ESTATÍSTICA APLICADA
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11. Medidas de Tendência Central ou Medidas de Posição
11.1 Introdução
Até aqui fizemos um estudo sobre distribuição de frequências, o que nos permite descrever, de
modo geral, os grupos dos valores que uma variável pode assumir. Dessa forma, podemos localizar a
maior concentração de valores de uma dada distribuição, isto é, se ela se localiza no início, no meio
ou no final, ou ainda, se há uma distribuição por igual.
Porém, para ressaltar as tendências características de cada distribuição, isoladamente, ou em
confronto com outras, necessitamos introduzir conceitos que expressem através de números, que nos
permitam traduzir essas tendências. Esses conceitos são denominados elementos típicos da
distribuição e são as:
a) medidas de posição;
b) medidas de variabilidade ou dispersão;
c) medidas de assimetria;
d) medidas de curtose.
As medidas de posição mais importante são as medidas de tendência central , que recebem tal
denominação pelo fato de os dados observados tederem, em geral, a se agrupar em torno dos valores
centrais.
Dentre as medidas de tendência central, destacamos:
a) a média aritmética;
b) a mediana;
c) a moda.
As outras medidas de posição são as separatrizes, que englobam:
a) a própria mediana;
b) os quartis;
c) os percentis.
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11.2 Tipos de Médias
11.2.1 Média Aritmética
Média aritmética de N números é o quociente da divisão da soma desses números por N (total
de elementos).
Generalizando, a média aritmética entre os números a, b, c, d , . . . , n , será:
Ma =
a + b + c + d + ... + n
N
Exemplo: Achar a média aritmética dos números: 5, 7 e 9.
Ma =
5+7+9
21
=
3
3
⇒ Ma = 7
11.2.2 Média Ponderada
Ao tirarmos a média aritmética de várias quantidades, devemos levar em considerações certas
circunstância que influem nos valores dessas quantidades.
Para calcular a média aritmética ponderada, multiplicamos os números pelos respectivos pesos
e dividimos a soma desses produtos pela soma dos pesos.
Generalizando, calcular a média ponderada dos números N ′, N ′′, N ′′′, . . . . . atribuindo-lhes,
respectivamente, os pesos p ′, p ′′, p ′′′, .....
Mp =
Np + N ′p ′ + N ′′p ′′ + N ′′′p ′′′ + . . .
p + p ′ + p ′′ + p ′′′ + . . .
Exemplo: Vamos calcular a média ponderada dos números: 15, 20 e 32, atribuindo-lhes
respectivamente os pesos 4, 3 e 2.
Mp =
15 . 4 + 20 . 3 + 32 . 2
60 + 60 + 64
=
4+3+2
9
⇒ Mp =
184
= 20,44
9
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11.2.3 Média Harmônica
Calculamos a Média harmônica de n números a , b, c, . . . , dividindo n pela soma dos inversos
desses números.
n
Assim: M h =
1 1 1
+ + + ...
a b c
Ou ainda, média harmônica é o inverso da média aritmética dos inversos desses números.
Mh =
1
1 1
+
a b
2
Exemplo 1: Calcular a média harmônica dos números: 4 e 8.
Mh =
2
1 1
+
4 8
=
2
= 5,33
3
8
Exemplo 2: Calcular a média harmônica dos números: 2, 3 e 4.
Mh =
3
3
=
= 2,77
1 1 1
13
+ +
2 3 4
12
Exemplo 3: Calcular a média harmônica dos números: 2, 5 e 8.
Mh =
3
= 3,64
1 1 1
+ +
2 5 8
A média harmônica é particularmente recomendada para séries de valores que são inversamente
proporcionais, como para o cálculo de velocidade média, tempo médio de escoamento de estoques,
custo médio de bens comprados com uma quantia fixa etc.
