Distribuição
Binomial
continuação
Prof. Ivan Balducci
FOSJC / Unesp
O Processo Binomial
Um lançamento de moeda segue um processo
que gera dados binomiais. As características
de um processo binomial são:
• p é constante de ensaio a ensaio (= 0.5)
• Há dois resultados, “sucesso e fracasso”
(sucesso = cara ou coroa)
• Ensaios são independentes (um lançamento
não afeta o próximo lançamento)
• Há um número (N) finito de ensaios (por
exemplo, o nº de ensaios = 5)
A Distribuição Binomial
n!
x
n x
p( x) 
* (1   ) , x  0,1,2,.......,n
x!(n  x)!
n = nº de ensaios (exº: lançamento da moeda)
x = número de sucessos em n ensaios
 = probabilidade de “sucessos”
A Distribuição Binomial
5!
0
5
P  X  0 
 0.5 1  0.5  0.03125
0! 5!
5!
1
4
P  X  1 
 0.5 1  0.5  0.1875
1! 4!
Pr (X=x) = probabilidade de sair x caras em 5 ensaios
P
x
N
Pr (X=x)
0.5
0
5
0.03125
0.5
1
5
0.15625
0.5
2
5
0.3125
0.5
3
5
0.3125
0.5
4
5
0.15625
0.5
5
5
0.03125
x = nº de caras quando se lança 5 moedas
Histograma para a Distribuição
Binomial
A forma da distribuição binomial
depende do valor do parâmetro 
Exemplos:
 = 0.1
assimetria
positiva
 = 0.5
Simétrica
 = 0.9
assimetria
negativa
Calculando a Probabilidade Binomial
Em geral, a distribuição binomial pode ser
representada como:
P(X  x)  p( x)  C p (1  p)
n
x
n!
where C 
x! (n  x)!
n
x
x
nx
Média e Variância da Variável
Binomial
E(X) = m = np
V(X) = s2 = np(1-p)
E(X) = valor esperado = média
V(X) = variância
A Distribuição Binomial
Notação
p = p(A) = a probabilidade de A
q = p(B) = a probabilidade de B
p + q = 1.00
Lançando uma moeda:
p (caras) = q (coroas) = .50
A Distribuição Binomial
Os dois resultados não precisam ser igualmente
prováveis.
Exemplo: desempenho em teste de múltipla
escolha com 4 alternativas (a; b;c;d)
Cada questão representa um ensaio; em cada
ensaio há 2 resultados possíveis:


Resultado 1: correto p = 0.25
Resultado 2: incorreto q = 0.75
A Distribuição Binomial
1.
2.
3.
4.
A binomial é apropriada quando:
Há uma série de N ensaios.
Em cada ensaio, há apenas 2 possíveis
resultados mutuamente exclusivos.
O resultado em cada ensaio é
independente do resultado que se
obtém de outros ensaio.
A probabilidade de cada resultado em
qualquer ensaio é cohecida, e é
constante de um ensaio ao próximo
ensaio.
Probabilidade e a Binomial Distribuição
Se houver N ensaio e você quer saber a
probabilidade de ter r sucessos:
p(r sucessos) =
N!
prqN-r
r! (N – r)!
Exemplo: adivinhação de um nº pensado por
outro
Digo para 10 pessoas pensar um número entre 1 e
4;
Se eu apenas “chuto”: p = 0.25; q = 0.75 e na
fórmula de Prob (r acertos) temos N = 10.
REVISÃO DA CURVA
NORMAL DE
PROBABILIDADES
REVISÃO
Características da Normal
Contínua
Simétrica
Unimodal
área total sob a
curva soma a 1, ou
100%.
área à direita média
é ½ ou 50%.
área à esquerda da
média é ½ ou 50%.
1/2
1/2
m
X
REVISÃO
Curva Normal
1

2
 xm 


 s 
2
1
s 2 e
Where:
m  mean of X
s  standard deviation of X
 = 3.14159 . . .
e  2.71828 . . .
f ( x) 
m
X
REVISÃO
Curva Normal: diferentes
médias e dp
s5
s5
s  10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
REVISÃO
Curva Normal Padronizada
Uma distribuição com


