao desenvolvimento
de uma efetiva educação Matemática.
Com esse pensamento, o ensino de quaisquer um dos elementos básicos do Cálculo
seria muito tormentoso para o aluno do Ensino Médio. Porém, um ensino feito de maneira
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contextualizada e integrada a um contexto real é uma saída possível para o ensino de
limite, por exemplo.
Tendo o professor à função de mediador do processo de substituição do
conhecimento advindo das rotinas cotidianas do aluno, o senso comum, pelo conhecimento
historicamente produzido e sistematizado, o conhecimento cientifico, este necessita de
materiais de apoio e suporte para a atividade docente. Assim, explicita-se abaixo uma
metodologia para ensino de limite de uma função por meio de exemplificações práticas.
Isto propicia aos alunos uma primeira visão mais ampla e global de como o conhecimento
Matemático pode ser articulado a outras disciplinas.
Metodologia, Resultados e Discussão
O presente projeto foi esboçado e aplicado em uma turma de 3º ano do Ensino
Médio. Trata-se de uma pesquisa que visa aplicar uma metodologia de ensino para um dos
componentes integrantes do cálculo, o limite de uma função, por meio de situações
cotidianas. O objetivo é fazer com que o aluno compreenda, por observações próprias, este
conceito. Para isso, utiliza-se de dois exemplos do cotidiano dos alunos: o movimento de
um carro e um tanque de água.
Um carro em movimento progressivo e passa pela origem da trajetória em t = 0s ,
com uma velocidade escalar constante de 6m / s . A tabela 01 demonstra as posições do
objeto ao longo do tempo.
Tabela 01: Posição (x, em m) em função do tempo (t, em s)
t (s)
0
1
2
3
4
5
x (m)
0
6
12
18
24
30
Plotando os dados em um gráfico (Figura 01) posição (x) em função do tempo (t), é
possível explorar limites de função.
Posição (m)
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35
30
25
20
15
10
5
0
0
2
4
6
Tempo (s)
Figura 01: Gráfico x(t)
Questões como “O que acontece com os valores de posição, quando o tempo se
aproxima de 4 s?” ou “O que acontece com os valores de posição quando o tempo se
aproxima de zero?” são questionamentos feitos aos alunos. A partir desses
questionamentos surgem as respostas.
Para a primeira pergunta, os alunos facilmente responderam que os valores de
posição para um tempos próximos de 4 s são próximos de 24 m. Assim, foi possível
demonstrar para os alunos que, quanto mais próximo de 4 s for o tempo, mais próximo ele
estará da posição 24 m. Logo, foi possível escrever a função de limite (Eq. 1).
lim x(t ) = 24
Eq. 1
t →4
Para a segunda pergunta, os alunos responderam que para valores de tempo
próximos a 0 s, a posição do objeto tende a também a 0 m. Diferente do que ocorreu no
primeiro questionamento, neste caso só é possível ter valores de tempo acima de zero. Com
isso, explicou-se o limite pela esquerda e pela direita. Assim, foi possível escrever as
funções de limite da função. Para valores de tempo que se aproximam de zero pela direita,
a posição tende a zero (Eq. 2). Mas não existem valores de tempo que se aproximam de
zero pela esquerda (Eq. 3)
lim x(t ) = 0
t →0 +
Eq. 2
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lim x(t ) =
Eq. 3
t →0−
Após essa exposição, partiu-se para o segundo exemplo, o tanque de água. Esse
exemplo foi explorado de duas formas: o esvaziamento de um tanque cheio de água e o seu
posterior enchimento.
Tendo um tanque cheio de água, ao abrir uma tampa no fundo do reservatório, a
água iniciará o escoamento. Supondo que sua taxa inicial de vazão seja de 0,4 L / s , o que
acontece com esta vazão ao longo do tempo? Observa-se que a vazão da água diminui, isto
porque a vazão depende diretamente da pressão exercida pela altura da coluna de água do
tanque e com o escoamento da água, esta coluna diminui sua altura.
Ilustrando essa situação em um gráfico (Figura 02), observa-se que a taxa de vazão
(V, em L/s) diminui em função do tempo (t, em s) até que todo o líquido contido no tanque
se tenha esvaído.
