Matemática e suas
Tecnologias - Matemática
Ensino Fundamental, 6º Ano
Calculo da média aritmética, moda e
mediana em situações do cotidiano
Matemática, 6º Ano do Ensino Fundamental
Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Cálculo da média aritmética, moda e mediana
em situações do cotidiano
Objetivos:
• Entender como se dá a distribuição de dados em uma amostra
e como obter informações importantes do universo amostral;
• Conhecer os conceitos das medidas de tendência centrais:
média aritmética (simples e ponderada), moda e mediana de
uma amostra finita;
• Aplicar esses conceitos em diversas situações do nosso
cotidiano.
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Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Cálculo da média aritmética, moda e mediana
em situações do cotidiano
Um pouco de história:
• A origem da palavra Estatística está associada à palavra latina STATUS
(Estado). Há indícios de que 3000 anos A.C. já se faziam censos na
Babilônia, China e Egito e até mesmo o 4o livro do Velho Testamento faz
referência à uma instrução dada a Moisés, para que fizesse um
levantamento dos homens de Israel que estivessem aptos para guerrear.
• Seus fundamentos do ponto de vista matemático foram estabelecidos no
século XVII com o surgimento da teoria das probabilidades, devido a Pascal
e Fermat, inicialmente aplicados ao estudo dos jogos de azar.
• Atualmente, o uso de computadores modernos permite a computação e a
análise de dados estatísticos em larga escala e também tornam possíveis
http://pt.wikipedia.org/wiki/História_da_estatística
novos métodos antes impraticáveis.
Confira o link!
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Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Estatística e organização dos dados
Como sabemos, a estatística é o ramo da Matemática que de modo geral
coleta, organiza, analisa e fornece informações quantitativas sobre uma
determinada população ou coleção de elementos.
Como quase sempre não é possível obter as informações sobre todos os
elementos da população, nos limitamos a pesquisar uma pequena parte
dela, a qual chamaremos de amostra.
Assim, a amostra representará a população e por isso deve ser formada
de modo imparcial, sem privilegiar ou diminuir nenhum de seus
componentes, para que as conclusões sejam imparciais e consistentes.
Ainda em relação à amostra, estudaremos as variáveis, ou seja, as
características da população representada pela amostra que queremos
analisar.
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Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Situação-problema:
Em uma turma de uma escola de Medicina, um aluno registrou o
batimento cardíaco por minuto de seus colegas, obtendo os seguintes
dados:
75
90
78
85
85
90
76
92
76
85
79
76
77
75
90
88
90
85
78
76
92
77
76
80
79
78
75
77
78
90
80
78
76
92
76
80
85
90
77
90
77
78
88
76
85
78
92
76
Observe que nesta tabela, muitos
valores aparecem repetidas vezes.
Mais ainda, os dados encontramse dispostos de modo aleatório,
complicando uma análise mais
detalhada de seus elementos.
Assim, somos levados a produzir um tipo especial de tabela, a fim de
facilitar o entendimento e a análise dos seus dados. A esse tipo de tabela
chamaremos de distribuição de frequências.
A frequência de um valor será o número de vezes que esse valor
aparece na amostra (tabela):
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Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Deste modo, podemos expressar os dados de acordo com a seguinte
distribuição de frequências:
Número de batimento 75
cardíacos por minuto
76
77
78
79
80
85
88
90
92
Frequência
9
5
7
2
3
6
2
7
4
3
Observamos, por exemplo, que ao todo 5 alunos da turma apresentaram
77 batimentos cardíacos por minuto.
Observamos ainda que a menor frequência cardíaca observada foi 75
batimentos por minuto e que a maior foi 92 batimentos por minuto,
correspondendo a 3 e 4 alunos, respectivamente.
Mais ainda, podemos afirmar que 76 batimentos por minuto foi a
frequência cardíaca que apareceu mais vezes na tabela.
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Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Medidas Estatísticas
Como vimos, a distribuição de frequências é uma ferramenta que facilita
a descrição de um modo mais resumido de nossa população ou amostra e
proporciona uma primeira análise que valores de uma determinada
variável em estudo pode assumir.
Para obter uma análise mais aprofundada, podemos fazer uso de medidas
que expressam tendências de determinada característica ou valores de
nossa amostra.