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11.2.4 Média Geométrica
Média geométrica ou proporcional é raiz de índice igual à quantidade de números do produto
deles. Veja: M g =
n
a . b . c . ... . n
Exemplo 1: Assim, a média geométrica entre 6 e 24 será:
Mg =
6 . 24 =
144 = 12
Exemplo 2: A média geométrica entre os números: 2, 4 e 8 será:
Mg =
3
2 . 4 .8 =
3
64 = 4
Exemplo 3: A média geométrica entre os números: 3, 6, 12, 24 e 48 será:
Mg =
5
3 . 6 .12 . 24 . 48 =
5
248.832 = 12
11.3 Propriedades das Médias de dois Números Positivos
Ma =
a)
a +b
2
Mh =
2.a.b
a+b
Mg =
a .b
M h ≤ Mg ≤ Ma
b) M g =
Ma .M h
(M )
n
c) M
h
=
g
Ma
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11.4 Listas de Exercícios
11.4.1 Lista de Exercícios Nº 01
1. Calcule a média aritmética, a mediana e a moda de cada um dos conjuntos abaixo:
a)
b)
c)
d)
40, 43, 43, 48, 47, 52, 65, 34, 51, 40, 41, 39, 43, 22
3, 6, 4, 7, 4, 2, 5, 1, 2, 8, 0, 1, 6, 3, 0, 8, 3, 5, 5, 8
2, 3, 0, 9, 8, 0, 1, 3, 4, 9, 2, 3, 4, 3, 6, 8, 3, 3, 0
21, 104, 19, 19, 21, 19, 104, 21, 19, 104, 14, 140, 104, 21
2.A produção mensal média de 12 indústrias de laticínios é de 2,5 toneladas de queijo.
Qual é a produção total das 12 industrias ?
3.Numa pesquisa feita dentre os alunos de uma escola para saber da existência de irmãos mais
novos, obtiveram-se os dados mostrados na tabela abaixo:
Nº de irmãos + novos
------------------------6
------------------------5
------------------------4
------------------------3
------------------------2
------------------------1
------------------------0
Freqüência
4
6
10
12
22
31
18
Calcule:
a)
b)
c)
O número médio de irmãos mais novos;
O número mediano de irmãos mais novos;
A moda de irmãos mais novos.
4.Numa avaliação de Matemática no valor de 30 pontos, a média da classe foi de 15 pontos e a
mediana, 10 pontos. Se tomarmos um aluno qualquer dessa classe, é mais provável que ele
esteja acima ou abaixo da média ? Por quê ?
5.Uma amostragem de 24 latas de um certo produto apresentou os seguintes volumes:
16
18
14
21
23
15
11
9
10
17
9
10
7
15
5
15
5
6
9
5
7
15
7
15
Determine
a) A média;
b) A mediana da amostra.
6.Duas amostragens foram feitas e conseguiram-se os seguintes resultados:
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AMOSTRA 1
47
250,4
Nº de Elementos
Média
AMOSTRA 2
36
249,2
Calcule a média geral das duas amostras.
7.Para
os valores dos pesos de 32 alunos de uma classe, dados abaixo, determine a
média, a mediana e a moda:
62
64
67
69
63
65
67
69
63
66
68
70
64
66
68
70
64
66
68
70
64
66
68
71
65
67
68
71
67
67
69
71
8.A altura dos jogadores de um quadro de basquete são: 1,98 m;
2,02 m; 2,08 m; 1,92 m
e 1,95 m. Qual é a média de alturas dessa equipe ?
9.Nas linhas seguintes estão as idades, em anos, de 20 alunos que estudam na 1ª série do
2º grau:
15
15
15
15
14
16
16
16
16
16
16
17
17
16
16
15
14
14
15
15
Qual é a média aritmética dessas distribuições?
Calcule a mediana;
Qual é a moda?
a)
b)
c)
10.Calcule a mediana dos seguintes conjuntos de dados abaixo:
a)
7
9
10
7
7
5
9
9
10
10
4
10
b)
1
1
3
3
5
5
3
3
2
2
1
1
12
11.O quadro abaixo nos mostra as notas de uma prova de Matemática feitas pelos alunos
da 2ª série do Ensino Médio, de um determinado colégio.
