1
2
Potenciação
Dados um número real positivo a e um
número natural n diferente de zero, chama-se
potência de base a e expoente n o número an que é
igual ao produto de n fatores iguais a a.
an = a . a . a . ... . a
Exemplos:
a) 23 = 2 x 2 x 2 = 8
b) (-1)5 = (-1)x(-1)x(-1)x(-1)x(-1) = -1
Fundamentos Tecnológicos
Potenciação, radiciação e operações
algébricas básicas
Prof. Flavio Fernandes
3
4
Propriedades
Propriedades
• Produto de potências de mesma base:
an . am = an+m
• Divisão de potências de mesma base:
an : am = an-m
Exemplo
53 . 54 = 53+4 = 57
Exemplo
53 : 54 = 53-4 = 5-1
Mantem-se a base e soma-se os
expoentes.
Mantem-se a base e diminui-se os
expoentes.
5
6
Propriedades
Propriedades
• Potência de potência:
(am)n = am.n
• Multiplicação de potências de mesmo grau
(semelhantes)
an . bn = (a.b)n
Exemplo
(53)4 = 53.4 = 512
Mantem-se a base e multiplica-se os
expoentes.
Exemplo
32 . 22 = (3.2)2
7
8
Propriedades
Propriedades
• Divisão de potências de mesmo grau
(semelhantes)
an : bn = (a:b)n
• Potência de expoente nulo:
Toda potência de base diferente de zero e expoente
zero é igual a unidade.
an : an = an-n = a0 = 1
Exemplo
32 : 22 = (3:2)2
Exemplos
30 = 1
(-1,4)0 = 1
9
Propriedades
10
Propriedades
• Potência de expoente negativo:
Para calcular uma potência de expoente negativo,
escrevemos a fração inversa da base e elevamos
esta base ao oposto do expoente original.
• Potência de expoente racional
=
, com n ≠ 0 ≥ 0.
Exemplos:
Exemplo
2
3
=
3
2
a) 81 = 81 = 9
=
3 9
=
2 4
b) 3 = 3 = 81
11
12
Notação científica
Potências de 10
Efetuam-se as potências de 10 escrevendo à direita
da unidade tantos zeros quantas forem as unidades
do expoente.
Exemplo
a) 102 = 100
b) 105 = 100.000
c) 1.000 = 103
Escrevemos o número dado como um número
entre 0 e 10, multiplicando por uma potência de 10
com expoente igual ao número de casas decimais
que originou tal alteração.
Exemplos
a) 800 = 8 . 102
b) 3.290 = 3,29 . 103
c) 0,0023 = 2,3 . 10-3
d) 0,000001 = 10-6
13
Radiciação
14
Propriedades da Radiciação
Definição: Dados um número real a não
negativo e um número natural n, n ≥ 1, chama-se raiz
n-ésima aritmética de a o número real e não negativo
b, tal que bn = a.
Notação:
= ⇔ = Onde:
•
é o radical;
• a é um número real chamado radicando;
• b é um número real chamado de raiz;
• n é um número natural diferente de zero chamado
índice.
=
∙ =
=
∙%
%
∙
!" ≥ 0 > 0.
∙$
=
e
=
=
%∙
16
Observações
Observações
Se n for par temos:
Se n for ímpar temos:
= b)
(−5) = −5 =5
a)
.
b)
+−4
= Exemplos:
Exemplos:
a)
= + − 4 = −+ + 4
(−5)- = −5
+−4
/
=π−4
17
18
Exemplos
a)
b)
c)
d)
.
8=
.
−1 =
2. 3 =
2. 18 =
e)
-
f)
/
-
=
:$
15
∶%
g)
h)
i)
6
.
5- =
2=
.
11 =
Exemplos
2. Simplifique os radicais a seguir:
a)
2+ 3
b)
2− 3
c)
2− 5
19
20
Racionalização
Exemplos
1º caso: O denominador é um radical do 2º grau.
Neste caso multiplica-se pelo próprio radical o
numerador e denominador da fração.
Exemplos:
3. Simplifique os radicais a seguir:
a)
b)
.
2 4
. 6
.
a)
/9
/
b)
c)
:
/
/
=
=
=
21
22
Racionalização
Cálculo Algébrico
2º caso: O denominador é uma soma ou diferença
de dois termos em que um deles, ou ambos, são
radicais do 2º grau. Neste caso, multiplica-se o
numerador pela expressão conjugada do
denominador.
Exemplos:
Adição
e
subtração
de
monômios
semelhantes.
Para adicionar ou subtrair monômios
semelhantes, adicionamos ou subtraímos os
coeficientes e mantemos a parte literal.
Exemplos:
a) 2x + 5x =
b) -mn + 19mn =
c) x2 + 3x – 25x2 =
a)
b)
c)
:
=
; /
/
=
: =
/-
23
24
Cálculo Algébrico
Cálculo Algébrico
Multiplicação de monômios
Multiplicamos coeficiente com coeficiente e
parte literal com parte literal usando as
propriedades da multiplicação e da potenciação.
Exemplos:
a) (9x2) . (5x3) =
b) (3a). (-4b) =
c) (-a2) . (2ab) =
Divisão de monômios
Considerando o divisor diferente de zero,
podemos efetuar a divisão usando as regras da
divisão de potências de mesma base.
Exemplos:
a) (12x6) : (3x2) =
b) (21x3y) : (7xy) =
c) (10x2) : (2x3) =
25
26
Cálculo Algébrico
Cálculo Algébrico
Produtos notáveis – quadrado da soma de
dois termos
Exemplos:
a) (a + b)2 =
b) (y + 10)2 =
c) (3x + 10y)2 =
d) Desenvolva o quadrado da soma e reduza os
termos semelhantes da expressão
(x + 3)2 + x2 – 7x
Produtos notáveis – quadrado da diferença
de dois termos
Exemplos:
a) (a - b)2 =
b) (y - 10)2 =
c) (3x - 10y)2 =
d) Desenvolva o quadrado da diferença e reduza os
termos semelhantes da expressão
(x - 3)2 - x2 + 7x
27
28
Cálculo Algébrico
Cálculo Algébrico
Produtos notáveis – Produto da soma pela
diferença de dois termos
Exemplos:
a) (a + b)(a – b) =
b) (5x + 8)(5x – 8) =
c) (7r - s)(7r + s) =
d) Desenvolva o quadrado da soma e reduza os
termos semelhantes da expressão
(x + 7)(x – 7) – x2 + 50
Produtos notáveis – Cubo da soma indicada
Exemplos:
a) (a + b)3
b) (2x + y)3
c) (5x + 3y)3
29
30
Cálculo Algébrico
Cálculo Algébrico
Produtos notáveis – Cubo da diferença
indicada
Exemplos:
a) (a - b)3
b) (2x - y)3
c) (5x - 3y)3
Fatoração – Colocação do fator comum em
evidência
Fator comum dos termos de um polinômio é
o monômio cujo coeficiente dos termos do
polinômio cuja parte literal é formada pelas letras
comuns com os menores expoentes.
Apresentando um fator comum, o polinômio
pode ser escrito como o produto de dois fatores: o
1º é o fator comum e o 2º é obtido dividindo-se o
polinômio original pelo fator comum.
31
Cálculo Algébrico
Fatoração – Colocação do fator comum em
evidência
Exemplos:
a) 3a2 + 3ab =
b) 8x3 – x =
c) 4ax2 + 8a2x3 + 2a3x