Deste modo, estudaremos algumas medidas de tendência central, que de
modo simplificado, trazem consigo informações do comportamento geral
da população ou amostra estudada. Assim, consideramos as seguintes
medidas estatísticas:
Média Aritmética
Moda
Média Aritmética Ponderada
Mediana
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Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Média Aritmética
A média aritmética, ou simplesmente média, é uma medida de tendência
central que se comporta com o ponto de equilíbrio dos valores obtidos a
partir de um conjunto de dados.
Dentre todas as medidas de tendência, talvez seja a mais popular, pois
desde o início de nossa vida escolar somos obrigatoriamente
apresentados a ela e nos habituamos com seu cálculo, que por ser
simples é bastante utilizada no nosso cotidiano.
Quando nossa amostra ou população apresenta uma distribuição de
frequências aproximadamente simétrica e não apresenta valores muito
deslocados, isto é, valores extremamente afastados uns dos outros, sua
utilização para estimar informações da amostra se torna mais eficiente.
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Média Aritmética
Para calcular a média aritmética de dois ou mais dados numéricos, dividimos
a soma desses números pela quantidade dos números dados.
Vejamos com isso se aplica na nossa situação-problema:
Número de batimento 75
cardíacos por minuto
76
77
78
79
80
85
88
90
92
Frequência
9
5
7
2
3
6
2
7
4
3
Considerando inicialmente as frequências cardíacas que apareceram, isto
é, desconsideramos as frequências de cada uma delas.
Assim, os valores para os quais calcularemos a média aritmética serão:
75 , 76 , 77 , 78 , 79 , 80 , 85 , 88 , 90 e 92 .
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Média Aritmética
Assim, podemos ver que a média aritmética, ou simplesmente a média,
será dada por:
Média 
75  76  77  78  79  80  85  88  90  92
10

820
 82 .
10
De modo geral, podemos dizer que na média a frequência cardíaca dos
alunos da turma foi de 82 batimentos por minuto. Isso significa dizer que
se todos os batimentos fossem iguais, esse seria o valor encontrado.
Observe ainda que o valor da média aritmética é sempre maior ou igual
que o menor valor e menor ou igual que o maior valor da lista de números.
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Média Aritmética Ponderada
Para calcular a média aritmética ponderada dos dados numéricos de uma
tabela de distribuição de frequências, dividimos a soma desses números,
multiplicados pelas suas respectivas frequências, pela quantidade total dos
dados, isto é, pela soma de todas as frequências.
Voltemos à nossa situação-problema:
Agora, consideramos as frequências cardíacas que apareceram na tabela
de distribuição de frequências, bem como suas respectivas frequências.
Ou seja, calculamos a média aritmética ponderada utilizando os valores
dos batimentos cardíacos que aparecem na tabela, bem como suas
respectivas frequências.
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Média Aritmética Ponderada
Número de batimento 75
cardíacos por minuto
76
77
78
79
80
85
88
90
92
Frequência
9
5
7
2
3
6
2
7
4
3922
 81 , 7 .
3
Assim, temos que sua média aritmética ponderada será dada por:
Média 
75  3  76  9  77  5  78  7  79  2  80  3  85  6  88  2  90  7  92  4
3957 236 27 4

48
Observe que este valor representa melhor os valores encontrados, pois dá
a devida contribuição de todos os valores de batimentos cardíacos
presentes na tabela.
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Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Moda
Por definição, a moda de uma coleção de dados amostrais ou
populacionais é simplesmente o valor que aparece o maior número de
vezes, isto é, aquele que apresenta a maior frequência observada na
tabela de distribuição de frequências.
Em amostras grandes ou com valores muito repetidos, há casos em que a
moda não é única, situações em que dois ou mais valores amostrais
tenham ocorrido com a mesma frequência e esta quantidade de
ocorrências seja máxima.
Assim, dependendo de cada caso, podemos ter distribuições monomodais,
ou simplesmente modais, bimodais, trimodais ou ainda multimodais.
Pode acontecer ainda o caso em que todos os valores amostrais tenham
apresentado o mesmo número de ocorrências, significando que neste
caso não há moda, pois nenhum valor se destacou, configurando assim
uma distribuição amodal.
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Moda
Moda é o elemento (ou os elementos) que aparece com a maior frequência na
lista de todos os dados pesquisados, isto é, aqueles elementos que se
destacam pela maior quantidade na tabela de distribuição de frequências
analisada.
