GEOMETRIA DESCRITIVA A
11.º Ano
Problemas Métricos
Ângulo Resumo
© antónio de campos, 2010
GENERALIDADES - Ângulos
Um ângulo será toda a superfície plana entre duas semi-rectas com
direcções diferentes e a mesma extremidade.
GENERALIDADES – Ângulo entre duas Rectas
O ângulo entre duas rectas está contido no plano definido pelas duas
rectas.
O ângulo entre duas rectas é sempre o menor ângulo por estas formado.
C’
s
r
A
B’
B
C
Os ângulos BÂC e B’ÂC’
são ângulos verticalmente
opostos e são
geometricamente iguais –
têm a mesma amplitude.
Os ângulos BÂC e PÔQ são
ângulos de lados
directamente paralelos e
são geometricamente
iguais.
C’
Os ângulos B’ÂC’ e PÔQ
são ângulos de lados
inversamente paralelos e
são geometricamente
iguais.
s
r
A
B’
B
C
O
P
Q
r’
Duas rectas paralelas entre si formam, com uma
terceira recta concorrente com aquelas, ângulos
geometricamente iguais.
m
αº
n
αº
o
αº
r
ÂNGULO ENTRE DUAS RECTAS
ENTRE DUAS RECTAS - rectas frontais ou horizontais concorrentes
Determinar o ângulo entre as rectas nas projecções com V.G.
ENTRE DUAS RECTAS - rectas frontais ou horizontais enviesadas
Para transformar duas rectas enviesadas, é necessário primeiro obter uma recta paralela a uma
das rectas e concorrente com a outra recta.
Depois determinar o ângulo entre a recta paralela e a outra dada nas projecções com V.G.
ENTRE DUAS RECTAS – rectas não projectantes e concorrentes
Utilizar o plano formado pelas duas rectas concorrentes dadas, e rebater o plano para um dos
Planos de Projecção, para obter as rectas e o ângulo em V.G.
ENTRE DUAS RECTAS – rectas não projectantes e enviesadas
Primeiro é necessário transformar duas rectas enviesadas, obtendo uma recta paralela a uma das
rectas e concorrente com a outra recta.
Utilizar o plano formado pela recta paralela e a outra dada, e rebater o plano para um dos Planos
de Projecção, para obter as rectas e o ângulo em V.G.
Ângulo entre Duas Rectas Horizontais Concorrentes
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre as duas rectas, a e b.
Duas rectas concorrentes (no
ponto P) definem um plano (plano
horizontal).
P2
A V.G. do ângulo entre as duas
rectas a e b está no ângulo menor
formado entre a1 e b1, com o
vértice em P1.
x
P1
b1
αº
a1
a2 ≡ b2
Ângulo entre Duas Rectas Frontais Enviesadas
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre as duas rectas, a e b.
b2
b’2
Para transformar duas rectas
frontais enviesadas, é necessário
obter uma recta b’ paralela à recta
b e concorrentes com a recta a, no
ponto P.
A V.G. do ângulo entre as duas
rectas a e b’ está no ângulo menor
formado entre a2 e b’2, com o
vértice em P2.
a2
αº
P2
x
P1
a1 ≡ b’1
b1
Ângulo entre Duas Rectas Oblíquas Concorrentes
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre as duas rectas, r e s.
r2
s2
P2
Duas rectas concorrentes (no
ponto P) definem um plano θ.
Para determinar a V.G. do ângulo
entre as duas rectas r e s é
necessário rebater o plano θ para
o Plano Horizontal de Projecção.
H’2
H2
x ≡ e2
A V.G. está no ângulo menor
formado entre rr e sr, com o
vértice em Pr.
Pr1
P1
H1
≡ Hr
e1
r1
αº
sr
Pr
rr
s1
H’1 ≡ H’r
Ângulo entre Duas Rectas Oblíquas Enviesadas
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre as duas rectas, r e s.
rr
αº
s’r
Pr
Primeiro é necessário obter uma
recta s’ paralela à recta s e
concorrentes com a recta r, no
ponto P.
s2
N 2 ≡ N r e2
s’2
M2 ≡ Mr
P2
Pr1
Para determinar a V.G. do ângulo
entre as duas rectas r e s’ é
necessário rebater o plano
formado pelas duas rectas para
um plano frontal φ.
A V.G. está no ângulo menor
formado entre rr e s’r, com o
vértice em Pr.
r2
x
P1
N1
(hφ) ≡ e1
s1
s’1
M1
r1
Ângulo entre uma Recta Oblíqua e uma Recta de Perfil
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre as duas rectas, r e p.
p1 ≡ p2
Primeiro é necessário obter uma
recta r’ paralela à recta p e
concorrentes com a recta r, no
ponto A.
