Lista de Exercícios 2
Cálculo Numérico - Professor Daniel
Observação:
Esta lista abrange interpolação polinomial e o método dos mínimos quadrados. Ou seja, ela abrange toda a matéria
da segunda prova.
Instruções para a entrega:
Nem todos os exercícios dessa lista devem ser entregues. Essa lista é dividida em três partes. Uma parte contendo
questões teóricas, uma parte com exercícios que envolvem cálculos, e uma terceira parte com exercícios de
modelagem. Cada parte da lista contém exercícios que devem ser entregues ou não, dependendo do seu K.
No caso de dúvidas sobre o valor do seu coeficiente K, você pode conferi-lo com o professor em qualquer aula,
perguntar por e-mail ([email protected]). O mesmo vale para dúvidas em relação às operações “mod”.
A data de entrega é 26/05, mesmo dia da segunda prova. A lista pode ser entregue até o dia da prova pessoalmente,
ou por e-mail, enviando para [email protected], com o assunto Trabalho de Cálculo Numérico.
Listas fora do prazo não serão aceitas!
Sobre os exercícios teóricos: Seja NT o número do exercício teórico correspondente. Responda aos exercícios
tais que K mod 7 = NT mod 7.
Assim, por exemplo, se seu K for 22, então K mod 7 = 22 mod 7 = 1, então você deverá responder os exercícios
cujo número também deixem resto 1 quando divididos por 7. Você faria para entrega os exercícios teóricos 1, 8, 15,
22, 29, 36 e 43. Se o seu K for 3, então K mod 7 = 3 mod 7 = 3, então você deverá fazer os exercícios que deixem
resto 3 quando divididos por 7. No caso, os exercícios 37. Nada impede de você fazer os outros exercícios para estudar,
mas apenas esse serão para entrega.
Sobre os exercícios de cálculos: Para esta lista, devem ser feitos todos os exercícios de cálculos, independente
do seu K.
Atenção:
Sempre utilizar quatro casas decimais de precisão na lista toda.
Sobre os exercícios de modelagem:
Seja NM o número do exercício de modelagem correspondente. Responda aos exercícios tais que K mod 2 = NM
mod 2.
Os exercícios de modelagem são baseados em apenas montar o problema, mas não resolver. Apenas mostre qual
o sistema, função ou método que resolve o problema, e descreva o raciocínio utilizado para se chegar a essa conclusão.
Não é necessário chegar aos resultados numéricos desses problemas!
Atenção com os exercícios que deverão ser entregues. Exercícios que não são os devidos de acordo com o
seu K serão desconsiderados!
Teóricos
1) Defina polinômio interpolador.
2) Dê uma aplicação na sua área para interpolação polinomial.
3) Enuncie o teorema de existência e unicidade dos polinômios interpoladores.
4) Dados n pontos (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn), escreva um sistema linear cujo objetivo seja encontrar um polinômio
p(x) de grau no máximo n-1, tal que p(xi) = yi, para qualquer i.
5) Explique em termos geométricos o porquê para a existência de um polinômio interpolador pelos pontos
(𝑥1 ; 𝑦1 ); (𝑥2 ; 𝑦2 ); … ; (𝑥𝑛 ; 𝑦𝑛 ), a condição 𝑥𝑖 ≠ 𝑥𝑗 , ∀𝑖 ≠ 𝑗 é essencial.
6) Explique em termos algébricos o porquê para a existência de um polinômio interpolador pelos pontos
(𝑥1 ; 𝑦1 ); (𝑥2 ; 𝑦2 ); … ; (𝑥𝑛 ; 𝑦𝑛 ), a condição 𝑥𝑖 ≠ 𝑥𝑗 , ∀𝑖 ≠ 𝑗 é essencial.
7) Dada uma tabela de valores como a seguir, obtida experimentalmente:
X | x1 | x2 | ... | xn___
Y | y1 | y2 | ... | yn
Descreva como a interpolação polinomial pode, dado um valor de xi não pertencente a tabela, mas entre x1 e xn,
deduzir um valor aproximado para yi correspondente, mas sem necessitar de um novo experimento.