Média = 0, e
DP = 1
s 1
Fórmula Z

m0
Padroniza qualquer
distribuição normal
Escore Z


calculada pela Fórmula
Z
O nº de DPs distante da
média
Z
X m
s
REVISÃO
Tabela Z padronizada
Second Decimal Place in Z
Z 0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.00
0.10
0.20
0.30
0.0000
0.0398
0.0793
0.1179
0.0040
0.0438
0.0832
0.1217
0.0080
0.0478
0.0871
0.1255
0.0120
0.0517
0.0910
0.1293
0.0160
0.0557
0.0948
0.1331
0.0199
0.0596
0.0987
0.1368
0.0239
0.0636
0.1026
0.1406
0.0279
0.0675
0.1064
0.1443
0.0319
0.0714
0.1103
0.1480
0.0359
0.0753
0.1141
0.1517
0.90
1.00
1.10
1.20
0.3159
0.3413
0.3643
0.3849
0.3186
0.3438
0.3665
0.3869
0.3212
0.3461
0.3686
0.3888
0.3238
0.3485
0.3708
0.3907
0.3264
0.3508
0.3729
0.3925
0.3289
0.3531
0.3749
0.3944
0.3315
0.3554
0.3770
0.3962
0.3340
0.3577
0.3790
0.3980
0.3365
0.3599
0.3810
0.3997
0.3389
0.3621
0.3830
0.4015
2.00
0.4772
0.4778
0.4783
0.4788
0.4793
0.4798
0.4803
0.4808
0.4812
0.4817
3.00
3.40
3.50
0.4987
0.4997
0.4998
0.4987
0.4997
0.4998
0.4987
0.4997
0.4998
0.4988
0.4997
0.4998
0.4988
0.4997
0.4998
0.4989
0.4997
0.4998
0.4989
0.4997
0.4998
0.4989
0.4997
0.4998
0.4990
0.4997
0.4998
0.4990
0.4998
0.4998
Exemplo de uso da
REVISÃO
Tabela Z
P( 0  Z  1)  0. 3413
Z
-3
-2
-1
0
1
2
3
0.00
0.01
0.02
0.00
0.10
0.20
0.0000 0.0040 0.0080
0.0398 0.0438 0.0478
0.0793 0.0832 0.0871
1.00
0.3413 0.3438 0.3461
1.10
1.20
0.3643 0.3665 0.3686
0.3849 0.3869 0.3888
REVISÃO
Exemplo numérico – Normal
X is normally distributed with
m = 485, and s = 105
P( 485  X  600)  P( 0  Z  1.10) . 3643
For X = 485,
Z
0.00
0.01
0.02
X - m 485  485
Z=

0
s
105
0.00
0.10
0.0000 0.0040 0.0080
0.0398 0.0438 0.0478
For X = 600,
1.00
0.3413 0.3438 0.3461
X - m 600  485
Z=

 1.10
s
105
1.10
0.3643 0.3665 0.3686
1.20
0.3849 0.3869 0.3888
Uso da Normal para resolver
problemas de Binomial
A distribuição normal pode ser usada
em problemas da distribuição binomial
que envolvem grandes valores de n.
Para resolver um problema binomial
pela distribuição normal realizamos
uma conversion do n e p da binomial
para o µ e σ da normal.
Aproximação para a Normal
Equações de Conversão
m  n p
s  n pq
EXEMPLO ALFA
Given t hat X has a binomial dist ribut ion
, find
Conversion example:
P( X  25| n  60 and p . 30).
m  n  p  ( 60)(.30)  18
s  n  p  q  ( 60)(. 30)(. 70)  3. 55
EXEMPLO ALFA
Gráfico
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0
6
8
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Binomial vs Aproximação Normal
EXEMPLO ALFA
X
P(X)
25
26
27
28
29
30
31
32
33
Total
0.0167
0.0096
0.0052
0.0026
0.0012
0.0005
0.0002
0.0001
0.0000
0.0361
The normal approximation,
P(X  24.5| m  18 and s  355
. )
Pela Fórmula da Binomial
24.5  18 