Para determinar a V.G. do ângulo
entre as duas rectas r’ e p é
necessário rebater o plano
formado pelas duas rectas para
um plano horizontal υ.
A V.G. está no ângulo menor
formado entre r’r e pr, com o
vértice em Pr.
r2
A2
(fυ) ≡ e2
B2
r’2
x
C2
C1≡ Cr
A1
r1
B1 ≡ Br
r’1
Ar1
Ar
e1
r’r
αº
pr
GENERALIDADES – Ângulo entre uma Recta e um Plano
O ângulo entre uma recta e um plano é o ângulo formado entre a recta
dada e a projecção ortogonal da recta sobre o plano.
p
r
P
I
θº
r’
P’
α
ÂNGULO ENTRE UMA RECTA E UM PLANO
ENTRE UMA RECTA E UM PLANO - geral
1 - Determinar o ponto de intersecção da recta dada com o plano dado;
2 - Determinar a projecção ortogonal da recta sobre o plano:
a) Conduzir uma recta ortogonal ao plano, passando por um ponto da recta dada;
b) Determinar o ponto de intersecção da recta ortogonal com o plano dado;
c) Determinar a projecção ortogonal da recta sobre o plano, que será entre os dois pontos de
intersecção;
3 - O ângulo entre a recta dada e o plano dado é o ângulo entre a recta dada e a sua projecção
ortogonal no plano.
ENTRE UMA RECTA E UM PLANO - rectas não projectantes e planos
projectantes
Processo com necessidade de método auxiliar, como o rebatimento ou mudança do diedro de
projecção, porque o ângulo não está em V.G., devido ao factor não projectante.
ENTRE UMA RECTA E UM PLANO - rectas e planos não projectantes
Para estes casos é mais adequado o método do ângulo complementar:
1 - Conduzir por um ponto qualquer da recta dada, uma recta ortogonal ao plano dado;
2 - Determinar o ângulo formado pelas duas rectas, a dada e a ortogonal;
3 – O ângulo formado pelas duas rectas é o ângulo complementar do ângulo entre a recta dada e o
plano dado.
Ângulo entre uma Recta Oblíqua e um Plano Oblíquo
Utilizando o método geral para a determinação de ângulos entre rectas e planos resulta numa
enorme complexidade de traçados, sendo mais adequado o método do ângulo complementar. Tal
solução é sempre preferível quando o plano é não projectante.
É conduzida por um ponto qualquer P da recta r, uma recta p ortogonal ao plano α.
Determina-se o ângulo formado pelas duas rectas, r e p.
90º - θº é a V.G. entre as duas rectas e o ângulo complementar do ângulo pretendido.
θº é a V.G. do ângulo entre e recta r e o plano α.
r
p
s
θº
P
90º - θº
I
θº
r’
P’
α
Ângulo entre uma Recta Horizontal e o Plano Frontal de
Projecção
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre uma recta horizontal h e o
Plano Frontal de Projecção.
h2
F2
Determina-se o ponto de
intersecção da recta com o plano.
Determina-se a projecção
ortogonal da recta sobre o plano.
O ângulo entre a recta h e o Plano
Frontal de Projecção é o ângulo
entre a recta e a sua projecção
ortogonal no plano.
x
F1
αº
h1
Ângulo entre uma Recta Oblíqua e um Plano Horizontal
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre uma recta r e um plano
horizontal υ.
r2
A2
Determina-se o ponto de
intersecção da recta com o plano.
Determina-se a projecção
ortogonal da recta sobre o plano,
rebatendo a recta r.
O ângulo entre a recta r e o plano
horizontal υ é o ângulo entre a
recta e a sua projecção ortogonal
no plano, ou seja entre a rr e a r1r.
(fυ)
H2
x ≡ e2
A1
αº
rr
Ar
H1 ≡ Hr
r1 ≡ e1 ≡ r1r
Ângulo entre uma Recta Oblíqua e um Plano Oblíquo,
Método do Ângulo Complementar
via o
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre uma recta oblíqua r e um plano
oblíquo δ.
r2
Utilizando o método geral para a
determinação de ângulos entre rectas
e planos resulta numa enorme
complexidade de traçados, sendo mais
adequado o método do ângulo
complementar. Tal solução é sempre
preferível quando o plano é não
projectante.
É conduzida por um ponto qualquer P da
recta r, uma recta p ortogonal ao plano
δ.
Determina-se o ângulo formado pelas
duas rectas, r e p, via rebatimento.
