GEOMETRIA DESCRITIVA A
11.º Ano
Sólidos III e Secções - Resumo
© antónio de campos, 2010
GENERALIDADES – Sólidos III
Para os sólidos com as bases contidas em planos oblíquos, planos de rampa ou
planos passantes, um processo de resolução passa pelas seguintes acções:
1. Determinar as projecções da base, recorrendo ao rebatimento do plano
que contém a base, para construir em V.G. a base, para depois inverter o
rebatimento para obter as projecções;
2. Obter a altura do sólido, recorrendo a uma recta ortogonal ao plano da
base, que será o eixo do sólido, rebater o eixo (via plano projectante) para
obter a V.G. da altura, para depois inverter o rebatimento para obter as
projecções;
3. Construir o sólido, a partir das projecções de todos os vértices,
determinando a visibilidade, com os vértices com menor afastamento a
estarem menos visíveis em projecção frontal, juntamente com todas as
arestas que nele convergem, e os vértices com menor cota a estarem menos
visíveis em projecção horizontal, juntamente com todas as arestas que nele
convergem.
Projecção de uma Pirâmide com Base Contida em Plano Oblíquo
São dados dois pontos, A (4; 0) e B (0; 3), contidos num plano oblíquo α. O traço horizontal do
plano α faz um ângulo de 60º (a.e.) com o eixo x, enquanto o traço frontal faz um ângulo de 45º
(a.e.) com o eixo x. Os pontos A e B são dois vértices consecutivos de um quadrado [ABCD] e a
base de uma pirâmide quadrangular regular, com 7 cm de altura e situada no 1.º diedro.
Desenha as projecções da pirâmide.
Determinar as projecções do quadrado,
recorrendo do rebatimento do plano α para
o Plano Horizontal de Projecção, com hα
como charneira, para obter a V.G.; e
depois inverter o rebatimento, através de
rectas frontais.
Localizar o ponto O.
Construir a pirâmide, com uma recta
ortogonal p ao plano α, que será o eixo da
pirâmide.
O ponto V é o vértice da pirâmide.
Para obter a V.G. do segmento de recta
[OV], rebater um plano projectante
(plano de topo δ) que contém a recta p,
com hδ como charneira, rebatendo a
própria recta p.
f’2
f2
fα
p2 ≡ fδ
V2
C2
D2
(e’2)≡ H’’2
x ≡ e2 ≡ fδr
f1
Or
B2
O2
H’2 B1
H’’r≡ H’’1
C1
O1
Hr≡ H1
f’1
Invertendo o rebatimento do plano δ, obtêm-se as projecções de V sobre
as projecções homónimas da recta p, permitindo a construção da pirâmide.
Na determinação da visibilidade, os vértices com menor afastamento estão
menos visíveis em projecção frontal, juntamente com todas as arestas que
nele convergem; os vértices com menor cota estão menos visíveis em
projecção horizontal, juntamente com todas as arestas que nele
convergem.
D1
Br
A1 ≡ Ar
Vr
pr
A2 H2
H’r ≡ H’1
V1
Cr
Dr
hδ ≡ e’1 ≡ hδr
fr
f’r
p1
fαr
hα ≡ e1 ≡ hαr
Desenho à escala de 1:2.
FIGURA DA SECÇÃO E O SÓLIDO TRUNCADO
Em baixo à esquerda, a figura da secção é a figura plana resultante da secção produzida no
sólido pelo plano secante, com o sólido a permanecer indiviso.
Em baixo à direita, o sólido truncado é um sólido, parte do
sólido dado, compreendido entre o plano secante (a figura da
secção) e a base ou o vértice.
V
D’
V
A’
C’
D’
A’
D
A
B’
B’
D’
C’
A’
C
D
B
A
B’
B
C’
C
SECÇÕES PLANAS PRODUZIDAS POR PLANOS PARALELOS
AOS PLANOS DA BASE
A secção produz um polígono semelhante ao polígono da base.
