Universidade Federal de Alagoas
Centro de Tecnologia
Estatística
Aula 15
Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves
Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne
Santos de Assis e Christiano Cantarelli Rodrigues
Aula 15

Distribuição Binomial
Distribuição Binomial
Introdução
Até o momento vimos:
O que é um experimento
aleatório e a função
variável aleatória
f(x)  função de probabilidade
para v.a. discretas e função de
densidade de probabilidade
para v.a. contínuas
Vimos o que é esperança
matemática e variância para
distribuições discretas
Variáveis aleatórias
podem ser discretas
ou contínuas
A partir delas podemos
construir a distribuição
de probabilidade e a
função f(x) = P(X=x)
A partir de agora vamos estudar
distribuições de probabilidade
consagradas
Distribuição Binomial
Introdução
Imagine uma prova com 4 questões. Em cada questão há 5
alternativas (a, b, c, d e d). Qual a probabilidade de alguém
acertar no chute 3 questões?
Solução:
Temos 4 tentativas, independentes uma da outra
A probabilidade de acertar uma questão
(probabilidade de sucesso) é
1
p   0,20
5
A probabilidade de não acertar uma questão qualquer
(probabilidade de falha) é q = 1 – p = 0,80
Estas probabilidades permanecem constantes a cada questão
(tentativa ou prova)
Distribuição Binomial
Introdução
Imagine uma prova com 4 questões. Em cada questão há 5
alternativas (a, b, c, d e d). Qual a probabilidade de alguém
acertar no chute 3 questões?
Solução:
Chamando de x o número de sucessos (acertos de questões):
P (X = 3) = 0,20.0,20.0,20.0,80 = 0,23.0,8 = 0,0064 ou 0,64%
Esta resposta está errada!
Não existe somente uma maneira de
alguém acertar 3 questões!
Distribuição Binomial
Introdução
Imagine uma prova com 4 questões. Em cada questão há 5
alternativas (a, b, c, d e d). Qual a probabilidade de alguém
acertar no chute 3 questões?
Solução:
Q1
Q2
Q3
Q4
C
E
E
E
 P1 (X = 3) = 0,0064
E
C
E
E
 P2 (X = 3) = 0,0064
E
E
C
E
 P3 (X = 3) = 0,0064
E
E
E
C
 P4 (X = 3) = 0,0064
Existem 4 maneiras!
P (X = 3) = 4 . 0,0064 = 0,0256
Distribuição Binomial
Introdução
Imagine uma prova com 4 questões. Em cada questão há 5
alternativas (a, b, c, d e d). Qual a probabilidade de alguém
acertar no chute 3 questões?
Solução:
O número total de permutações (arranjos) é 4
n 
n!
  
 x  x!(n  x)!
Para nosso caso
 número total de arranjos de n itens
quando x deles são idênticos entre si
4!
P(X  3) 
 0,203  0,80  0,0256
3!(4  3)!
Distribuição Binomial
Introdução
Imagine uma prova com 4 questões. Em cada questão há 5
alternativas (a, b, c, d e d). Qual a probabilidade de alguém
acertar no chute 3 questões?
Solução:
Caso típico de experimento aleatório binomial
A fórmula da distribuição de probabilidade binomial é uma
combinação da regra da multiplicação da probabilidade
(eventos independentes) com a regra da contagem de arranjos
de n itens quando x deles são idênticos entre si
Distribuição Binomial
É a mais famosa distribuição de probabilidade de v.a.
Discreta  responde à pergunta:
qual a probabilidade de haver x sucessos em n
tentativas em um experimento aleatório? com: (a)
número fixo de provas ou tentativas n; (b) provas que
são independentes; (c) Cada prova deve ter todos os
resultados classificados em 2 categorias (cara ou
coroa, candidato A ou candidato B, marca A ou
marca B, chuva ou não, ........) (d) as probabilidades
de sucesso (p) ou falha (q = 1 - p) devem
permanecer constantes para cada prova.
Distribuição Binomial
Exemplo: Se 10% dos alunos são canhotos, qual a
probabilidade de se obter exatamente 3 estudantes
canhotos em uma turma de 15 estudantes?
n!
n x
PX  x  
 px  1  p
x!n  x !
 n  x n x
PX  x     p  q
x
No de tentativas fixo = 15
Resultados classificados em 2 categorias = canhoto ou destro
p = 0,10 e q = 0,90
15!
15-3
3
PX  3 
 0,1  1  0,1  0,129  12,9%
3!15  3!
Distribuição Binomial
Outros exemplos

Jogue uma moeda 10 vezes. Seja X = no de caras obtidas

Um tear produz 1% de peças defeituosas. Seja X = no de peças
defeituosas nas próximas 25 peças produzidas

Cada amostra de ar tem 10% de chance de conter uma molécula rara
particular. Seja X = no de amostras de ar que contêm a molécula rara
nas próximas 18 amostras analisadas

De todos os bits transmitidos através de um canal digital de
transmissão, 10% são recebidos com erros. Seja X = no de bits com
erro nos próximos 5 bits transmitidos

Nos próximos 20 nascimentos em um hospital, seja X = no de
nascimentos de meninas

Sabe-se que há a probabilidade de vazões médias diárias máximas
anuais serem maiores que 1.000 m3/s é de 1%. Seja X = no de vezes
em que este valor é superado nos próximos 10 anos
Distribuição Binomial

Em um experimento binomial, a variável aleatória X,
que é igual ao número de tentativas que resultam em
um sucesso, tem uma distribuição binomial com
parâmetros p e n = 1, 2, 3, …

