GEOMETRIA DESCRITIVA A
11.º Ano
Sombras – Cones e Cilindros
© antónio de campos, 2010
SOMBRA PRÓPRIA E
SOMBRA
PROJECTADA DE
CONES COM BASES
HORIZONTAIS OU
FRONTAIS
l2
L2
fλ2
Pretende-se a sombra própria
e sombra projectada nos
planos de projecção do cone de
revolução, situado no 1.º diedro,
com a base contida no Plano
Frontal de Projecção,
considerando um foco luminoso.
fλ1
O2≡ V2
B2 ≡ Bs2
g’2
g2
A2 ≡ As2
A1
x
B1
O1
g’1
g1
Conduzir um raio luminoso l pelo vértice
do cone.
Determinar o ponto de intersecção do
raio luminoso l com o plano de base.
V1
Conduzir pelo ponto de intersecção I,
as rectas tangentes à base do cone.
As rectas fλ1 e fλ2 são tangentes à base
do cone nos pontos A e B. A linha
separatriz luz/sombra contém os
segmentos [AV] da geratriz g, e [BV]
da geratriz g’.
l1
L1
Vs1
I1
I2 ≡ VV2
É dado um cone de
revolução, situada no 1.º
diedro,
com a base contida no
Plano Horizontal de
Projecção.
l2
L2
y≡ z
A base do cone tem 3
cm de raio e o seu
centro é o ponto O (0; 5;
0).
V2
O cone tem 7 cm de
altura.
Determina as sombras
própria e projectada
nos planos de projecção
do cone, considerando
uma foco luminoso L (6;
10; 12).
g’2
g2
A2
x
Vs2
O2
B2
I2
≡A
A1 s1
Conduzir um raio luminoso l pelo
vértice do cone.
g1
Determinar o ponto de intersecção do
raio luminoso l com o plano de base.
hλ1
O1 ≡ V1
Conduzir pelo ponto de intersecção I,
as rectas tangentes à base do cone.
g’1
As rectas hλ1 e hλ2 são tangentes à base
do cone nos pontos A e B. A linha
separatriz luz/sombra contém os
segmentos [AV] da geratriz g, e [BV]
da geratriz g’.
B1≡ Bs2
l1
L1
hλ2
I1 ≡ VV1
SOMBRA PRÓPRIA E
SOMBRA
PROJECTADA DE
CILINDROS COM
BASES
HORIZONTAIS OU
FRONTAIS
Averiguar se a sombra tem pontos
de quebra, através do método do
plano luz/sombra passante. Se a
recta de intersecção do plano
luz/sombra passante com o plano que
contém a base, é exterior à linha
separatriz luz/sombra, não há
pontos de quebra.
t’2
Pretende-se a sombra própria
e sombra projectada nos
planos de projecção do cilindro
de revolução, situado no 1.º
diedro, com as base contidas
em planos frontais,
considerando direcção
convencional da luz.
Conduzir uma recta (recta r) paralela às
geratrizes do cilindro e um raio luminoso
(raio l), por um ponto qualquer exterior
(ponto P).
Determinar a recta de intersecção (recta
i), entre o plano (plano λ) definido pelas
rectas r e l, e o plano da base de
referência do cilindro.
i’’2
B2 ≡ B’2 ≡ g’2
I’2
t2
l2 ≡ i2
Bs2
O2
A2 ≡ A’2 ≡ g2
P2 ≡ (r2) ≡ M2
C2
i’2
x
M1
(hφ) ≡ i1 ≡ t1 ≡ t’1 ≡ i’1
N1
Os2
E2
D2
I2
As2
N2
O1
A1
B’s1
B1
Es1
g’1
P1
g1
r1
Conduzir, as rectas tangentes (rectas t e
t’) à base de referência do cilindro.
As rectas t e t’ são tangentes à base do
cilindro nos pontos A e B. A linha
separatriz luz/sombra contém os
segmentos [AA’] da geratriz g, e [BB’]
da geratriz g’.
l’2
l1
(hφ1) ≡ i’’1
A’1
A’s1
Ds1
Cs1
C1
D1
B’1
E1
l’1
I’1
I1
Averiguar se a sombra tem pontos de quebra,
através do método do plano luz/sombra
passante. Se a recta de intersecção do plano
luz/sombra passante com o plano que contém a
base, é exterior à linha separatriz
luz/sombra, não há pontos de quebra. Neste
caso só é necessário ver a base superior, pois
a base tem a recta de intersecção coincidente
com o eixo x, exterior à linha separatriz
luz/sombra.
É dado um cilindro
oblíquo, situada no 1.º
diedro,
com as bases contidas
em planos horizontais.
O centro da base
inferior é o ponto O (3;
5; 0) e o ponto O’ (-2; 3;
5) é o centro da base
superior, que é tangente
ao Plano Frontal de
Projecção.
Determina as sombras
própria e projectada
nos planos de projecção
do cilindro,
considerando direcção
convencional da luz.
Conduzir uma recta (recta r)
paralela às geratrizes do
cilindro e um raio luminoso
(raio l), por um ponto qualquer
exterior (ponto P).
Determinar a recta de
intersecção (recta hλ), entre
o plano (plano λ) definido
pelas rectas r e l, e o plano
da base de referência do
cilindro.
y≡ z
l’2
A’2
(fν) ≡ i2
A’s2
O’2
B’2 Q2 E2
D2
C2 Cs2
r2
l2
Ds2
g’1
g2
O’v1
P2
H2
H’2
x ≡ fλ
I2
O2
A2
Es2
B2
H’1
g1
Qs
A’1
C1
B’s1
D1
As1 ≡ A1
r1
P1
H1
hλ
l1
O’1
hλ1
O1
i1
g’1
B’1
Q1
I1
Bs1 ≡ B1
Conduzir, as rectas tangentes
(rectas hλ1 e hλ2) à base de
referência do cilindro.
As rectas hλ1 e hλ2 são tangentes à base do
cilindro nos pontos A e B. A linha separatriz
luz/sombra contém os segmentos [AA’] da
geratriz g, e [BB’] da geratriz g’.
E1
l’1
hλ2