GEOMETRIA DESCRITIVA A
11.º Ano
Secções por Planos Não Projectantes
© antónio de campos, 2010
GENERALIDADES - poliedros
Para resolver situações de secções produzidas por planos não projectantes
sobre poliedros, existem várias possibilidades, entre elas, destacam-se as
seguintes:
1 – Mudança de diedro de projecção, transformando o plano secante em
plano projectante, para depois aplicar o processo de secção igual a planos
projectantes;
2 – Determinação dos pontos de intersecção de cada aresta com o plano
secante, através da intersecção de uma recta com um plano não
projectante (método geral da intersecção de rectas com planos);
3 – Método misto, determinação dos pontos de intersecção de cada aresta
com o plano secante, e determinação das rectas de intersecção do plano
secante com os planos que contém as faces do sólido.
Secção Plana de um Prisma por Plano Secante Não Projectante
Pretende-se uma figura da secção produzida por um plano de rampa ρ num prisma
quadrangular oblíquo, com as bases contidas em planos frontais.
Neste caso, será utilizado o segundo
método: determinação dos pontos de
intersecção de cada aresta com o plano
secante, através da intersecção de uma
recta com um plano não projectante (método
geral da intersecção de rectas com planos).
(fρ )
g2
A seguir, serão determinados
sucessivamente os pontos de intersecção
das arestas laterais com o plano secante.
B’2
B2 N2
A’2
D2
F1
x
(hφ)≡ g1
C2
H2
A 1 ≡ I1
B1 N1
O2
C1
P2
(hρ )
(hφ1)
D’2
C’2
D1
M1
Como a recta g é exterior à base com menor
afastamento, o plano secante não corta a
base com menor afastamento do sólido.
Depois começa a determinação dos pontos
da figura de secção. M é o ponto de
intersecção da recta i com a aresta [AA’],
sendo o ponto de intersecção da aresta com
o plano secante, sendo um ponto da figura
da secção.
I2
A2 M2
A seguir será determinada a recta de
intersecção (recta i) do plano secante (o
plano ρ) com o plano das base com menor
afastamento, recorrendo a um plano auxiliar
projectante (plano vertical α).
A recta g é a recta de intersecção do plano
ρ com o plano φ.
F2
fα2
i2
Primeiro há que determinar qual as arestas
a serem cortadas. Como a recta de
intersecção do plano ρ com o plano da base
com maior afastamento (o plano φ1) se situa
no 2.º diedro, o plano secante não intersecta
esta base.
I é o ponto de intersecção da recta i com o
plano φ.
fα1
fα
P1
O1
H1
A’1
C’1
B’1
hα≡ i1
hα1
hα2
D’1
hα3
Dois pontos A (2; 1; 0) e B (-3; 3; 0) são vértices de um hexaedro, situado no 1.º diedro e com
uma face situada no Plano Horizontal de Projecção. É dado um plano oblíquo γ, ortogonal ao β2,4,
que corta o eixo x num ponto com 2 cm de abcissa. O traço horizontal do plano γ faz um ângulo
de 40º (a.e.) com o eixo x. Determina as projecções do sólido resultante da secção produzida
no hexaedro pelo plano γ. Considera a parte do sólido compreendida entre o plano secante e o
Plano Horizontal de Projecção.
y≡ z
Neste caso, será utilizado o segundo
método: determinação dos pontos de
intersecção de cada aresta com o plano
secante, através da intersecção de uma
recta com um plano não projectante
(método geral da intersecção de rectas com
planos).
i’2
D’2
(fν) ≡ h2
Primeiro há que determinar qual as arestas
a serem cortadas. Como a recta de
intersecção (hγ) do plano γ com o plano da
base inferior, não intersecta a base
inferior, o plano secante não intersecta
esta base.
A seguir será determinada a recta de
intersecção (recta h) do plano secante (o
plano γ) com o plano das base superior
(plano ν). Esta recta h corta o quadrado da
face superior do cubo nos pontos K e L, K e
L são, assim, dois pontos da figura da
secção.
L2 A’2
A seguir, serão determinados
sucessivamente os pontos de intersecção
das arestas laterais com o plano secante.
C’2
K2
fγ ≡
hγ
B’2
F2
M2
x
D2
I’2
I2
I1
Depois continua com a determinação de
outros pontos da figura de secção.
