Cálculo Numérico
Interpolação Polinomial
1. Considere a tabela:
x
1 3 4 5
f (x) 0 6 24 60
(a) Determinar o polinômio de interpolação, na forma de Lagrange, sobre todos os
pontos.
(b) Calcular f (3.5).
2. Construir o polinômio de interpolação, na forma de Lagrange, para a função y =
sen(πx), escolhendo os pontos: x0 = 0, x1 = 16 e x2 = 12 .
√
3. Sabendo-se que e = 2.72, e = 1.65 e que a equação x − e−x = 0 tem uma raiz em
[0, 1], determinar o valor dessa raiz, usando polinômio de interpolação na forma de
Lagrange sobre 3 pontos.
4. Mostre que f [x0 , x1 , x2 ] = f [x2 , x1 , x0 ].
5. Seja a função tabelada:
−2 −1 1 2
x
f (x)
0
6 24 60
(a) Determinar o polinômio de interpolação de Newton sobre todos os pontos.
(b) Calcular f (0.5).
6. Dada a função tabelada:
x
0.0 1.0 1.5 2.5
3.0
f (x) 1.0 0.5 0.4 0.286 0.25
Calcular f (0.5) usando:
(a) o polinômio de interpolação de Newton sobre 2 pontos (interpolação linear).
(b) o polinômio de interpolação de Newton sobre 3 pontos (interpolação quadrática).
7. Considerando a função f (x) =
√
x tabelada:
x
1.00 1.10 1.15 1.25 1.30
f (x) 1.000 1.048 1.072 1.118 1.140
√
(a) Determinar o valor aproximado de 1.12 usando polinômio de interpolação de
Newton sobre 3 pontos.
(b) Calcular um limitante superior para o erro.
8. Uma função f foi tabelada obtendo-se
1
x
f (x)
0
-3
1
-3
2
7
3
39
4 105
5 217
6 387
7 627
8 949
9 1365
10 1887
a) Determine o polinômio de menor grau possível que interpola essa tabela;
b) Qual é o erro cometido na interpolação do número 9.7 pelo polinômio do item
anterior?
c) Determine o passo que deveria ser construída uma tabela dessa função para que
o erro na interpolação linear fosse menor que 10−6 .
9. Seja f : [a, b] → R uma funcao continua. Vamos adotar a seguinte aproximacao para
o valor da integral denida de f :
Z b
f (x)dx ≈
a
Z b
a
p0 (x)dx
onde p0 (x) e o polinomio constante p0 (x) = f (a).
a) Utilizando esta aproximação determine a fórmula genérica para o caso em que a
função está tabelada em n + 1 pontos x0 , x1 , . . . , xn (caso com repetição) e dê uma
estimativa para o erro cometido
R 1.5
b) Usando esta aproximação calcule −1
f (x)dx, onde f é a função f (x) = x sin(2x).
c) Quantos pontos seriam necessários para garantirmos um erro menor que 10−8 ?
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