0,45
0,4
0,35
Vazão (L/s)
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
2
4
6
8
10
Tempo (s)
Figura 02: Gráfico V(t)
O gráfico acima serviu para se trabalhar limites para o eixo do x tendendo ao
infinito. Para a presente função, para valores de tempo muito grandes (infinitos) os valores
de vazão se aproximam de zero. Assim, pôde-se escrever a Eq. 4.
limV (t ) = 0
t →∞
Eq. 4
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Supõe-se, agora, que uma torneira seja acoplada neste tanque. Tem-se uma entrada
e uma saída de fluido (Figura 03). Em um momento inicial, a vazão de entrada, supõe-se
aqui constante, é maior que a vazão de saída. Com isso, gera-se um acúmulo de fluido no
interior de um taque. Com o passar do tempo, a altura h da coluna de líquido aumenta,
elevando a pressão e, por consequência, aumentando a vazão de saída. Supondo um tanque
grande o bastante para não transbordar, esse aumento vai ocorrer até que, em determinado
instante, a vazão de entrada se igualará a vazão de saída.
Figura 03: Esquema de um Tanque
Realizou-se, então, um estudo do comportamento da altura h da coluna no tanque.
Simulando valores em um gráfico, inicialmente a altura da coluna sobe rapidamente, visto
que a vazão de saída é baixa. Com o tempo, a altura da coluna aumenta gradativamente em
valores cada vez menores para um mesmo intervalo de tempo, até que se estabeleça um
equilíbrio entre vazão de entrada e saída. A partir desse momento, a altura da coluna não se
altera mais. Colocando isso em um gráfico (Figura 04), os alunos puderam observar
melhor a situação.
Relato de Experiência
2,5
Altura (m)
2
1,5
1
0,5
0
0
2
4
6
8
10
Tempo (s)
Figura 04: Gráfico V(t)
Com essas informações, os alunos foram instigados a escrever o limite da função
quando o tempo se estende ao infinito. Ao contrário do gráfico anterior onde a vazão tendia
a zero, neste caso a altura do tanque tende a 2 m. Assim, a nova equação de limite será
lim h(t ) = 2
Eq. 5
t →∞
A Eq. 5 mostrou aos alunos que nem sempre os limites de uma função, cuja
variável independente tenda ao infinito, terá como resposta zero.
Considerações Finais
O ensino de elementos de Cálculo Diferencial e Integral no Ensino Médio é uma
opção viável e interessante. Uma abordagem contextualizada permite aos alunos
compreenderem os conceitos matemáticos e associá-los a questões reais. A modelagem
matemática de experimentos nesta etapa de escolarização é fundamental para que os alunos
compreendam que esse componente curricular tem suma importância na explicação de
fenômenos naturais diversos.
Os exemplos acima explicitados e aplicados em sala de aula demonstram que o
limite de uma função está presente em situações diversas da vida humana. Aplicá-las no
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Ensino Médio depende principalmente do professor. Nesse caso, cabe aos formadores de
novos professores instigarem os acadêmicos de matemática a efetivar o ensino desse
conteúdo na Educação Básica, visto que ele é uma realidade já presente nos livros
didáticos. Desta forma, responde-se positivamente ao questionamento feito pelo título
desse trabalho, ou seja, Limite é um conteúdo viável e possível de ser ministrado para o
Ensino Médio.
Referências
ÁVILA, Geraldo. O ensino de Cálculo no 2º grau. Revista do Professor de Matemática, nº
18. Sociedade Brasileira de Matemática, 1991.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Básica. Parâmetros
Curriculares Nacionais: ciências da natureza, matemáticas e suas tecnologias. vol. III.
Brasília: MEC, 2000.
______. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Básica. Orientações curriculares
para o ensino médio: ciências da natureza, matemática e suas tecnologias. vol. 02. Brasília:
MEC, 2008.
CARVALHO, J. B. P. de. O cálculo na escola secundária: algumas considerações
históricas. Caderno Cedes. Campinas: Papirus, n. 40, p. 68-81, 1996.
DUCLOS, R.C. Cálculo no Segundo Grau. Revista do Professor de Matemática, n.20, Rio
de Janeiro, Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), 1992, p.26-30.
GIOVANNI, J.R.; BONJORNO, J. R. Matemática completa. 2. ed. São Paulo: FTD, 2005.
PALIS, Gilda de la Rocque. Computadores em Cálculo uma alternativa que não de
justifica por si mesma. Temas e Debates. Revista da Sociedade Brasileira de Educação
Matemática, São Paulo, ano 8, n.6, p. 22-38, Abr. 1995.
SANTA CATARINA. Secretaria de Estado da Educação e do Desporto. Proposta
curricular de Santa Catarina: educação infantil, ensino fundamental e médio. Disciplinas
curriculares. Florianópolis: COGEN, 1998.