A recta i é a recta de intersecção do plano
que contém a face vertical que contém a
aresta [AB] (o plano ABK) com o plano
secante. I é o ponto de concorrência entre
a recta AB e hγ. A recta i intersecta a
aresta vertical que passa por A no ponto N,
N é, assim, outro ponto da figura da
secção.
i2
N2
B2
C2
A2
A1 ≡ A’1 ≡ N1
K1
F1
B1≡ B’1
i1
I’1
D1 ≡ D’1 ≡ M1
L1
h1
C1 ≡ C’1
i’1
GENERALIDADES – cones e cilindros
Para resolver situações de secções produzidas por planos não projectantes
sobre cones e cilindros, é necessário um processo muito complexo, quer em
termos de raciocínio, quer em termos de traçados. As etapas desse
processo são as seguintes:
1 – Identificar o tipo de figura de secção;
2 – Verificar se o plano secante corta as bases;
3 – Determinar os pontos em que o plano secante corta as linhas que
intersectam o contorno aparente;
4 – Determinar os pontos de maior e de menor cota da secção;
5 - Determinar os pontos de maior e de menor afastamento da secção;
6 – Determinar mais dois pontos, através do método dos planos paralelos
à base.
Secção Plana de um Cone por Plano Secante Não Projectante
Pretende-se um sólido resultante da secção produzida por um plano oblíquo α num cone de
revolução, situado no 1.º diedro e com base no Plano Horizontal de Projecção.
1 - Identificar o tipo de figura de secção.
Um plano auxiliar de topo θ1, paralelo ao plano
θ e que contém o vértice. A recta r é a recta
de intersecção entre o plano secante e o plano
da base. A recta é exterior à base, sendo a
figura de secção uma elipse.
h2
fθ1
V2
A2
3 – Determinar os pontos em que o plano
secante corta as linhas que intersectam o
contorno aparente.
O plano φ é um plano auxiliar, que contém as
duas geratrizes do contorno aparente
frontal. A recta i é a recta de intersecção
x
do plano φ com o plano secante. A e B são os
pontos de intersecção das geratrizes do
contorno aparente frontal com o plano
secante.
t’2
F’’2
C2
g’2
g2
B2
F’2
D2
O2
F’’1
hθ2
fθ2
F2
i2
2 – Verificar se o plano secante corta as bases.
hα é a recta de intersecção do plano secante com
o plano da base e é exterior à base, pelo que o
plano secante não corta a base do cone.
4 – Determinar os pontos de maior e de
menor cota da secção.
Para tal, determinar os planos tangentes
(θ1 e θ2) do cone que intersectam o
plano secante, via rectas horizontais.
A recta h é a recta de intersecção dos
dois planos tangentes. As rectas t e t’
são as rectas de intersecção dos planos
tangentes com o plano secante. C é o
ponto de maior cota e D de menor cota
da secção.
fα1
fα
F1 H2
F’1
C1
A1
(hφ)≡ i1
O1≡ V1
g1 ≡ g’1
t’1
h1
t1
B1
D1
hα
hθ1
H1
hα1
t2
Secção Plana de um Cone por Plano Secante Não Projectante
Pretende-se um sólido resultante da secção produzida por um plano oblíquo α num cone de
revolução, situado no 1.º diedro e com base no Plano Horizontal de Projecção.
fα1 ≡ f
fα
h2
s2
i2
2
fθ1
V2
fθ2
F2
s’2
A2
C2
F2 g’2
G2
(fν) ≡ i’2
F’’’2
H2
g’’2 ≡ g’’’2
g2
E2
B2
D2
O2
hθ4
x
t’2
F’’2
F’’1 H’’2
F’2
F’’’1
F1 H2 H’’’2
F’1
5 - Determinar os pontos de maior e de menor
afastamento da secção.
Para tal, determinar os planos tangentes (θ3 e
θ4) do cone que intersectam o plano secante,
via rectas frontais.
A recta f é a recta de intersecção dos dois
planos tangentes. As rectas s e s’ são as
rectas de intersecção dos planos tangentes
com o plano secante. E é o ponto de menor
afastamento e F de maior afastamento da
secção.
6 – Determinar mais
dois pontos, através do
método dos planos
paralelos à base.
O plano ν é o plano
horizontal paralelo à
t2
base. A recta i’ é a
recta de intersecção
entre os planos ν e α. G
H’2
e H são mais dois
pontos.
g’’’1
hθ2
O1≡ V1
A1
(hφ) ≡ i1 ≡ f1
t’1
G1
h1
hθ3
F1
C1
i’1
H’’’1
H1
B1
g1 ≡ g’1
D1
g’’1
E1
t1
hα
hθ1
s’1
H1
H’’1
hα1
H’1
s1