Estatística Geral
Estatística Descritiva 1:
- Medidas de Posição
(Medidas de tendência central)
Cap. 8 – Martins, G. A. & Donaire, D.
Princípios de Estatística. 1990.
Cap. 29 –Dante, L. R. Matemática: contexto
e aplicações . Vol. Único, 2009.
Cap. 3.- Barbetta et al, Estatística para
Cursos de Engenharia e Informática, 2004
ICET/CUA/UFMT
Profº: Glauco Vieira de Oliveira
Medidas de posição ou medidas de tendência central
Introdução
Objetivo da estatística:
– Encontrar leis do comportamento para todo o conjunto, sem se
preocupar com cada um dos dados elementos em particular.
Medidas de posição ou medidas de tendência central:
– Valores médios (exemplos)
a partir da idade das pessoas de um grupo, podemos estabelecer uma
única idade que caracteriza o grupo todo;
Considerando a temperatura de vários momentos em um mês qualquer,
podemos determinar uma só temperatura que fornece uma idéia
aproximada de todo o período.
Nota de vários trabalhos em um semestre: sintetizado em uma só nota
USO MAIS COMUM: MÉDIA ARITMÉTICA
–
OUTRAS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL: MEDIANA e MODA
Nota: o uso da média, moda ou mediana é mais ou menos conveniente conforme a
situação
MÉDIA ARITMÉTICA – DADOS NÃO-AGRUPADOS
Ex 1: Considerando um grupo de pessoas com 22, 20, 21, 24 e
20 anos, observamos que:
MA = 22 + 20 + 21 + 24 + 20 = 107 = 21,4 anos
5
5
Ex 2: registro de temperaturas em um determinado local:
14°C às 6h, 15º as 7h, 15ºC às 8h, 18º às 9h, 20º às 10h e
23º às 11h, observamos que:
MA = 14 + 15 + 15 + 18 + 20 + 23 = 105 = 17,5ºC
6
6
Ex 3: um aluno realizou diversos trabalhos durante um
bimestre e obteve as notas: 7,5; 8,5; 10,0; 7,0
– Generalizando:
MA = x1 + x2 + x3 + ...+xn = x
n
n
n
x
x
i 1
n
i
MÉDIA ARITMÉTICA – DADOS AGRUPADOS
(média aritmética ponderada)
Ocorre Quando:
– Os dados possuem “pesos” diferentes
– Os dados estiverem agrupados numa distribuição de freqüências
Ex 1: média aritmética ponderada. Um aluno recebeu a
seguinte pontuação no semestre: Prova: 6,5 (peso 2); Trabalho
Individual: 7,0 (peso 3); debate: 6,0 (peso 1) e 7,0 no trabalho
de equipe (peso 2). Sua média será:
MA = 2 . 6,5 + 3 . 7,0 + 1 . 6,0 + 2 . 7,0 = 54 = 6,75
2+3+1+2
8
Quando calculado a média aritmética de nº que se repetem
(dados por sua frequencia absoluta):
Ex 2: calcule a média aritmética de 7, 7, 7, 9, 9, 9, 9, 9, 11, e 11
MA = 3 . 7 + 5 . 9 + 2 . 11 = 88 = 8,8
3+5+2
10
n
x
x F
i
i 1
n
i
n   Fi
MÉDIA ARITMÉTICA – DADOS AGRUPADOS
(média aritmética ponderada)
Exemplo dada a seguinte distribuição amostral: Determine a média
Xi
1
2
3
4
Fi
1
3
5
1
Dispositivo Prático:
Peso
(kg)
Xi
Fi
xiFi
1
1
1
2
3
6
3
5
15
4
1

10
x
i
i 1
n
i
40 a 44 a
44
48
Fi
1
3
48 a
52
7
Classes
Fi
Xi
(PM)
xiFi
4
40 |--- 44
1
42
42
26
44 |--- 48
3
46
138
48 |--- 52
7
50
350
52 |--- 56
6
54
324
56 |--- 60
3
58
174
Total
20
n
x F
Exemplo: Determine o peso médio
de um grupo de pessoas (média de
uma distribuição populacional)
26

 2,6
10
1028
52 a 56 a
56
60
6
3
Transformação de dados
A transformação de dados é um método utilizado para facilitar e
padronizar um conjunto de dados em vários tipos de procedimentos
estatísticos. Um método utilizado abaixo é utilizado quando a
amplitude dos dados é constante.
fórmula:
Onde:
zi 
Xi = valores da variável
X0 = constante arbitrária tomada convenientemente
H = amplitude entre os valores ou intervalo de
classes
Zi = “valores transformados”
x i - x0
h
Exemplo: Dada a distribuição abaixo
calcule os zi correspondentes aos xi
considerando x0 = 21, (h=2) .
xi
17
19
21
23
25
Fi
8
12
15
7
5
x1 - x 0
17 - 21
-4
z1 


h
2
2
Xi
Fi
Zi
ziFi
17
8
-2
-16
19
12
-1
-12
21
15
0
0
23
7
1
7
25
5
2
10

47
-11
Transformação de dados
Exercício 2: Recalcule o valor de zi e  ziFi, considerando
x0 = Média aritmética do conjunto de dados do exemplo anterior.
Utilize:
xi - x0
zi 
h
Xi
Fi
XiFi
Zi
ziFi
17
8
136
-1,77 -14,13
19
12
228
-0,77
-9,19
21
15
315
0,234
3,51
23
7
161
1,234
8,64
25
5
125
2,234
11,17