Nº
Nota
a)
b)
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
7 3 3 5 6 6 4 4 7 4 5 5 4 8 7 7 4 5 5 3
Determine a média aritmética dessa distribuição;
Determine a mediana da distribuição.
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12.O quadro abaixo nos mostra as idades de 40 pessoas que prestaram um concurso de
seleção para um banco, que são as seguintes:
18
19
18
20
a)
b)
18
20
18
20
18
20
18
20
18
20
18
20
18
20
18
20
18
20
18
21
19
21
19
21
19
21
19
21
19
22
19
22
19
22
19
22
Ache a média do quadro de distribuição acima;
Determine a mediana e a moda dessa mesma distribuição.
11.4.2 Lista de Exercícios Nº 02
1. Os salários-hora de cinco funcionários de uma companhia são:
R$ 75,00
R$ 90,00
R$ 83,00
R$ 142,00
e
R$ 88,00
a) a média dos salários-horas;
b) o salário - hora mediano.
Determine:
2.As notas de um candidato, em seis provas de um concurso, foram:
8,4
9,1
7,2
6,8
8,7
7,2
a) a nota média;
b) a nota mediana;
c) a nota modal.
Determine:
3.Em
uma classe de 50 alunos, as notas obtidas formaram a seguinte distribuição;
encontre a nota média, a nota mediana e a nota modal:
NOTAS
2
3
4
5
6
7
8
9
10
N.º DE
ALUNOS
1
3
6
10
13
8
5
3
1
4.As idades dos jogadores de dois times de futebol são:
Time A
Time B
16
15
18
15
16
16
17
18
19
17
16
15
17
19
19
17
18
19
18
18
17
16
Responda:
a) qual o time que apresenta a maior idade média?
b) qual a idade que mais se repete em cada time?
c) qual a idade média de todos os jogadores em campo?
d) qual a mediana de todas as idades?
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5.Os dados abaixo referem-se ao número de cigarros que os funcionários de uma empresa
fumam por dia.
0
0
5
5
0
5
6
0
4
0
0
0
2
8
0
0
0
5
8
0
0
0
6
0
15
0
6
Calcule:
a) a média, a moda e a mediana desses dados;
b) a média, a moda e a mediana se retirarmos os não fumantes do estudo
6.Nos seguintes dados:
5 - 4 - 3 - 6 - 6 - 3 - 1 - 6 - 2
a) ordene:
b) determinar a moda:
c) o conjunto apresenta quantas modas?
d) Existe conjunto sem moda, sim ou não? Explique:
11.4.3 Lista de Exercícios Nº 03
1. Calcule a média aritmética dos dados abaixo:
a)
b)
c)
d)
3, 4, 5, 8 e 9
35, 36, 37 e 38
3, 4, 6 e 7
3½, 4 e 5,7
2. Calcule a média geométrica dos dados abaixo:
a) 2 e 8
b) 3, 27, 3,
1
e3
3
1
1
e
4
25
1
9
d)
e
4
25
2
e)
e8
4
3
f) 0, 5,
e1
4
c)
3. Calcular o valor do termo faltante, sabendo-se que a média geométrica é 4 e que os
termos são 2 e x.
4. Sabendo-se que a média geométrica entre 2 números é 10 e que um é o dobro do outro,
quais são os números?
5. Calcular a média harmônica entre: 5, 6, 7 e 8
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6. Dados M a = 5 e M g = 10 . Sabendo-se que são três termos pede-se a média
harmônica.
7. Calcule a média ponderada dos dados abaixo:
a) 9, 12, 4 e 6 sendo os pesos iguais a 2, 3, 1 e 4 respectivamente.
b) 5, 8,5 e 7,4 sendo os pesos iguais a 3, 2 e 5 respectivamente.
c) 0,63; 0,45 e 0,12 sendo os pesos iguais a 1, 2 e 7 respectivamente.
8. Sabendo-se que a média entre 5 números é 8 e que existem 2 números iguais e que os
outros três números são: 6, 8 e 10. Qual o valor do outro número.
