GEOMETRIA DESCRITIVA A
11.º Ano
Secções por Planos Projectantes
Cones
© antónio de campos, 2010
GENERALIDADES – Cones
Antes de determinar a figura da secção produzida por um plano num cone, é necessário
identificar o tipo de secção.
Para cones contidos em planos horizontais ou frontais, se o plano secante é paralelo à base do
cone, a figura de secção é uma circunferência.
O processo de identificação do tipo de secção produzida passa pelos seguintes passos, se o
plano secante conter o vértice de superfície:
1 – Determinar a recta de intersecção do plano secante com o plano da base do cone;
2 – Analisar a posição da recta de intersecção em relação à base do cone;
a) – se a recta de intersecção é exterior à base, a figura da secção é um ponto;
b) - se a recta de intersecção é tangente à base, a figura da secção é uma recta;
c) - se a recta de intersecção é secante à base, a figura da secção é um triângulo.
O processo de identificação do tipo de secção produzida passa pelos seguintes passos, se o
plano secante não conter o vértice de superfície:
1 – Conduzir pelo vértice do cone, um plano paralelo ao plano secante;
2 – Determinar a recta de intersecção do plano paralelo com o plano da base do cone;
3 – Analisar a posição da recta de intersecção em relação à base do cone;
a) – se a recta de intersecção é exterior à base, a figura da secção é uma elipse;
b) - se a recta de intersecção é tangente à base, a figura da secção é uma parábola;
c) - se a recta de intersecção é secante à base, a figura da secção é uma hipérbole.
Secção Plana de um Cone com Base Frontal por um Plano
Secante Paralelo à Base
Uma figura de secção resultante da secção produzida por um plano frontal φ1 num cone de
revolução, com a base contida no plano frontal φ.
A2
C2
O2 ≡ V2
B2
O1
B1
x
(hφ)
(hφ1)
A1
C1
V1
Secção Plana de um Cone com Base Frontal por um Plano
Secante que Contém o Vértice de Superfície com a
Recta de Intersecção Exterior à Base
Uma figura de secção resultante da secção produzida por um plano vertical α num
cone de revolução, com a base contida no plano frontal φ.
fα
v2
A2
O2 ≡ V2
B2
O1
B1
x
(hφ)
(v1)
A1
A recta vertical de
intersecção v entre o
plano secante e o
plano da base do
cone, passa pelo
exterior da base.
O ponto V é a figura
de secção.
hα
V1
Secção Plana de um Cone com Base Frontal por um Plano
Secante que Contém o Vértice de Superfície com a
Recta de Intersecção Tangente à Base
Uma figura de secção resultante da secção produzida por um plano vertical α num
cone de revolução, com a base contida no plano frontal φ.
fα
r2
v2
A2
O2 ≡ V2
B2
O1
B1
x
(hφ)
A1 ≡ (v1)
hα ≡ r 1
V1
A recta vertical de
intersecção v entre
entre o plano secante
e o plano da base do
cone, é tangente à
base.
A recta r é a figura
de secção.
Secção Plana de um Cone com Base Horizontal por um Plano
Secante que Contém o Vértice de Superfície com a Recta
de Intersecção Secante à Base
Um sólido resultante da secção produzida por um plano de topo δ num cone oblíquo, com a
base contida no Plano Horizontal de Projecção..
fδ
V2
x
A2
C2 ≡ D2
C1
A1
O2
V1
O1
D1
hδ
B2
B1
O hδ é a recta de
intersecção
entre o plano
secante e o
plano da base do
cone. A recta é
secante à base.
O triângulo
[CDV] é a figura
de secção.
Secção Plana de um Cone com Base Frontal por um Plano
Secante que Não Contém o Vértice de Superfície com a
Recta de Intersecção Exterior à Base
Pretende-se as projecções da figura de secção resultante da secção produzida por
um plano vertical α num cone de revolução, situado no 1.º diedro, com a base contida
no Plano Frontal de Projecção.
fα
Um plano auxiliar
vertical θ, paralelo ao
plano α e que contém o
vértice, produz fθ que é
a recta de intersecção
entre o plano secante e o
plano da base. A recta é
exterior à base, sendo a
figura de secção uma
elipse.
i’’2
i2
E2
I2
A2
S2
C2
Utilizar o método dos
planos paralelos à base
para obter a elipse:
1 – Plano auxiliar paralelo
ao plano da base;
2 – A figura de secção
(circunferência) do plano
auxiliar sobre superfície
lateral do sólido;
3 – Recta de intersecção
entre plano secante e plano
auxiliar;
4 – Pontos de intersecção
da recta de intersecção
com a circunferência.
A1
G2
D2 B2
M2
J2
x
i’2
O2 ≡ V2≡ Q2
R2 T2
F2
fθ
H2
B1
O1
D1
S1
(hφ1)
(i’1) ≡ G1 ≡ H1
Q1
R1
(hφ)
T1
C1
(hφ2)
(i1) ≡ E1 ≡ F1 ≡ M1
(i’’1) ≡ I1 ≡ J1
hα
hθ
V1
A seguir, construir o eixo menor da
elipse, com o ponto M a ser o ponto
de concorrência dos dois eixos da
elipse. Depois é obtido mais quatro
pontos via o método dos planos
paralelos à base. Com os oito pontos é
possível construir a elipse.
É dado um cone oblíquo, situado no 1.º diedro, com a base contida num plano horizontal. O
ponto O (-2; 4; 2) é o centro da circunferência que limita a base, cujo raio é de 3,5 cm. O
ponto V (-4; 4; 10) é o vértice do cone. Determina as projecções da figura da secção
produzida no cone por um plano de topo θ, sabendo que o plano θ corta o eixo x num ponto com
5 cm de abcissa, e faz um ângulo de 40º (a.d.) com o Plano Horizontal de Projecção.