Assim, vejamos nossa tabela de distribuição de frequências da situaçãoproblema:
Número de batimento 75
cardíacos por minuto
76
77
78
79
80
85
88
90
92
Frequência
9
5
7
2
3
6
2
7
4
3
Observe que 76 batimentos cardíacos por minuto é o valor que mais
aparece na tabela e que sua frequência é 9.
Neste caso, dizemos 76 é a moda dessa amostra de dados estatísticos.
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Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Moda
Agora, considerando uma outra distribuição de frequências, poderíamos
obter resultados diferentes:
Número de batimento 75
cardíacos por minuto
76
77
78
79
80
85
88
90
92
Frequência
4
8
7
2
8
6
2
8
4
2
Neste caso, temos uma distribuição trimodal com os valores de 77, 80 e
90 batimentos cardíacos por minuto.
Por outro lado a distribuição abaixo é amodal, visto que todos os valores
apresentam a mesma frequência:
Número de batimento 75
cardíacos por minuto
76
77
78
79
80
85
88
90
92
Frequência
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
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Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Mediana
A mediana de uma distribuição de frequências é definida como o valor
ocupante da posição central da coleção ordenada de modo crescente ou
decrescente dos dados amostrais.
Deste modo, sua principal propriedade é dividir o conjunto das
informações em dois subconjuntos iguais com o mesmo número de
elementos: os valores que são menores ou iguais à mediana e os valores
que são maiores ou iguais à mediana.
Note que se um valor for extremamente deslocado, ou seja, muito afastado
dos outros, a mediana não será influenciada por este, ao contrário da
média, pois, por definição, é uma medida estatística vinculada à posição
ocupada e não à proximidade dos valores apresentados.
Assim, se um valor for extremamente pequeno ou grande, não influenciará
no cálculo da mediana.
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Mediana
Para calcular a mediana dos dados numéricos de uma tabela de distribuição
de frequências, ordenamos estes valores de modo crescente ou decrescente,
repetindo-os de acordo com as suas respectivas frequências, e tomamos o
valor que divide esta tabela em dois grupos iguais, isto é, com a mesma
quantidade de elementos.
De modo simples, se o número de elementos da amostra N for um número
ímpar, ou seja, N=2n+1, tomamos o elemento de ordem n+1.
Agora, no caso que este número de elementos é par, N=2n, tomamos a
média aritmética dos termos de ordem n e n+1.
Desse modo, a situação-problema tem 48 elementos que a compõem.
Assim, tomamos os termos de ordem 24 e 25, respectivamente dados por
79 e 79, e calculamos sua média aritmética, obtendo, assim, o valor da
mediana desta amostra como sendo igual a 79.
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Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Quando usar a média, a moda ou a mediana?
Usamos a média quando a distribuição dos dados for simétrica (ou quase) e
não apresenta valores muito deslocados, visto que é a medida de tendência
central mais popular e fácil de ser calculada.
Devemos usar a mediana quando aparecem valores deslocados na
distribuição dos dados, pois ela não é influenciada por valores extremos.
Usamos a moda quando existirem variáveis qualitativas e nominais, visto que
neste caso é a única medida de tendência central que podemos obter. Além
disso, quando queremos evidenciar o valor (ou valores) que mais aparece na
distribuição de frequências dos dados.
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Cálculo da média aritmética, moda e mediana
HORA DO FILME!
Ficou alguma dúvida?
Antes de alguns exemplos e exercícios, vamos assistir a um vídeo
postado no Youtube para revisar o que acabamos de aprender!
Clique no link ao lado para assistir ao filme:
http://www.youtube.com/watch?v=TIaURF9ieM4
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Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Exercícios Resolvidos
1. Uma fábrica do Complexo Industrial de SUAPE para estimar o número de
lâmpadas consumidas por ano, registrou o tempo de duração das lâmpadas
utilizadas em dias, obtendo a seguinte tabela:
21
25
23
28
19
23
23
20
25
21
20
19
19
20
20
25
28
28
20
21
20
19
19
25
19
a) Construa
uma
tabela
de
distribuição
de
frequências
associada a esta tabela;
b) Determine a média aritmética
ponderada, obtendo o tempo
médio de duração de uma
lâmpada;
c) Estime o número de lâmpadas necessárias durante um ano comercial
para um ponto de luz desta empresa.