V
D’
ν1
ν
C’
A’
B’
D
C
A
B
Secção Plana de uma Pirâmide com Base Horizontal
Um sólido resultante da secção produzida por um plano horizontal ν numa pirâmide pentagonal
regular, com a base contida no Plano Horizontal de Projecção.
V2
M2
(fν)
x
Q 2 N2
A2 E2
E1
A1
M1
K2
O2
P2
B2
P1
Q1
K1 ≡ V1
N1
B1
C2
D2
D1
O1
C1
GENERALIDADES – Cones
Antes de determinar a figura da secção produzida por um plano num cone, é necessário
identificar o tipo de secção.
Para cones contidos em planos horizontais ou frontais, se o plano secante é paralelo à base do
cone, a figura de secção é uma circunferência.
O processo de identificação do tipo de secção produzida passa pelos seguintes passos, se o
plano secante conter o vértice de superfície:
1 – Determinar a recta de intersecção do plano secante com o plano da base do cone;
2 – Analisar a posição da recta de intersecção em relação à base do cone;
a) – se a recta de intersecção é exterior à base, a figura da secção é um ponto;
b) - se a recta de intersecção é tangente à base, a figura da secção é uma recta;
c) - se a recta de intersecção é secante à base, a figura da secção é um triângulo.
O processo de identificação do tipo de secção produzida passa pelos seguintes passos, se o
plano secante não conter o vértice de superfície:
1 – Conduzir pelo vértice do cone, um plano paralelo ao plano secante;
2 – Determinar a recta de intersecção do plano paralelo com o plano da base do cone;
3 – Analisar a posição da recta de intersecção em relação à base do cone;
a) – se a recta de intersecção é exterior à base, a figura da secção é uma elipse;
b) - se a recta de intersecção é tangente à base, a figura da secção é uma parábola;
c) - se a recta de intersecção é secante à base, a figura da secção é uma hipérbole.
Secção Plana de um Cone com Base Horizontal por um Plano
Secante que Contém o Vértice de Superfície com a Recta
de Intersecção Secante à Base
Um sólido resultante da secção produzida por um plano de topo δ num cone oblíquo, com a
base contida no Plano Horizontal de Projecção..
fδ
V2
x
A2
C2 ≡ D2
C1
A1
O2
V1
O1
D1
hδ
B2
B1
O hδ é a recta de
intersecção
entre o plano
secante e o
plano da base do
cone. A recta é
secante à base.
O triângulo
[CDV] é a figura
de secção.
Secção Plana de um Cone com Base Frontal por um Plano
Secante que Não Contém o Vértice de Superfície com a
Recta de Intersecção Exterior à Base
Pretende-se as projecções da figura de secção resultante da secção produzida por
um plano vertical α num cone de revolução, situado no 1.º diedro, com a base contida
no Plano Frontal de Projecção.
fα
Um plano auxiliar
vertical θ, paralelo ao
plano α e que contém o
vértice, produz fθ que é
a recta de intersecção
entre o plano secante e o
plano da base. A recta é
exterior à base, sendo a
figura de secção uma
elipse.
i’’2
i2
E2
I2
A2
S2
C2
Utilizar o método dos
planos paralelos à base
para obter a elipse:
1 – Plano auxiliar paralelo
ao plano da base;
2 – A figura de secção
(circunferência) do plano
auxiliar sobre superfície
lateral do sólido;
3 – Recta de intersecção
entre plano secante e plano
auxiliar;
4 – Pontos de intersecção
da recta de intersecção
com a circunferência.
A1
G2
D2 B2
M2
J2
x
i’2
O2 ≡ V2≡ Q2
R2 T2
F2
fθ
H2
B1
O1
D1
S1
(hφ1)
(i’1) ≡ G1 ≡ H1
Q1
R1
(hφ)
T1
C1
(hφ2)
(i1) ≡ E1 ≡ F1 ≡ M1
(i’’1) ≡ I1 ≡ J1
hα
hθ
V1
A seguir, construir o eixo menor da
elipse, com o ponto M a ser o ponto
de concorrência dos dois eixos da
elipse. Depois é obtido mais quatro
pontos via o método dos planos
paralelos à base. Com os oito pontos é
possível construir a elipse.