90º - βº é a V.G. entre as duas rectas e
o ângulo complementar do ângulo
pretendido.
βº é a V.G. do ângulo entre e recta r e o
plano δ.
pr
p2
rr
Pr
Pr1
P2
βº
fδ
90º-βº
e2
B2 ≡ Br
A2 ≡ Ar
x
B1
(hφ) ≡ e1
A1
P1
r1
p1
hδ
GENERALIDADES – Ângulo entre dois Planos
O ângulo entre dois planos é o rectilíneo do menor diedro formado entre os
dois planos, utilizando rectas dos planos e perpendiculares a recta de
intersecção entre os planos.
α
r
i
A
θº
s
β
ÂNGULO ENTRE DOIS PLANOS
ENTRE DOIS PLANOS – 1.º processo
O 1.º processo é para ser utilizado quando o plano auxiliar ortogonal às arestas do diedro for um
plano projectante e tenha determinação imediata. Nos outros casos, será utilizado o 2.º processo.
1 - Identificar a recta de intersecção entre os dois planos dados;
2 – Conduzir um plano auxiliar ortogonal às arestas do diedro;
3 – Determinar as rectas de intersecção do plano auxiliar com os dois planos dados;
4 – O ângulo entre as duas rectas de intersecção será o ângulo entre os dois planos.
ENTRE DOIS PLANOS – 2.º processo
1 – Conduzir por ponto exterior aos dois planos dados, duas rectas ortogonais aos dois planos;
2 – O ângulo entre as duas rectas ortogonais é o ângulo entre os dois planos dados.
1.º PROCESSO
O 1.º processo para a determinação do ângulo entre dois planos implica:
1 - Identificar a recta de intersecção i entre os dois planos α e β;
2 – Conduzir um plano auxiliar δ ortogonal às arestas do diedro;
3 – Determinar as rectas de intersecção do plano auxiliar com os dois planos dados, as rectas r e s;
4 – O ângulo entre as duas rectas de intersecção será o ângulo entre os dois planos.
α
δ
r
i
A
θº
s
β
O 1.º processo
é para ser
utilizado
quando o plano
auxiliar
ortogonal às
arestas do
diedro for um
plano
projectante e
tenha
determinação
imediata. Nos
outros casos,
será utilizado
o 2.º processo.
2.º PROCESSO
O 2.º processo para a determinação do ângulo entre dois planos implica:
1 – Conduzir por ponto P exterior aos dois planos, duas rectas ortogonais aos dois planos, as rectas
p e p’;
2 – O ângulo entre as duas rectas p e p’ é o ângulo entre os dois planos.
α
p
δ
r
B
180º - θº
i
A
P
θº
s
θº
C
p’
β
Ângulo entre um Plano Oblíquo e um Plano Horizontal
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre um plano oblíquo α e o Plano
Horizontal de Projecção.
fγ ≡ e2 ≡ fγr
Utilizar o 1.º processo para a
determinação do ângulo entre dois
planos:
d2
F2 ≡ Fr
1 - Identificar a recta de intersecção
entre os dois planos, que será hα;
dr
2 – Conduzir um plano auxiliar ortogonal
às arestas do diedro, que será o plano
vertical γ;
3 – Determinar as rectas de
intersecção do plano auxiliar com os
dois planos dados, que seram os traços
horizontais dos dois planos, ou seja as
rectas d e hγ ;
4 – O ângulo entre as duas rectas de
intersecção, d e hγ , será o ângulo entre
os dois planos, obtido via o rebatimento
do plano γ para o Plano Frontal de
Projecção para determinar a sua V.G..
fα
θº
H2
F1 ≡ (e1)
x≡
hγr
H1
hγ ≡ d 1
hα
Hr
Ângulo entre um Plano Vertical e um Plano Oblíquo
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre um plano vertical γ e um plano
oblíquo α.
fα
fγ
P2
p’2 ≡(fν) ≡ e2
Como a recta de intersecção será uma
recta oblíqua, qualquer plano auxiliar
ortogonal será oblíquo e não projectante,
o que implica a utilização do 2.º processo.
O 2.º processo para a determinação do
ângulo entre dois planos implica:
1 – Conduzir por ponto P exterior aos dois
planos, duas rectas ortogonais aos dois
planos, as rectas p e p’;
2 – O ângulo entre as duas rectas p e p’ é
o ângulo entre os dois planos, via o
rebatimento para um plano horizontal
auxiliar ν.
p2
A2
x
Ar1
A1
P1 ≡ Pr
θº
hα
hγ
p’1 ≡ e1 ≡ p’r
p1
Ar
pr