 P Z 



355
.
 P ( Z  183
. )
.5  P 0  Z  183
. 
.5.4664
.0336
Obs: “Não foi necessário
calcular até 60”
Aproximação Normal para a Binomial
Exemplo BETA
Aproxime a probabilidade
binomial P(x=10) quando n = 20
e p = .5
Os parâmetros da distribuição normal
usados para a aproximação da binomial são:
m = np; s2 = np(1 - p) = npq
Antes de resolver o Exemplo BETA
Correção de Continuidade
Usamos a tabela normal para determinar a
probabilidade de r (exº., respostas corretas).
Mas, distribuições normais representam
dados contínuos, e as variáveis binomiais
são discretas.
Portanto temos de considerar r como o ponto
médio entre os limites reais de uma faixa de
pontos (por exº: r - .5 to r + .5)
Antes de resolver o Exemplo BETA
Correção de Continuidade
Aproximação Normal Binomial
P ( x  5)
P ( x  5)
P ( x  5)
P ( x  5)
P ( x  5)
Antes de resolver o Exemplo BETA
Correção de Continuidade
Aproximação Normal para a Binomial
Enunciado da binomial
P ( x  5)
P ( x  5)
P ( x  5)
P ( x  5)
P ( x  5)
Resolução via Normal
P(4.5  x  55
.)
P( x  4.5)
P( x  55
.)
P( x  55
.)
P( x  4.5)
Agora, sim, resolvendo o Exemplo BETA
Traçamos uma distribuição
normal para aproximr a
binomial P(X = 10).
m = np = 20(.5) = 10;
s2 = np(1 - p) = 20(.5)(1 - .5) = 5
s = 51/2 = 2.24
P(9.5<YNormal<10.5)
A aproximação
P(XBinomial = 10) = 0.176
Com a fórmula
da Binomial
= 0.176
~= P(9.5<Y<10.5)
9.5
10
10.5
Com a
9.5  10
10.5  10
 P(
Z
)  .1742 aproximação da
2.24
2.24
normal = 0.1742
Outros exemplos
Correção de continuidade
Aproximação Normal para a Binomial
P(X 4) @ P(Y< 4.5)
4
P(X 14) @ P(Y > 13.5)
4.5
13.5
14
Condições para a aproximação
A Binomial aproxima a Normal quando:
1.
2.
np > 10
nq > 10
Média: m = np
DP = SQRT(npq)
z = (X –np) /SQRT(npq)
SQRT é a raiz
quadrada
Exemplo GAMA
Em um teste com 48 questões, qual a
probabilidade de se obter 14 respostas
certas?
p=¼
npq = 48(0.25)(0.75) = 9
q=¾
N = 48
r = 14
z1= X – pn = 13.5 – 12 = 1.5/3 = .50
SQRT(npq)
3
Exemplo GAMA
zx = 14.5 – 12 = 2.5/3 = .83
3
Observe a área acima do z-escore:
Área acima z = .50 é .3085
Área acima z = .83 é .2033
Calculando a área entre os dois z-scores:
.3085 - .2033 = .1052
Exemplo GAMA
Binomial vs Normal
Esta é uma probabilidade aproximada.
Compare (0.1052 via aprox. normal) com
a probabilidade da binomial = 0.1015
Elas são muito próximas, mas não
exatamente a mesma.
Exemplo DELTA
Para n=15, p=0.4.
Calcule P(X=7).
Usando a fórmula binomial
15!
7
15 7
(0.4) (0.6)
 .177083661
(15  7)!7!
Binomial Distribution with n=15 and
p=0.4
Exemplo DELTA
Probability
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
X Success out of 15 trials
Exemplo DELTA
bin(7; n =15;p = 0.4)
Usando a aproximação normal.
Obtemos mnp e snpq.
m0.4*156
s0.4*0.6*151.897
6.5  6
7.5  6
P( x  7)  P(6.5  x  7.5)  P(
z
)
1.897
1.897
 P(.264 z  .79)  .1826
Com a Binomial obtivemos o valor de p = 0.1770
Exemplo ÉPSILON
No Canadá, como resultado de um levantamento,
24% das pessoas têm telefone com secretária
eletrônica. Se uma campanha de telemarketing
envolve 2500 pessoas, qual a probabilidade de,
pelo menos, 650 terem secretária eletrônica?
Solução VIA NORMAL
649.5  (0.24)(2500)
P( x  650)  P( z 
)
(0.24)(0.76)(2500
 P( z  2.32)  0.0102
A Distribuição Binomial
Não esqueçam
Uma variável aleatória X é o número de
sucessos obtidos em n ensaios
A probabilidade de cada sucesso é
constante e igual a 
A probabilidade de X = x sucessos em n
ensaios de um experimento binomial define
a distribuição binomial
A Distribuição Binomial
Não esqueçam
A distribuição binomial é dada por sua
função densidade de probabilidade:
 n x
p(x)     (1   ) n  x
 x
 
n!
x
n x

 (1   )
x!(n  x)!
Termos que devem ser familiares
Distribuição Binomial
Provas de Bernoulli
Aproximação a Normal