47
965
1,17
0
n
x
x F
i
i 1
n
i

965
 20,53...
47
x1 - x 0 17 - 20,53
z1 

h
2
Propriedade da média aritmética “o somatório dos desvios em
relação a sua média é igual a zero” considerando n elementos de
uma População ou Amostra
Transformação de dados
Exercício 3: Recalcule o valor de zi e  ziFi, considerando x0 = Média
aritmética do conjunto de dados do exemplo anterior.
Utilize:
Desvio em relação a média
z i  xi - x0
Xi
Fi
xiFi
17
8
136
-3,53 -28,26
19
12
228
-1,53 -18,38
21
15
315
0,47
7,02
23
7
161
2,47
17,28
25
5
125
4,47
22,34

47
965
2,34
0
Zi
ziFi
Propriedade da média aritmética “o somatório dos desvios em
relação a sua média é igual a zero” considerando n elementos de
uma População ou Amostra
Média Geral
A média aritmética de várias séries estatísticas diferentes
chama-se de Média Geral
Fórmula
n
n1x1  n 2 x2  ...  nk xk
XG 

n1  n 2  ...  nk
n X
j 1
j
nj
j
Em que:
XG = Média geral
nj = nºs de termos de cada série
Xj = médias aritméticas de k séries
Exemplo
Sejam as séries: (Obs: MA = Média Aritmética)
1) 4, 5, 6, 7, 8
onde n1 = 5
e
MA = 6
2) 1, 2, 3
onde n2 = 3
e
MA = 2
3) 9, 10, 11, 12, 13
onde n3 = 5
e
MA = 11
A média Geral será:
XG 
5  6  3  2  5  11
7
5 35
Média Geométrica
A média geométrica é muito utilizada para resolver problemas de
que envolvem calculo de áreas ou quando os dados se
desenvolvem segundo uma progressão geométrica.
Fórmula
Em que:
n
F3
Fn Mg = Média geométrica
F1
F2
Fi
n
Xg ou M g   xi  x1  x2  x3  ... xn
n = Fi
i 1
x1, x2, x3, ..., xn = valores de X, associados às frequencias absolutas (F1,
F2, ...Fn)
Quando F1 = F2 = F3 = ... = Fn = 1, temos: M g 
n
n
 xi  n x1  x2  x3  ... xn
i 1
Exemplo 1
Calcular a média geométrica dos valores 3, 6, 12, 24, 48.
M g  5 3  6  12 24 48  12
Média Geométrica
Exemplo 2
Calcular a média geométrica para a distribuição:
Xi
1
2
3
5
Fi
8
6
5
3
Solução 1 (aplicando a fórmula direta)
n
M g  n  xiFi  22 18  26  35  53  18 / 22  26 / 22  35 / 22  53 / 22 
i 1
Obs. A aplicação
direta da fórmula
acarreta um
grande nº de
operações
Solução 2 (uso de logaritmos)
Aplicando log de Mg temos:
F1 log x1  F2 log x2  F3 log x3  ...  Fn log xn
log M g 
n
Assim:
8  log 1  6  log 2  5  log 3  3  log 5
log M g 
8653
log Mg = 0,2858 → utilizando a
função 10x da calculadora
Mg = 1,9311
Média Geométrica
Exemplo 3
Apresentado os dados de determinado produto e seu respectivo
consumo em um período inflacionário, calcule o preço médio por
trimestre do artigo durante o ano.
Consumo
Preço
1º Trimestre
200 caixas
$ 30,00
2º Trimestre
100 caixas
$ 100,00
3º Trimestre
200 caixas
$ 200,00
4º Trimestre
100 caixas
$ 500,00
Solução 1 (aplicando a fórmula direta)
n
M g   xiFi  600 30200 100100  200200  500100  300,333 1000,167  2000,333  5000,167
n
i 1
Mg  3,107 2,154 5,848 2,817  110,26
Solução 2 (faça o cálculo de Mg aplicando a forma logarítimica)
Média Harmônica
A média Harmônica é particularmente recomendada para
série de valores que são inversamente proporcionais, como
por exemplo: velocidade média, tempo médio de escoamento
de estoques, custo médio de bens comprados com uma
quantia fixa etc
Fórmula
Em que:
n
n
X h ou M h 
 n
F1 F2
Fn
Fi Mh = Média Harmônica
  ... 
nj = nºs de termos de cada série

x1 x 2
x n i 1 x i
Xi = valores de X (x1, x2, ...xn),
associados às frequencias absolutas (F1, F2, ...Fn)
Exemplo 1
Calcular a média harmônica para 2, 5, 8. Então:
3
Mh 
 3,64
1 1 1
 