Secção Plana de um Cone com Base Horizontal por um
Plano Secante que Não Contém o Vértice de Superfície
com a Recta de Intersecção Tangente à Base
Pretende-se as projecções do sólido resultante da secção produzida por um plano de
topo θ num cone oblíquo, situado no 1.º diedro, com a base contida no Plano
Horizontal de Projecção.
fθ1
V2
fθ
Um plano auxiliar vertical θ1,
paralelo ao plano secante θ e que
contém o vértice, produz
fθ1 que é a recta de intersecção
entre o plano secante e o plano da
base. A recta é tangente à base,
sendo a figura de secção uma
parábola.
g2
(fν)
(fν2)
A2
x
Para obter a parábola, primeiro
determinar os pontos da figura de
secção: C, D e E.
Depois é obtido mais seis pontos
via o método dos planos paralelos à
base. Com os nove pontos é
possível construir a parábola.
≡ I2 Q’2
≡
H
2Q2
R2
(i’2)
T2
(i2)≡ F2≡ G2
(i’’2)≡ J≡OK2
Q’’2
2
2
C2 ≡ D2
S2
(fν1)
E2
C1 J1
S1
T1 R1
B2
V1
F1
H1
g1
E1
A1
O1
Q’’1Q1
Q’1
B1
I1
D1
K1
G1
hθ
i’’1
i1
i’1
hθ1
Secção Plana de um Cone com Base Horizontal por um
Plano Secante que Não Contém o Vértice de Superfície
com a Recta de Intersecção Secante à Base
Pretende-se as projecções da figura da secção resultante da secção produzida por
um plano vertical α num cone de revolução (limitado por uma única folha), situado no
1.º diedro, com a base contida no Plano Horizontal de Projecção.
Um plano auxiliar vertical α1,
paralelo ao plano α e que contém o
vértice, produz hα que é a recta
de intersecção entre o plano
secante e o plano da base. A
recta é secante à base, sendo a
figura de secção uma hipérbole.
V2
fα1
F2
g2
E2
Para obter a hipérbole, primeiro
determinar os pontos da figura de
secção: C e D.
O ponto E é o ponto que o plano
secante corta a geratriz mais á
direita do contorno aparente
frontal do cone.
Para determinar o espaço útil para
os planos auxiliares, é necessário
determinar o ponto de maior cota
da secção (o ponto F), através de
ponto T e recta tangente à base
(recta t) e da geratriz que contém
o ponto T.
No espaço útil entre os pontos F, C
e D, será obtido mais seis pontos
via o método dos planos paralelos à
base. Com os nove pontos é
possível construir a parábola.
x ≡ t2
A2
C2
O2
T2
D2 B2
D1
A1
O1 ≡ V1
E1
B1
F1
hα1
T1
C1
hα
t1
g1
fα
GENERALIDADES – Cilindros
Antes de determinar a figura da secção produzida por um plano num cilindro, é
necessário identificar o tipo de secção, para cilindros contidos em planos
horizontais ou frontais.
Se o plano secante é paralelo aos planos das bases, a figura de secção é uma
circunferência.
Para situações em que o plano secante não é paralelo aos planos das bases:
Se o plano secante é paralelo ao eixo da superfície do cilindro e o plano secante é
tangente à superfície ao longo de uma geratriz, a figura de secção é uma recta;
Se o plano secante é paralelo ao eixo da superfície do cilindro e o plano secante
secciona a superfície ao longo de duas geratrizes, a figura de secção é um
paralelograma;
Se o plano secante não é paralelo ao eixo da superfície do cilindro, a figura de
secção é uma elipse.