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Solução:
Inicialmente construímos uma tabela de distribição de frequências, respondendo
assim o item (a):
Duração de uma lâmpada (em dias)
19
20
21
23
25
28
Frequência
6
6
3
3
4
3
(b) Agora, podemos então calcular o tempo médio de duração de uma lâmpada:
TM 
19  6  20  6  21  3  23  3  25  4  28  3
6633 43

550
 22 dias .
25
(c) Finalmente, podemos estimar o número de lâmpadas necessárias para manter
um ponto de luz durante um ano comercial:
N 
360
TM

360
22
 17 lâmpadas .
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Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Exercícios Resolvidos
2. O IBOPE pesquisou qual é o esporte preferido pelos moradores de uma
certa cidade. Para isto, entrevistou 2.500 pessoas, obtendo o seguinte
resultado:
Esporte preferido
Número de pessoas
Futebol
650
Voleibol
350
Natação
420
Tênis
280
Basquete
300
Boxe
220
Corrida
280
a) Qual é o esporte que apresenta
maior frequência nesta tabela?
b) E qual é o esporte que apresenta
menor frequência?
c) Qual o percentual da população
prefere voleibol?
d) Você saberia dizer qual é o esporte da moda? Justifique sua opinião!
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Solução:
Esporte preferido
Número de pessoas
Futebol
650
Voleibol
350
Natação
420
Tênis
280
Basquete
300
Boxe
220
Corrida
280
a) Note que o esporte que
apresenta a maior popularidade
nesta tabela é o futebol com a
preferência de 650 pessoas.
b) Por outro lado, o esporte que
apresenta a menor popularidade
é o boxe, preferido por 220
pessoas.
c) O percentual da população que
prefere o voleibol é 350  7  14 %.
2500
d) O esporte da moda é o futebol, pois como o próprio nome
indica é a moda da tabela de frequências acima.
50
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Exercícios Resolvidos
3. Insatisfeito com seu salário, um funcionário pesquisou nas empresas
vizinhas quanto ganhavam seus colegas que exerciam a mesma função:
1200,00
1050,00
1400,00
1500,00
1000,00
1400,00
1350,00
1100,00
1300,00
1200,00
1300,00
1400,00
a) Construa uma tabela de
distribuição
de
frequências
associada aos valores encontrados;
b) Determine o salário médio desses
funcionários;
c) Determine o salário modal desses
funcionários;
d) Sabendo que ele ganha R$ 1200,00, você acha que ele deve pedir
aumento? Justifique!
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Solução:
1200,00
a) Da tabela ao lado contruímos a
seguinte tabela de distribuição de
frequências associada aos salários
encontrados;
1050,00
1500,00
1400,00
1350,00
1100,00
1300,00
1200,00
1300,00
1400,00
Salário de cargo 1050,00 1100,00 1200,00
equivalente
Frequência
2
1
2
1400,00
1050,00
1300,00 1350,00 1400,00
2
1
1500,00
3
1
Deste modo, temos que:
15250
S

 1271 , 00 reais.
b) O salário médio destes funcionários é M
12
c) O salário modal dos funcionários é R$ 1400,00.
d) Sim, pois o salário médio e o salário modal encontrados na vizinhança
são maiores do que o salário do funcionário.
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Exercícios Resolvidos
4. No edifício em que moro foi feito um censo dos moradores e identificados
os jovens com idade entre 15 e 20 anos conforme o seguinte gráfico:
a) Quantos
edifício?
14
12
jovens
residem
no
10
8
Garotos
Garotas
6
4
b) Calcule a média de idade dos
garotos e das garotas, bem como
a média de idade dos jovens;
2
0
15
16
17 18
19
20
anos anos anos anos anos anos
c) Determine a idade modal das
garotas, dos garotos e dos
jovens do edifício;
d) Calcule a idade mediana dos garotos, das garotas e dos jovens.
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Solução:
14
12
a) É fácil ver que no edifício moram
53 garotos e 47 garotas,
totalizando 100 jovens.
b)
As
médias
de
idades
aproximadamente são: 19 anos é
a média de idade dos garotos,18
é a média de idade das garotas e
18 é a média de idade dos
jovens.
d) As idades medianas dos garotos,
das garotas e dos jovens são todas
18 anos.
