CÁLCULO NUMÉRICO NOTAS DE AULA Julia Grasiela Busarello Wolff Departamento de Matemática – DMAT CCT – UDESC 2011/II INTERPOLAÇÃO E APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES 1 FÓRMULA DE LAGRANGE PARA PONTOS EQUIDISTANTES Considere uma f (x) definida em x0 , x1 , . . . , xn (n + 1) pontos distintos de um intervalo [a, b], tais que xi+1 − xi = h, com i = 0, . . . , n − 1 pontos equidistantes. É possível fazer uma mudança de variável conveniente e obter o polinômio interpolador usando a forma de Lagrange de maneira simples. Considera-se a seguinte mudança de variável: x − x0 , h (1) x = x0 + uh. (2) u= ou, ainda, Onde: h é o espaçamento entre os pontos. Com isso, pode-se escrever o polinômio interpolador da fórmula de Lagrange para pontos equidistantes, na variável u, da seguinte forma: P (u) = n X yk Lk (u). (3) k=0 1.1 EXEMPLO: Dada a função f (x) = cos(x), tabelada nos pontos da Tabela a seguir: x f (x) 0, 2 0, 9801 0, 4 0, 9211 0, 6 . 0, 8253 Encontrar f (0, 3). 2 INTERPOLAÇÃO INVERSA Denomina-se de interpolação inversa quando, conhecidos os valores de uma função f (x) definida em (n + 1) pontos distintos, necessita-se calcular o valor numérico da variável x correspondente a um valor y = f (x), conhecido inicialmente. 2.1 EXEMPLO: Usando interpolação inversa, encontre o valor de x tal que f (x) = 3, 63, da função dada pelos pontos da Tabela seguinte: x f (x) 0 1, 31 1 3, 51 Solução: Fazer a tabela da função inversa. 1 2 . 3, 78 2.2 EXERCÍCIOS 1) Dada a Tabela a seguir, encontrar x tal que f (x) = 2: x f (x) 0, 5 1, 65 0, 6 1, 82 0, 7 2, 01 0, 8 2, 23 0, 9 2, 46 1, 0 . 2, 72 Solução: Usar interpolação linear entre os pontos 0, 6 e 0, 7. 2) Dada a Tabela x ex 0, 0 1 0, 1 1, 1052 0, 2 1, 2214 0, 3 1, 3499 0, 4 1, 4918 0, 5 . 1, 6487 a) obter x tal que ex = 1, 3165, usando um processo de interpolação quadrática. Solução: Usar Newton para obter p2 (y) que interpola f −1 (y). 3 FÓRMULA INTERPOLATÓRIA DE NEWTON-GREGORY É construída baseada nas diferenças finitas para pontos equidistantes. 3.1 DIFERENÇAS FINITAS Para p3 ; tem-se que: ordem zero: ∆0 f (x0 ) = f (x0 ); ∆0 f (x1 ) = f (x1 ) ; ∆2 f (x2 ) = f (x2 ); com x ∈ [a, b]. ordem um: ∆1 f (x0 ) = ∆0 f (x1 ) − ∆0 f (x0 ); ∆1 f (x1 ) = ∆0 f (x2 ) − ∆0 f (x1 ). ordem dois: ∆2 f (x0 ) = ∆1 f (x1 ) − ∆1 f (x0 ). A Tabela de diferenças finitas é escrita na seguinte forma: ∆0 f ∆1 f ∆2 f ∆3 f x0 x1 x2 x3 A fórmula interpolatória de Newton-Gregory é dada por: Px = ∆0 f (x0 )+(x−x0 )· ∆1 f (x0 ) ∆2 f (x0 ) ∆n f (x0 ) +(x−x0 )·(x−x1 )· +. . .+(x−x0 )·(x−x1 ) . . . (x−xn−1 )· . 1 2 1!h 2!h n!hn (4) 2 3.2 1o EXEMPLO: Considere uma função f (x) tabelada nos pontos a seguir: x f (x) 3.3 0, 1 5 0, 2 13 0, 3 . −4 2o EXEMPLO: Construa a tabela de diferenças finitas para os pontos a seguir: x f (x) 3.4 0, 5 5, 8 0, 7 7, 9 0, 9 10, 1 1, 1 . 12, 3 3o EXEMPLO: Dada a função f (x) = 1 construa a tabela de diferenças finitas para os pontos a seguir: (x + 1) x 0 f (x) 1 1 1 2 2 2 . 3 Encontre f (1, 3). 3.5 4o EXEMPLO: Considere a f (x) tabelada a seguir: x f (x) 0, 1 1, 01 0, 2 1, 05 0, 3 1, 12 0, 4 . 1, 23 Determine o polinômio interpolador de Newton-Gregory na variável u e avalie f (0, 35). Solução: Usar a fórmula u = (x − x0 ) . h 3