01) (MACK) Utilizando-se, necessariamente, os algarismos
1 e 2, podemos formar K números distintos com 5
algarismos. Então K vale:
a) 30
b) 48
c) 64
d) 72
e) 78
Como são 5 algarismos, tendo 2 opções, o total
de número é 2  2  2  2  2  32 . No entanto,
necessariamente utilizar 1 e 2 implica o
descarte dos números 11111 e 22222, onde
somente um deles aparece. Logo, 32 - 2 = 30.
5  4 
2
 40


impar
3 3
 1 "1", "3"
03) (UNESP) Dois rapazes e duas moças irão viajar de
ônibus, ocupando as poltronas de números 1 a 4, com 1 e
2 juntas e 3 e 4 juntas, conforme o esquema. O número de
maneiras de ocupação dessas quatro poltronas, garantindo
que, em duas poltronas juntas, ao lado de uma moça
sempre viaje um rapaz, é:
a) 4.
b) 6.
c) 8.
d) 12.
e) 16.
4  2  2  1
 16
P1 P2 P3 P4
A poltrona 1 pode ser ocupada com qualquer um dos 4
viajantes. A poltrona 2, no entanto, deve ser ocupada por
um viajante do sexo oposto: existem 2 pessoas de sexo
diferente da 1ª. Para a poltrona 3 e 4, sobrarão
necessariamente um homem e uma mulher. Logo, existem
2 opções para a poltrona 3 e 1 para a poltrona 4.
Conjuntos
A
A
05) (MACK) A partir de um grupo de 12 professores, quer
se formar uma comissão com um presidente, um relator e
cinco outros membros. O número de formas de se compor
a comissão é:
a) 12.772
b) 13.024
c) 25.940
d) 33.264
e) 27.764
Serão feitas 7 escolhas a partir de 12
opções, sendo as escolhas separadas em
dois grupos de um (presidente e relator) e
um grupo de 5 com cargos iguais.

COMISS
AO


 REL
 
12  11  10  9  8  7  6
 33.264
5!
PRES
02) (UFBA) Com os dígitos 1, 2, 3, 4, 6 e 8, podem-se
formar x números ímpares, com três algarismos distintos
cada um. Determine x.
Para formar números ímpares, o algarismo das unidades
necessariamente deve ser ímpar. Logo, existem 2 opções:
“1” ou “3”. Para os demais, bastar evitar a repetição.
Seqüências
06) (UFMG) Observe a figura. Nela, o número de triângulos
que se obtém com vértices nos pontos D, E, F, G, H, I, J é:
a) 20
b) 21
c) 25
d) 31
e) 35
Estão disponíveis 7 pontos. Logo, é possível formar
765
 35 trios diferentes. No entanto, os trios formados
3!
com exclusivamente com G, H, I, J não formam triângulos,
432
e totalizam
 4 trios. Logo, existem 35 - 4 = 31
3!
triângulos.
04) (FGV) O número de segmentos de reta que têm ambas
as extremidades localizadas nos vértices de um cubo é:
07) (MACK) Uma prova de atletismo é disputada por 9
atletas, dos quais apenas 4 são brasileiros. Os resultados
possíveis para a prova, de modo que pelo menos um
brasileiro fique numa das três primeiras colocações, são
em número de:
a) 12.
b) 15.
c) 18.
d) 24.
e) 28.
a) 426
b) 444
c) 468
d) 480
e) 504
Um cubo possui 8 vértices.
Para
formar
segmentos,
escolheremos dois. Como os
segmentos AB e BA são
iguais, é preciso dividir.
87
 28
2!
Sendo 9 atletas, existem 9  8  7  504
possibilidades de pódio. Não é preciso dividir,
pois as classificações ABC e CBA são distintas.
O que não interessa é um pódio sem
brasileiros. Como são 5 atletas estrangeiros,
são 5  4  3  60 pódios sem brasileiros. Assim,
o total de pódios com pelo menos um brasileiro
é 504 - 60 = 444.
08) (PUCCAMP) Você faz parte de um grupo de 12
pessoas, 5 das quais deverão ser selecionadas para
formar um grupo de trabalho. De quantos modos você
poderá fazer parte do grupo a ser formado?
12) (CÓSER) Sendo possível somente percorrer as arestas
dos cubos abaixo, quantos caminhos diferentes podemos
fazer indo do ponto A até o ponto B, percorrendo o mínimo
de arestas possível?
a) 182
b) 330
c) 462
d) 782
e) 7920
a) 150
b) 350
c) 1.260
d) 2.520
e) 7.560
A inclusão obrigatória de um membro implica
a diminuição do número de vagas. Assim,
restam 11 pessoas para 4 escolhas.
11 10  9  8
 330
4!
09) (UFSM) De quantas maneiras distintas podem-se
alinhar cinco estacas azuis idênticas, uma vermelha e uma
branca?
a) 12
b) 30
c) 42
d) 240
e) 5040
A seqüência de estacas deve ser entendida
como um anagrama. Por exemplo, o
anagrama VAAAAAB indica que a primeira
estaca é vermelha, as seguintes são azuis e a
última é branca. Atenção para as cinco letras
7!
“A” repetidas:
 7  6  42 .
5!
10) (UFRN) Um fenômeno raro em termos de data ocorreu
às 20h02min de 20 de fevereiro de 2002. No caso, 20:02
20/02 2002 forma uma seqüência de algarismos que
permanece inalterada se reescrita de trás para a frente. A
isso denominamos capicua. Desconsiderando as capicuas
começadas por zero, a quantidade de capicuas formadas
com cinco algarismos não necessariamente diferentes é:
a) 120
b) 720
c) 900
d) 1000
e) 1100
O primeiro algarismo não pode ser zero.
Portanto, são 9 opções. Ao definir o primeiro,
para o último só resta uma opção: igual ao
primeiro. Para o segundo algarismo são 10
opções, e fixa uma única opção para o quarto.
Para o 3º, 10 opções mais uma vez.