8) Para a tabela dada no enunciado do exercício anterior, dado um valor de yi, mas próximo dos valores de Y
descritos, não pertencente a tabela, proponha um método sobre como utilizar interpolação polinomial para deduzir um
possível valor para xi, sem necessitar de novos experimentos.
9) Para a tabela dada no enunciado do exercício 7, o polinômio interpolador pode ser utilizado para tentar aproximar
valores para x que não estejam no intervalo [x1; xn]? Justifique
10) Dados 6 pontos quaisquer, então sempre existirá um polinômio interpolador de 5° grau que passe por esses
pontos. Verdadeiro ou falso? Justifique.
11) Demonstre através de cálculos que, dados dois pontos (x1, y1) e (x2, y2), com x1 ≠ x2, o polinômio interpolador
será a equação da reta que passa por estes dois pontos.
12) Dados n pontos aleatórios no gráfico cartesiano, sempre existirá um polinômio interpolador que passe por todos
esses pontos. Verdadeiro ou falso? Justifique.
13) Explique como funciona o polinômio interpolador de Lagrange.
14) Explique geometricamente a abordagem do método de Newton para interpolações polinomiais.
15) Descreva qual a diferença quanto a abordagem do método de Newton e do método de Lagrange para a
interpolação polinomial.
16) Mencione casos em que é mais conveniente usar o método de Lagrange em relação ao de Newton para
interpolação polinomial, e vice-versa.
17) Ao interpolar um polinômio por n pontos através do método de Newton, quantos elementos a tabela de
diferenças divididas terá? (em função de n)
18) Para montar a tabela do exercício anterior, quantas operações serão feitas na construção dessa tabela?
(Também em função de n)
19) No método de Newton foi montada uma tabela de diferenças divididas, como a tabela a seguir:
X
1
2
3
4
|
|
|
|
|
|
|
|
ordem 0
2
2
-2
14
|
|
|
|
|
|
|
|
ordem 1
0
-4
16
|
|
|
|
|
|
|
|
ordem 2
-2
10
|
|
|
|
|
|
|
|
ordem 3__
4
Porém, na hora de montar o polinômio, os coeficientes foram escolhidos em uma ordem não-usual, de baixo para
cima. Quais alterações devem ser feitas de modo que o polinômio interpolador continue sendo correto?
20) Diferencie o método de Newton do método de Newton-Gregory, citando uma vantagem e uma desvantagem de
um sobre o outro.
21) O método de Newton-Gregory é sempre mais rápido do que o de Newton para interpolação polinomial. Essa
afirmação é verdadeira ou falsa? Se for verdadeira, justifique, se for falsa, mostre um contra-exemplo.
22) Dado um conjunto de pontos (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn), aplicando-se métodos diferentes para interpolação
polinomial, encontraremos polinômios diferentes? Justifique.
23) Demonstre que, dado um conjunto de pontos (x1, y), (x2, y), ..., (xn, y), o polinômio interpolador por esses pontos
será sempre o mesmo. (Observe que o y é sempre o mesmo)
24) O que é o “fenômeno de Runge”? Dê um exemplo gráfico de como ele pode ocorrer.
25) Em que situações o fenômeno de Runge acontece?
26) “O fenômeno de Runge acontece independentemente do método de interpolação”. Essa afirmação é verdadeira
ou falsa? Justifique.
27) Tanto a interpolação polinomial quanto o método dos mínimos quadrados discreto tentam aproximar polinômios
por uma quantidade finita de pontos. Qual a diferença entre a abordagem entre eles em relação às aproximações?
28) Porque não podemos usar interpolação polinomial nem o método dos mínimos quadrados discretos para
aproximar um número infinito de pontos?
29) Descreva ao menos uma situação onde é melhor usar o método dos mínimos quadrados ao invés da
interpolação polinomial para se criar uma função.
30) Como é feita a escolha do grau do polinômio utilizado para aproximação no MMQ?
31) Defina produto interno.
32) Seja < , > um produto interno qualquer. Prove que, <x, 0> = 0, para qualquer elemento x de um conjunto.
33) Descreva como funciona o MMQ no caso discreto.
34) Podemos utilizar o MMQ contínuo para aproximar uma função f(x) : =  =? Justifique.
35) Há alguma relação entre o número de pontos de uma amostra no MMQ discreto e o grau do polinômio escolhido
para a aproximação? Justifique.