9. Sabendo-se que foi calculada a média aritmética entre 5 números e que três deles são:
10, 12 e 13 e que os outros dois estão relacionados na razão de ½ obtivemos como
média o número 10. Calcular os dois números faltantes.
10.
Calcule a média ponderada com arredondamento para duas casas decimais.
a) 3, 5 e 6 sendo os pesos iguais a 4, 3 e 2 respectivamente.
b) 5, 7, 9 e 10 sendo os pesos iguais a 3, 2, 4 e 5 respectivamente.
11.
A média ponderada entre os números 3, 5, x, 4 com os pesos 5, 3, 4, 3 é igual a 5.
Quanto vale x?
12.
A média ponderada entre os números 5, 10, 2, 3 com os respectivos pesos iguais a
2, 3, x, 5 é igual a 3. Qual é o valor de x?
13.
(PUC-SP) Sabe-se que a média aritmética dos 100 números de um conjunto é 94,34.
Retirando-se dois números desse conjunto, a média aritmética dos números restantes
passa a ser 96. Quais os números retirados, se a média geométrica entre eles é 12 ?
14.
(UNICAMP-SP) Numa escola é adotado o seguinte critério: a nota da 1ª Prova é
multiplicada por 1, a nota da 2ª Prova é multiplicada por 2 e a da última Prova é
multiplicada por 3. Os resultados, após somados, são divididos por 6. Se a média obtida
por esse critério for maior ou igual a 6,5 o aluno é dispensado das atividades de
recuperação. Suponha que um aluno tenha tirado 6,3 na 1ª Prova e 4,5 na 2ª Prova.
Quanto precisará tirar na 3ª Prova para ser dispensado da recuperação?
15.
(UNICAMP-SP) O IBGE contratou um certo número de entrevistadores para realizar o
recenseamento em uma cidade. Se cada um deles recenseasse 100 residências, 60
delas não seriam visitadas. Como, no entanto, todas as residências foram visitadas e
cada recenseador visitou 102, quantas residências têm a cidade?
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59
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16.
Numa corrida de Kart de 62 voltas, o piloto Chumbinho pé de Chinelo chegou na
frente do piloto Miguel, vulgo Alemão por 26 segundos. Chumbinho demorou 15 s no box,
enquanto que o Alemão parou 10 s. Em média, quantos segundos por volta o piloto
Chumbinho ganhava do piloto Alemão?
17.
(VUNESP-SP) Ronaldo disse a Valéria: “Pense em um número: dobre esse número;
some 12 ao resultado; divida o novo resultado por 2. Quanto deu?” Valéria disse: “15”, ao
que Ronaldo imediatamente revelou o número original que Valéria havia pensado.
Calcule esse número.
18.
(UNICAMP-SP) Alguns jornais calculam o número de pessoas presentes em atos
públicos considerando que cada metro quadrado é ocupado por 4 pessoas. Qual a
estimativa do número de pessoas presentes numa praça de 4.000 m2 que tenha ficado
lotada para um comício, segundo essa avaliação?
11.5 DESAFIOS
01.A média de 20 números é 14,5. Se subtrairmos de cada um de dez deles 2 unidades e
de cada um dos dez restantes 3 unidades, a média passará a ser:
b) 11,5
c) 12,0
d) 14,0
e) 17,0
a) 13,5
02.A média entre dois números é 6,0 e sua diferença é 2,0. O maior destes números é:
a) 7
b) 6
c) 5
d) 4
e) 3
03.A média entre 20 números é 7,0. Dentre estes 20 números existem 7 números cuja
média é 6,0. A média dos 13 números restantes é:
a) 6,37
b) 9,81
c) 5,23
d) 8,42
e) 7,54
04.A média de uma turma em uma prova de Matemática foi 5,5. Desprezando-se as duas
piores notas de zero e 2,0, a média passa a 6,0. O número de alunos da turma é:
a) 22
b) 54
c) 70
d) 20
e) 37
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