Secção Plana de um Cilindro com Bases Horizontais por um Plano Secante
Não Paralelo aos Planos das Bases, Paralelo ao Eixo da Superfície e
Secciona a Superfície ao Longo de Duas Geratrizes
Um sólido resultante da secção produzida por um plano vertical α num cilindro de revolução,
com as bases contidas em planos horizontais ν e ν1.
fα
g2
g’2
(fν1)
A’2
C’2
O’2 D’2
B’2
(fν)
A2
C2
O2 D2
B2
x
(g1) ≡ C1≡ C’1
A1 ≡ A’1
O1 ≡ O’1
(g’1) ≡ D1 ≡ D’1
hα
B1 ≡ B’1
Secção Plana de um Cilindro com Bases Frontais por um Plano Secante Não
Paralelo aos Planos das Bases e Não Paralelo ao Eixo da Superfície
Uma figura de secção resultante da secção produzida por um plano vertical α num cilindro
oblíquo, com as bases contidas em planos frontais φ e φ1.
fα
Embora também se
possa utilizar o método
dos planos paralelos à
base para obter a
elipse, o método das
geratrizes é o mais
indicado, implicando a
obtenção de pontos de
intersecção de várias
geratizes do sólido com
o plano secante.
g’2
F2
O2
A2
g2
H2
E2
G2
D2
L2
J2
O’2
M2
C2
K2
B2
I2
x
O1
(hφ)
A1
E1 ≡ F1
G1 ≡ H1
M1 ≡ C1 ≡ D1
K1 ≡ L1
I1≡ J1
B1
hα
(hφ1)
g1 ≡ g’1
O’1
GENERALIDADES – Secções sobre Esferas
A figura de secção produzida por qualquer plano numa superfície esférica é sempre
uma circunferência.
Secção Plana de uma Esfera por um Plano Secante Paralelo a um
Plano de Projecção
Uma figura de secção resultante da secção produzida por um plano frontal φ numa
esfera, passando pelo ponto O, sendo assim o círculo máximo frontal da esfera.
O2
x
(hφ)
O1
GENERALIDADES – Secções Produzidas por Planos Não
Projectantes Sobre Poliedros
Para resolver situações de secções produzidas por planos não projectantes
sobre poliedros, existem várias possibilidades, entre elas, destacam-se as
seguintes:
1 – Mudança de diedro de projecção, transformando o plano secante em
plano projectante, para depois aplicar o processo de secção igual a planos
projectantes;
2 – Determinação dos pontos de intersecção de cada aresta com o plano
secante, através da intersecção de uma recta com um plano não projectante
(método geral da intersecção de rectas com planos);
3 – Método misto, determinação dos pontos de intersecção de cada aresta
com o plano secante, e determinação das rectas de intersecção do plano
secante com os planos que contém as faces do sólido.
Secção Plana de um Prisma por Plano Secante Não Projectante
Pretende-se uma figura da secção produzida por um plano de rampa ρ num prisma
quadrangular oblíquo, com as bases contidas em planos frontais.
Neste caso, será utilizado o segundo
método: determinação dos pontos de
intersecção de cada aresta com o plano
secante, através da intersecção de uma
recta com um plano não projectante (método
geral da intersecção de rectas com planos).
(fρ )
g2
A seguir, serão determinados
sucessivamente os pontos de intersecção
das arestas laterais com o plano secante.
B’2
B2 N2
A’2
D2
F1
x
(hφ)≡ g1
C2
H2
A 1 ≡ I1
B1 N1
O2
C1
P2
(hρ )
(hφ1)
D’2
C’2
D1
M1
Como a recta g é exterior à base com menor
afastamento, o plano secante não corta a
base com menor afastamento do sólido.
Depois começa a determinação dos pontos
da figura de secção. M é o ponto de
intersecção da recta i com a aresta [AA’],
sendo o ponto de intersecção da aresta com
o plano secante, sendo um ponto da figura
da secção.
I2
A2 M2
A seguir será determinada a recta de
intersecção (recta i) do plano secante (o
plano ρ) com o plano das base com menor
afastamento, recorrendo a um plano auxiliar
projectante (plano vertical α).
A recta g é a recta de intersecção do plano
ρ com o plano φ.