A função de probabilidade de X é:
n x
f ( x)  P( X  x)    p (1  p)n  x
 x
p = probabilidade de sucesso em cada tentativa
n = número de tentativas
f(x) = probabilidade de x sucessos em n tentativas
Distribuição Binomial
n x
n x
f ( x)    p (1  p)
 x
 
onde xn representa o número de combinações de n
objetos tomados x de cada vez, calculado como:
n 
n!
  
 x  x!(n  x)!
Distribuição Binomial
Exemplo
Suponha que 30% dos clientes de uma empresa de aviação civil
têm por destino o exterior. Se sortearmos 10 clientes ao acaso, qual é
a probabilidade estimada de que exatamente 4 indivíduos estejam
viajando para o exterior?

p(exterior )  0,30
e
n  10
n x
f ( x)    p (1  p) n  x
 x
10!
f (4) 
(0,30) 4 (0,70) 6
4!10  4 !
 0, 2001
Portanto, a chance de que
exatamente 4 indivíduos
estejam viajando ao exterior é
de aproximadamente 20%.
Distribuição Binomial
Exemplo
Um produto eletrônico possui 42 circuitos integrados. A
probabilidade de que qualquer circuito integrado seja defeituoso é de
0,02. Os circuitos integrados são independentes. O produto opera
somente se não houver circuitos integrados defeituosos. Qual é a
probabilidade de que o produto opere?

Se X designar os circuitos defeituosos, é necessário que X = x =0 para
que o produto opere. Daí, p = 0,02, com n = 42.
n x
f ( x)    p (1  p)n x
 x
 42 
f (0)    .0,020.0,9842
 0
f (0)  1.1.0,98  0,428
42
Distribuição Binomial
Exemplo

Se historicamente a ocorrência de produtos defeituosos de
um processo é p = 0,10, qual é a probabilidade de encontrar
um produto defeituoso em uma amostra de tamanho n = 15?
f( 1 )   151  . 0 ,101. (1  0 ,10)151  15.0 ,10.0 , 23  0 ,34
15
15!
  
 15
 1  1!(15  1)!
Distribuição Binomial
Exemplo
Considerando uma amostra
constituída por 10 pessoas
observadas ao acaso, qual a
probabilidade de a maioria
das pessoas ser favorável ao
governo?
Distribuição Binomial
Exemplo
Temos um experimento binomial, para o qual n =10 e p = 0,7,
admitindo-se que X é a v.a. associada ao número de pessoas
favoráveis ao governo
n x
f ( x)    p (1  p)n x
 x
10  x
f ( x)    0,7 (0,3)10 x
x
P(X > 5) = f(6) + f(7) + f(8) + f(9) + f(10)
f(x)
P(X > 5) = 0,8497
Distribuição Binomial
Esperança
E ( X )    n. p
Variância
  Var ( X )  n  p  (1  p)  n. p.q
2
Desvio padrão
  n. p.q
Parâmetros da Distribuição Binomial: n, p.
Distribuição Binomial
Demonstração
E ( X )  n. p
  n. p.q
2
Consideremos a v.a. de Bernoulli X, definida como
1 no caso de sucesso na k-ésima prova
Xk  
0 no caso de falha na k-ésima prova
k  1, 2,..., n
Então,
E ( X k )   xk f ( xk ) 0.(1  p)  1. p  0.q  1. p  p
 x 2  E ( X k  p) 2   ( xk  p) 2 f ( xk ) (0  p ) 2 q  (1  p) 2 p  p 2 q  q 2 p
k
  xk 2  pq ( p  q )  pq (1)  pq
Distribuição Binomial
Demonstração
Considerando os valores x1, x2, …, xn , referentes às n provas
independentes:
E( X )  E( X1 )  E( X 2 )  ...  E( X n )  n. p
Como as provas são independentes, a variância de X é a soma das
variâncias individuais. Logo:
 x   x   x  ...   x  n. p.q
2
2
1
   n. p.q
2
e   n. p.q
2
2
2
n
Distribuição Binomial
Simulações – Distribuição binomial
Distribuição Binomial
Simulações – Distribuição binomial
Distribuição Binomial
Simulações – Distribuição binomial
Distribuição Binomial
Vê-se que:

Para p = 0,5, a forma da distribuição é simétrica
Para p ≠ 0,5, a distribuição é assimétrica
n=30, p=0,50
0,16
0,14
n=30, p=0,50
0,12
P(x)
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
n=30, 0=0,25
0,18
0,18
0,16
0,16
0,14
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
P(x)
0,1
30
0,1
0,08
0,06
0,06
0,04
0,04
0,02
0,02
0
29
n=30, p=0,75
0,12
0,08
28
n=30, p=0,75
0,14
n=30, p=0,25
0,12
P(x)
15
x
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
x
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
x
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Distribuição Binomial
Exemplo
Fez-se a contagem de E. Coli em 10 amostras de água. As contagens positivas, expressas em
centenas de organismos por 100 ml de água (102/100ml), são 17, 21, 25, 23, 17, 26, 24, 19, 21
e 17, com média e a variância amostrais iguais a 21 e 10,6 respectivamente.
Suponha que N represente o número total dos diferentes organismos presentes em cada
amostra (número de ‘tentativas’) e que p represente a fração correspondente ao organismo E.
Coli (probabilidade de ‘sucesso’).
Se X denota o número de E. Coli (102/100ml) em cada amostra, estimar P(X = 20).
(adap. de Kottegoda e Rosso, 1997).
Solução: No caso presente, não conhecemos os verdadeiros valores numéricos da
média e da variância populacionais. Entretanto, podemos estimá-los pelos valores
amostrais de média e desvio padrão
  n p q    q
2

21  43
n   0,495
p
 2 s2 10,6
q


 0,505 p  0,495
 X
21
 43
P(X  20)     0,49520  0,50523  0,1123
 20
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Estatística
Aula 15
Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves
Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne
Santos de Assis e Christiano Cantarelli Rodrigues