36) Quais as propriedades que um produto interno deve satisfazer?
37) Prove que se x = [x1, x2, ...xn]T, e y = [y1, y2, ..., yn]T são vetores de IRn, então <x, y> = ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦𝑖 define um produto
interno. (Ou seja, demonstre a validade das propriedades)
38) Faça a mesma demonstração para o produto interno de funções f e g, contínuas, definidas em [a,b], sendo que
𝑏
<f, g> = ∫𝑎 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
39) Verifique se, para o conjunto das matrizes quadradas de ordem n, a operação <A, B> = tr(A + B) definirá um
produto interno no espaço das matrizes.
40) Verifique que, para o conjunto das matrizes quadradas de ordem n, a operação <A, B> = 𝑡𝑟(𝐵𝑡 . 𝐴) definirá um
produto interno no espaço das matrizes.
41) Ao aumentarmos o grau do polinômio escolhido para implementar o MMQ, a precisão sempre aumenta. Essa
afirmação é verdadeira ou falsa? Justifique.
42) Quando devemos utilizar o MMQ no caso discreto e no caso contínuo?
43) O MMQ contínuo gera uma função mais próxima ou menos próxima do que o caso discreto, se tomássemos
pontos de uma mesma função para fazer a aproximação? Justifique.
44) O que acontece se usarmos 3 pontos para fazer MMQ discreto para aproximá-lo por uma função de grau 2?
Justifique.
45) Vários pontos (xi, yi) parecem ser melhor aproximados por uma função exponencial, do tipo y = a.ebx, onde a e
b são reais. Descreva como podemos utilizar o MMQ para encontrar valores adequados para a e b.
46) Adapte o conceito da questão anterior para criar um ajuste onde seja possível utilizar o MMQ para encontrar
uma aproximação de uma função do tipo y = a + ln(bx)
47) Explique por que o erro no MMQ contínuo deve ser dado por E =
𝑏
𝑏
2
∫𝑎 (𝑓(𝑥) − 𝑝(𝑥)) 𝑑𝑥 ao invés de E =
∫𝑎 |𝑓(𝑥) − 𝑝(𝑥)|𝑑𝑥
2
48) Explique por que para a dedução do MMQ, nós minimizamos a função ∑𝑛𝑖=1(𝑦𝑖 − 𝑓(𝑥𝑖 )) ao invés da função
𝑛
∑𝑖=1(𝑦𝑖 − 𝑓(𝑥𝑖 )).
2
49) Explique por que para a dedução do MMQ, nós minimizamos a função ∑𝑛𝑖=1(𝑦𝑖 − 𝑓(𝑥𝑖 )) ao invés da função
− 𝑓(𝑥𝑖 )|.
∑𝑛𝑖=1|𝑦𝑖
De cálculos
1) Determine o polinômio interpolador pelos pontos (-2; 3), (-1; 0), (0; 5), (1; 0) e (2; -1 – K7), onde K7 = K mod 7
a) Através do método de Lagrange
b) Através do método de Newton
c) Através do método de Newton – Gregory
2) Crie um polinômio interpolador que interpole pontos da função f(x) = 2x no intervalo [-1; 3]
a) Com três pontos equidistantes, e calcule o erro máximo cometido. (Utilize a fórmula dada em aula.)
b) Com cinco pontos equidistantes, e calcule o erro máximo cometido. (Utilize a fórmula dada em aula.)
c) Quantos pontos seriam necessários para garantir um erro menor que 10-3?
3) a) Crie um polinômio interpolador de 2º grau para aproximar a função f(x) = arccos(x) no intervalo [0; 0,5].
b) Com o polinômio encontrado no item anterior, estime o valor de arccos(0,3). Depois, com uma calculadora,
determine o erro relativo cometido.
c) Ainda com o mesmo polinômio, estime o valor de arccos(0,9). Depois, com uma calculadora, determine o erro
relativo cometido. Comente o resultado.
4) Seja 𝛼 um número real positivo cuja raiz quadrada não é exata. Sejam ainda p e q dois números inteiros
consecutivos, tais que 𝑝2 < 𝛼 < 𝑞 2 . Estime a raiz quadrada de 𝛼 em função de p e q, utilizando interpolação polinomial.