10
8
Garotos
Garotas
6
4
2
0
15
16
17 18
19
20
anos anos anos anos anos anos
c) A idade das garotas é bimodal
com valores 16 e 19 anos, dos
garotos é modal com valor de 20
anos e dos jovens é trimodal com
valores 16, 19 e 20 anos.
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Exercícios Propostos:
1. Uma concessionária de veículos vendeu no primeiro semestre de um ano
as quantidades de automóveis indicadas no quadro abaixo:
Mês
Jan
Fev
Mar
Abr
Mai
Jun
Qtd de carros vendidos
38
30
25
36
38
31
a) Qual foi o número total de carros
vendidos no semestre?
b)Qual foi o número médio de carros
vendidos por mês?
c) Quantos carros foram vendidos
acima da média no mês de maio?
d) Tomando como referência os três
primeiros
meses,
faça
uma
estimativa de quantos carros
deveriam ter sido vendidos no
primeiro semestre.
e) Compare os resultados dos itens
(a) e (d). Por que eles não são
iguais? Justifique!
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Exercícios Propostos:
2. Em uma turma com 30 alunos, foram obtidas as seguintes notas em
Matemática:
a) Construa uma tabela de distribuição
de frequências associada às notas
dos alunos da turma;
2,0
3,0
4,0
3,0
4,0
5,0
4,0
5,0
6,0
6,0
5,0
4,0
6,0
7,0
5,0
3,0
4,0
8,0
b) Calcule a média aritmética das notas;
7,0
5,0
2,0
9,0
9,0
9,0
c) Determine a nota mediana da turma;
10,0 2,0
9,0
7,0 10,0
8,0
d) Obtenha a nota modal desta tabela.
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Exercícios Propostos:
3. (PUC-SP) A média aritmética de 100 números é igual a 40,19. Retirando-se
um desses números, a média aritmética dos 99 números restantes passará a
se 40,5. O número retirado equivale a:
a) 9,5 %
d) 750%
b) 75%
e) 950%
c) 95%
4. (UNICAMP-SP) A média aritmética das idades de um grupo de 120 pessoas
é de 40 anos. Se a média aritmética das idades das mulheres é de 35 anos e a
dos homens é de 50 anos, qual o números de pessoas de cada sexo, no
grupo?
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Exercícios Propostos:
Números de funcionários
5. (PUC-SP) O gráfico abaixo apresenta a distribuição de frequências das
faixas salariais numa pequena empresa:
16
14
12
10
8
6
4
2
0
500
1000
1500
2000
2500
Salários em reais
Com os dados disponíveis, pode-se concluir que a média desses salários é,
aproximadamente:
a) R$ 420,00 b) R$ 536,00 c) R$ 652,00 d) R$ 640,00 e) R$ 708,00
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Respostas:
1. (a) 198 carros
(b) 33 carros
c) 5 carros
d) 186 carros
(e) Os resultados são diferentes, pois no segundo trimestre foram vendidos
mais carros que o esperado.
2. (a)
Notas
alunos
dos 2,0 3,0 4,0 5,0
Frequência
(b) 5,7
3. (e) 950%
3
3
5
5
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
3
3
2
4
2
(c) 5,0
4. 40 homens e 80 mulheres
(d) bimodal: 4,0 e 5,0
5. (e) R$ 708,00
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Cálculo da média aritmética, moda e mediana
Referências Bibliográficas:
[1] Toledo, G. L.& Ovalle, I. I. Estatística básica, 2a edição, São Paulo: Atlas,
1986.
[2] Bolfarine, H. & Bussab, W.O. Elementos de amostragem, Edgard Blucher,
1999.
[3] Moore, D. S. A estatísitica básica e sua prática, 2a edição, São Paulo: LTC,
2005.
[4] Bussab, W. O. & Morettin, P. A. Estatística básica, 4a edição, São Paulo:
Atual, 1987.
[5] Larson, R. & Fraber, B. Estatística aplicada, tradução de Cyro C. de
Patarra, São Paulo: Prentice Hall, 2004.
[6] Triola, M. F. Introdução à estatística, tradução de Alfredo A. de Farias, 7a
edição, Rio de Janeiro: LTC, 1999.