F2
fα2
i2
Primeiro há que determinar qual as arestas
a serem cortadas. Como a recta de
intersecção do plano ρ com o plano da base
com maior afastamento (o plano φ1) se situa
no 2.º diedro, o plano secante não intersecta
esta base.
I é o ponto de intersecção da recta i com o
plano φ.
fα1
fα
P1
O1
H1
A’1
C’1
B’1
hα≡ i1
hα1
hα2
D’1
hα3
GENERALIDADES – Secções Produzidas por Planos Não
Projectantes Sobre Cones e Cilindros
Para resolver situações de secções produzidas por planos não projectantes
sobre cones e cilindros, é necessário um processo muito complexo, quer em
termos de raciocínio, quer em termos de traçados. As etapas desse
processo são as seguintes:
1 – Identificar o tipo de figura de secção;
2 – Verificar se o plano secante corta as bases;
3 – Determinar os pontos em que o plano secante corta as linhas que
intersectam o contorno aparente;
4 – Determinar os pontos de maior e de menor cota da secção;
5 - Determinar os pontos de maior e de menor afastamento da secção;
6 – Determinar mais dois pontos, através do método dos planos paralelos à
base.
Secção Plana de um Cone por Plano Secante Não Projectante
Pretende-se um sólido resultante da secção produzida por um plano oblíquo α num cone de
revolução, situado no 1.º diedro e com base no Plano Horizontal de Projecção.
1 - Identificar o tipo de figura de secção.
Um plano auxiliar de topo θ1, paralelo ao plano θ e que
contém o vértice. A recta r é a recta de intersecção
entre o plano secante e o plano da base. A recta é
exterior à base, sendo a figura de secção uma elipse.
2 – Verificar se o plano secante
corta as bases.
hα é a recta de intersecção do plano
secante com o plano da base e é
exterior à base, pelo que o plano
secante não corta a base do cone.
3 – Determinar os pontos em que
o plano secante corta as linhas
que intersectam o contorno
aparente.
O plano φ é um plano auxiliar, que
contém as duas geratrizes do
contorno aparente frontal. A
recta i é a recta de intersecção
do plano φ com o plano secante. A
e B são os pontos de intersecção
das geratrizes do contorno
aparente frontal com o plano
secante.
4 – Determinar os pontos de maior
e de menor cota da secção.
Para tal, determinar os planos
tangentes (θ1 e θ2) do cone que
intersectam o plano secante, via
rectas horizontais.
A recta h é a recta de intersecção
dos dois planos tangentes. As
rectas t e t’ são as rectas de
intersecção dos planos tangentes
com o plano secante. C é o ponto
de maior cota e D de menor cota
da secção.
fα1 ≡ f
fα
h2
s2
i2
5 - Determinar os pontos de
maior e de menor afastamento
da secção.
Para tal, determinar os planos
tangentes (θ3 e θ4) do cone
que intersectam o plano
secante, via rectas frontais.
A recta f é a recta de
intersecção dos dois planos
tangentes. As rectas s e s’ são
as rectas de intersecção dos
planos tangentes com o plano
secante. E é o ponto de menor
afastamento e F de maior
afastamento da secção.
2
fθ1
V2
fθ2
F2
s’2
A2
C2
F2 g’2
G2
(fν) ≡ i’2
F’’’2
H2
g’’2 ≡ g’’’2
g2
E2
B2
D2
O2
hθ4
x
t’2
F’’2
F’’1 H’’2
F’’’1
F1 H2 H’’’2
F’2
t2
F’1
H’2
g’’’1
hθ2
O1≡ V1
A1
(hφ) ≡ i1 ≡ f1
t’1
G1
h1
hθ3
F1
C1
i’1
H’’’1
H1
B1
g1 ≡ g’1
D1
g’’1
E1
t1
hα
hθ1
s’1
H1
H’’1
hα1
H’1
s1
6 – Determinar mais dois pontos, através
do método dos planos paralelos à base.
O plano ν é o plano horizontal paralelo à
base. A recta i’ é a recta de intersecção
entre os planos ν e α. G e H são mais dois
pontos.