5) Considere a função f(x) = x.cos(3x), no intervalo [-0.6; 0.6].
a) Construa uma tabela com os valores dessa função utilizando h = 0.1. Essa função será melhor aproximada
nesse intervalo por um polinômio de primeiro, segundo ou terceiro grau? Justifique.
b) Utilizando 5 pontos dessa tabela, faça o MMQ discreto para determinar o polinômio que melhor aproxime essa
função no intervalo.
c) Utilizando os 13 pontos da tabela construída no item a), encontre um novo polinômio que aproxime essa função.
d) Faça o MMQ contínuo (utilize um software para calcular as integrais) para aproximar f(x).
e) Calcule o erro cometido em cada item dessa questão, e comente o ocorrido.
5) Um corpo é solto a partir do repouso, de uma altura inicial H, em um local onde há resistência do ar, e tem sua
velocidade determinada pela relação V(t) = Vmax – 20*e-0.5t, t ≥ 0, unidades do SI.
a) Determine o valor de Vmax. (OBS: Esse item não tem relação com cálculo numérico)
b) Calcule V(0), V(2), V(4), V(6) e V(8).
c) Crie um polinômio interpolador que interpole V(t) nos pontos t = 0, t = 2, t = 4, t = 6 e t = 8.
d) Utilizando MMQ discreto, crie um polinômio (do grau que julgar conveniente) que aproxime essa função por esses
pontos.
e) Admita que o corpo atinja o solo após 8 segundos. Qual o valor de H, quando calculado através do polinômio
interpolador? (Lembre-se que a derivada do deslocamento é a velocidade)
f) E do MMQ?
g) Calculando-se o valor exato, temos que H = 360,0018m. Determine o erro cometido em cada método.
h) Qual a aceleração do corpo quando ele atinge o solo, quando calculado através do polinômio interpolador?
i) E pelo MMQ?
j) Sabendo-se que o valor exato é a = 0.0005m/s2, encontre o erro cometido por cada método.
De modelagem
𝑛
3
2
1) Sabe-se que ∑𝑖=0(𝑖 − 2𝑖 + 𝑖) é escrito por um polinômio de quarto grau. Proponha um método, através
de interpolação polinomial, que determine que polinômio é esse.
𝑛
4
2) Sabe-se que ∑𝑖=0 𝑖 é escrito por um polinômio de quinto grau. Proponha um método, através de interpolação
polinomial, que determine que polinômio é esse.
3) Generalize a ideia do exercício de cálculo 4) de cálculos para extrair a raíz n-ésima de um número 𝛼 qualquer
dado. Esse processo será mais eficiente ou menos eficiente conforme n aumenta? Justifique.
4) A tabela a seguir mostra o calor específico de uma solução de um sal em água, de acordo com a concentração
em mg/mol.
Concentração
| 0 |
10 |
20 | 30___ |
40 |
_ Calor específico | 1 | 0.997 | 0.993 | 0.984 | 0.972 |
a) Como proceder para determinar uma função polinomial que determine o calor específico em função da
concentração da solução.
b) Deduza valores esperados para o calor específico, quando a concentração for de 5 e 25 mg/mol.
c) Como encontrar uma função de primeiro grau que melhor se ajusta a esses dados?
5) A tabela a seguir mostra a distribuição estatística de notas dos alunos de Cálculo Numérico de uma certa turma
(não deste semestre), as notas foram separadas em grupos de 1.0 pontos, assim, todos os alunos com notas entre 0,0
e 1,0 foram considerados como tendo nota 0,5.
Valores médios | 0,5 | 1,5 | 2,5 | 3,5_| 4,5 | 5,5 | 6,5 | 7,5 |
_ Quantidade
| 7 | 6 | 4 | 8 | 12 | 8 | 9 | 1 |
a) Insira esses dados em um gráfico.
b) Esses dados seriam melhor aproximados por uma curva de primeiro ou de segundo grau? Justifique.
c) Como encontrar a função que melhor aproxime esses dados?
d) Descreva o que a função representa fisicamente. (Dado x, o que y representa)
6) Proponha um método, através de interpolação polinomial, para estimar o valor de
1
∫0 𝑥. 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥)𝑑𝑥