2 5 8
Média Harmônica
Exemplo 2
Um vendedor viaja da cidade A para a cidade B a 50 km/h e volta a 90
km/h. Determinar a velocidade de toda a viagem.
2
2(450)
Mh 

 64,28km/ h
1
1
95

50 90
Para pensar: e quando as
distancias percorridas não
são iguais?
Exemplo 3
Em uma pesquisa sobre a duração de certa pasta dental junto a 50 famílias
do mesmo tamanho e classe social os resultados foram os abaixos
descritos. Calcular a duração média da pasta dental. (PM = Ponto médio)
Dias
Nº de famílias
Xj (PM)
10/12
8
11
12/14
12
13
14/16
50
15
16/18
10
17
Mh 
8  12  20  10
 13,99dias
8 12 20 10
  
11 13 15 17
Média Harmônica
Exemplo 4
Uma pessoa comprou em três trimestres consecutivos combustível aos
seguintes preços: $ 5,00, $ 6,00 e $ 8,00 o litro respectivamente.
Determinar o custo médio (CM) em todo o período considerado.
Para pensar: A pergunta acima não oferece alguns dados
importantes para o calculo da média, qual ou quais seriam eles?
Hipótese 1: Considerando o
mesmo consumo em litros (ex: 40
litros de combustível) temos:
40($ 5)  40($ 6)  40($ 8)
CM 
 $6,33
120
Este valor corresponde a média
aritmética dos preços dos litros:
X 
$ 5  $6  $ 8
 $6,33
3
Hipótese 2: Considerando o
mesmo consumo monetário (ex:
$240/trimestre) temos:
$720
CM 
 $6,10
$240 $240 $240


$5
$6
$8
Este valor corresponde a média
harmônica dos preços dos litros:
3
MH 
 $6,10
1 1 1
 
5 6 8
Mediana
Colocados os dados em ordem crescente ou decrescente, é o
elemento que ocupa a posição central. A mediana será:
a) O elemento que ocupar a posição central se n for impar;
b) A média aritmética dos dois elementos que estiverem no
centro se n for par
Exemplo 1
Numa classe, foram anotadas as faltas durante um período de 15
dias: 3, 5, 2, 0, 2, 1, 3, 4, 5, 7, 0, 2, 3, 4 e 7
Em ordem crescente temos:
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14 15  posição das variáveis ordenadas
0, 0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 7, 7

(7 elementos)
Me
(7 elementos)
Como 15 é impar, o termo médio é o 8º
Generalizando:
- Quando n é impar a mediana será o elemento de ordem (n + 1)/2
Mediana
Exemplo 2
As idades dos alunos de uma equipe são 12, 16, 14, 12, 13, 16,
16 e 17 anos
Em ordem crescente temos:
12, 12, 13, 14, 16, 16, 16, 17

(duas posições centrais)
Como temos um nº par de valores (8), fazemos a média aritmética entre os
dois centrais, que são o 4º e o 5º termos.
Logo a mediana é dada por:
Me = (14 + 16)/2 = 30/2 = 15
Generalizando:
- Quando n é par a mediana será a média entre os elementos centrais de
ordem n/2 e (n/2 + 1).
Moda
A moda (Mo) é a medida de tendência central definida como
valor mais frequente de um grupo de valores observados
Exemplos
Pessoas com idades de 2, 3, 2, 1, 2 e 50 anos. Mo = 2
Notas obtidas: 6,0; 7,5; 7,5; 5,0 e 6,0. Neste caso dizemos que a moda é 6,0 e
7,5, e que a distribuição é bimodal.
Observação: Quando não há repetição de números, como por exemplo, para
os números 7, 9, 4, 5 e 8, não há Moda.
Mediana e Moda a partir das tabelas de
frequencias e dados agrupados em classes
Exemplo Anterior: Pesquisa sobre
o “peso” (kg) de um grupo de
pessoas
-
Mediana:
Total das freqüências é par
(20);
Valores centrais estão na 10ª
e 11ª posição
Com auxílio da tabela abaixo
Classes
Fi
Xi (PM)
xiFi
40 |--- 44
1
42
42
44 |--- 48
3
46
138
48 |--- 52
7
50
350
PM
Fac
52 |--- 56
6
54
324
42
1
56 |--- 60
3
58
174
46
4
Total
20
1028
50
11
54
17
58
20
MA = 1028/20 = 51,4 kg
Moda: A maior frequencia, 7, indica
que o intervalo 48 |--- 52,
representado pelo ponto médio
(PM = 50) logo Mo = 50
-
Me = 50 + 50 = 50 kg
2
Fac: freq. acum. crescente
-