Q’2
(fν2)
S2
R2
(fν3)
Q2
D2
(i’2)
≡ G2 ≡ H
2
(i2) ≡ E2≡ F2≡ M2
Q’’2
T2 (i’’ ) ≡ I ≡ J2
2
2
C2
(fν)
(r2)
O2
A2
B2
x
I1
A seguir, construir o eixo
menor da elipse, com o ponto
M a ser o ponto de
concorrência dos dois eixos
da elipse. Depois é obtido
mais quatro pontos via o
método dos planos paralelos à
base. Com os oito pontos é
possível construir a elipse.
fθ
fθ1
(fν1)
Utilizar o método dos planos
paralelos à base para obter
a elipse:
1 – Plano auxiliar paralelo ao
plano da base;
2 – A figura de secção
(circunferência) do plano
auxiliar sobre superfície
lateral do sólido;
3 – Recta de intersecção
entre plano secante e plano
auxiliar;
4 – Pontos de intersecção da
recta de intersecção com a
circunferência.
V2
y≡ z
Um plano auxiliar de topo θ1,
paralelo ao plano θ e que contém o
vértice. A recta r é a recta de
intersecção entre o plano secante
e o plano da base. A recta é
exterior à base, sendo a figura de
secção uma elipse.
A1
G1
S1 M1
RO1 1 Q’’1QQ’1V1
1
J1
r1
hθ1
C1
T1
E1
F1
H1
i1
i’1
hθ
i’’1
D1
B1
Secção Plana de um Cone com Base Horizontal por um
Plano Secante que Não Contém o Vértice de Superfície
com a Recta de Intersecção Tangente à Base
Pretende-se as projecções do sólido resultante da secção produzida por um plano de
topo θ num cone oblíquo, situado no 1.º diedro, com a base contida no Plano
Horizontal de Projecção.
fθ1
V2
fθ
Um plano auxiliar vertical θ1,
paralelo ao plano secante θ e que
contém o vértice, produz
fθ1 que é a recta de intersecção
entre o plano secante e o plano da
base. A recta é tangente à base,
sendo a figura de secção uma
parábola.
g2
(fν)
(fν2)
A2
x
Para obter a parábola, primeiro
determinar os pontos da figura de
secção: C, D e E.
Depois é obtido mais seis pontos
via o método dos planos paralelos à
base. Com os nove pontos é
possível construir a parábola.
≡ I2 Q’2
≡
H
2Q2
R2
(i’2)
T2
(i2)≡ F2≡ G2
(i’’2)≡ J≡OK2
Q’’2
2
2
C2 ≡ D2
S2
(fν1)
E2
C1 J1
S1
T1 R1
B2
V1
F1
H1
g1
E1
A1
O1
Q’’1Q1
Q’1
B1
I1
D1
K1
G1
hθ
i’’1
i1
i’1
hθ1
Secção Plana de um Cone com Base Horizontal por um
Plano Secante que Não Contém o Vértice de Superfície
com a Recta de Intersecção Secante à Base
Pretende-se as projecções da figura da secção resultante da secção produzida por
um plano vertical α num cone de revolução (limitado por uma única folha), situado no
1.º diedro, com a base contida no Plano Horizontal de Projecção.
Um plano auxiliar vertical α1,
paralelo ao plano α e que contém o
vértice, produz hα que é a recta
de intersecção entre o plano
secante e o plano da base. A
recta é secante à base, sendo a
figura de secção uma hipérbole.
V2
fα1
F2
g2
E2
Para obter a hipérbole, primeiro
determinar os pontos da figura de
secção: C e D.
O ponto E é o ponto que o plano
secante corta a geratriz mais á
direita do contorno aparente
frontal do cone.
Para determinar o espaço útil para
os planos auxiliares, é necessário
determinar o ponto de maior cota
da secção (o ponto F), através de
ponto T e recta tangente à base
(recta t) e da geratriz que contém
o ponto T.
No espaço útil entre os pontos F, C
e D, será obtido mais seis pontos
via o método dos planos paralelos à
base. Com os nove pontos é
possível construir a parábola.
x ≡ t2
A2
C2
O2
T2
D2 B2
D1
A1
O1 ≡ V1
E1
B1
F1
hα1
T1
C1
hα
t1
g1
fα
É dado um cone de revolução, situado no 1.º diedro, com a base contida no Plano Frontal de
Projecção e tangente ao Plano Horizontal de Projecção. O centro da base é o ponto O (1; 0; 4).
As geratrizes do cone medem 8 cm. O cone é cortado por um plano vertical α, que corta o eixo
x num ponto com 3 cm de abcissa, e faz um ângulo de 60º (a.d.) com o Plano Frontal de
Projecção. Determina as projecções do sólido resultante da secção produzida no cone pelo
plano α. Considera a parte do sólido compreendida entre o plano secante e o plano de base.
y≡ z
Determina a V.G. da figura de secção.
f
α
fα1
Um plano auxiliar vertical α1,
paralelo ao plano secante α e que
contém o vértice, produz
fα1 que é a recta de intersecção
entre o plano secante e o plano da
base. A recta é tangente à base,
sendo a figura de secção uma
parábola.
Para obter a parábola,
primeiro determinar os
pontos da figura de
secção: C, D e E.
Depois é obtido mais seis
pontos via o método dos
planos paralelos à base.
Com os nove pontos é
possível construir a
parábola.
Para obter a V.G. da
parábola, é necessário
rebater o plano secante
para o Plano Frontal de
Projecção, sendo a
charneira fα.
≡ e1
C2
V.G.
O2 ≡ V2
E2
D2
x
C1
≡ D1≡ (e)1 O1
hα1
E1
hα
V1