SEM RESTRIÇ AO
9 
0



10  10

1  1
 900
 A2  A1
11) (UNESP) Nove times de futebol vão ser divididos em 3
chaves, todas com o mesmo número de times, para a
disputa da primeira fase de um torneio. Cada uma das
chaves já tem um cabeça de chave definido. Nessas
condições, o número de maneiras possíveis e diferentes de
se completarem as chaves é:
Para sair do ponto A e chegar ao ponto B, são necessários
4 deslocamentos para frente, 2 deslocamentos para dentro
e 3 deslocamentos para cima, gerando anagramas como
9!
FFFFDDCCC. Logo,
 1260 caminhos distintos.
4! 3! 2!
13) (UEL) Para responder a certo questionário, preenchese o cartão apresentado a seguir, colocando-se um "x" em
uma só resposta para cada questão. De quantas maneiras
distintas pode-se responder a esse questionário?
a) 3.125
b) 120
c) 32
d) 25
e) 10
Cada uma das cinco questões pode ser respondida de dois
modos: “SIM” ou “NÃO”. Logo, são 2  2  2  2  2  32
maneiras distintas de responder ao questionário.
14) (ITA) O número de anagramas da palavra
VESTIBULANDO, que não apresentam as cinco vogais
juntas, é:
a) 12!
b) (8!) (5!)
c) 12! - (8!) (5!)
d) 12! - 8!
e) 12! - (7!) (5!)
A palavra VESTIBULANDO possui 12
letras distintas. Logo, existem 12!
Anagramas diferentes com suas letras.
Para que as vogais fiquem juntas, elas
serão contadas como um único
elemento: AEIOU. Ainda, restam 7
letras, totalizando 8 opções.
Assim, existem
AEIOU , V , , S ,T , B , L , N , D

12!
 8! 5! anagramas
8 ELEMENTOS
com as vogais
8!
 5!


separadas.
TROCA
TROCA
ELEMENTOS
a) 21.
b) 30.
c) 60.
d) 90.
e) 120.
Como cada grupo tem seu cabeça de chave
definido, temos a perda de uma vaga por
grupo. Restam 6 times para distribuição.
CHAVE A
CHAVE B


 

 CHAVE
C
65 
43 
2 1
 90
2!
2!
2!
INTERNA
15) (CÓSER) Calcule o número de anagramas existentes
com as letras (sem os espaços) da frase “VOU TIRAR NA”.
São 10 letras, sendo dois R´s e dois A´s. Logo, existem
10!
 907.200 anagramas distintos.
2! 2!