Matemática das Combinatórias
Matemática
Ensino Médio
As Permutações
Comentários:
As primeiras atividades matemáticas da humanidade estavam ligadas à contagem
de objetos de um conjunto, enumerando seus elementos.
As civilizações antigas, como egípcia, babilônia, maia e romana, utilizavam traços
verticais, círculos, pontos ou outros sinais para registrar as contagens.
A Análise Combinatória é a área da Matemática que trata dos problemas de
contagem. Por exemplo, podemos construir a árvore das possibilidades para
solucionar o exercício abaixo:
Uma moeda tem duas faces: cara (K) e coroa ( C ). Lança-se uma duas vezes
seguidas e observa-se qual face ficou voltada para cima. Quantas e quais são os
resultados possíveis?
Solução:
1º lançamento
2º lançamento
K
K
C
K
C
C
São possíveis 4 resultados, que indicamos por: K K; K C; C K; C C.
Dando continuidade ao conteúdo estudado na aula 48 – O Princípio Multiplicativo,
vamos iniciar nossa aula conhecendo novas definições.
Definição 1:
Fatorial
É comum, nos problemas de contagem, calcular o produto de uma multiplicação
cujos fatores são números naturais consecutivos. Para facilitar esse trabalho,
vamos adotar um símbolo que representamos por n!
(Lê–se: n fatorial ou fatorial de n).
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Expressão geral: n! = n . (n – 1) . (n – 2) ... 3 . 2 . 1, (até chegar ao número 1),
sendo n   e n > 1.
Lembrar que  representa o conjunto dos números naturais.
Conseqüências da definição de Fatorial:
1ª conseqüência: Podemos escrever para qualquer n( n   ) e n > 2:
n! = n . (n – 1)!
Por exemplo:
Na igualdade 8! = 8 . 7!, temos que 8! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1
2ª conseqüência: Vamos estender o conceito de fatorial de n para n =1 e n = 0.
Em cada extensão deve-se conservar a propriedade n! = n . (n – 1)!
Por exemplo:
Se n = 2
n! = n . (n – 1)! 
2! = 2 . (2 – 1)! 
2! = 2 . 1! 
2 . 1 = 2 . 1! (dividindo os dois membros por 2)
1 = 1! ou 1! = 1
Se n = 1
n! = n . (n – 1)! 
1! = 1 . (1 – 1)! 
1! = 1 . 0! 
1 = 1 . 0!
Para que essa igualdade seja verdadeira, definimos: 0! = 1
Exemplos:
1. Determine o valor de:
a) 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
b) 7! = 7 . 6! = 7 . 720 = 5040
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2 . Simplifique as expressões:
a)
5! 5 . 4 . 3 . 2 .1

 5 . 4  20
3!
3.2.1
3 . Calcule:
a)
5!
5 . 4 . 3 . 2 . 1 120 120



 15
3!  2! 3 . 2 . 1 + 2 . 1 6  2
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Atenção usuário ou leitor:
Utilize os exemplos e exercícios dados no material impresso (livro 3 de
Matemática do Ensino Médio TC 2000) – páginas 72 a 77.
Definição 2:
Permutar:
1. Dar mutuamente, trocar.
Permutação:
1 . Ato ou efeito de permutar, troca, substituição;
2. Transposição dos elementos de um todo para se obter uma nova combinação;
3. Seqüência ordenada dos elementos de um conjunto.
Permutação simples:
Seja E um conjunto com n elementos.
Chama-se permutação simples dos n elementos, qualquer agrupamento
(seqüência) de n elementos distintos do conjunto E.
Podemos, também, interpretar cada permutação de n elementos como um arranjo
simples (organização dos elementos) de n elementos tomados n a n, ou seja, p =
n.
O número de permutações simples de n elementos é indicado por Pn. Assim
temos:
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Pn  A n, n  Pn =
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n!
n!
n!
 Pn =
 Pn =
 Pn = n!
0!
1
 n - n !
Ou ainda: Pn = n . (n – 1).(n – 2) ... 1
As permutações simples de n elementos distintos diferem entre si somente pela
ordem dos elementos.
Aplicação:
As definições de permutações simples podem ser aplicadas em várias situações
diferentes, por exemplo, na determinação dos anagramas* sem repetições.
* Anagrama é uma palavra formada pela transposição (troca) de letras de outra
palavra. Existem também anagramas de frases, nos quais se trocam as palavras,
formando-se outra frase.
Com a aplicação das permutações simples determinamos anagramas das
palavras que são formadas sem repetição de letras, por exemplo:
1. Quantos são os anagramas da palavra PAZ?
Solução:
Como podemos observar na formação da palavra PAZ não ocorre a repetição de
letras, portanto, o número de anagramas é o número de permutações possíveis
com a quantidade de letras da palavra dada:
P, A, Z  total de 3 letras
3! = 3 . 2 . 1 = 6
PAZ; PZA; APZ; AZP; ZAP e ZPA.
6  quantidade de anagramas possíveis de se formar com a palavra dada.
Outros exemplos de aplicação da permutação simples:
1. Quantos números de 5 algarismos distintos podem ser formados, usando-se os
algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?
Como queremos formar números de 5 algarismos, podemos ordenar os
algarismos dados da seguinte maneira:
P5 = A5, 5
5 algarismos
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Como vamos formar números distintos (sem repetição), podemos aplicar a regra
da permutação simples, ou seja:
P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
120  quantidade de números que podemos formar com os 5 algarismos dados.
2. Um grupo de 5 pessoas decide viajar de carro, mas apenas 2 pessoas que
sabem dirigir. De quantas maneiras é possível dispor as 5 pessoas durante a
viagem?
Solução:
Atenção no enunciado, pois devemos observar que existe uma restrição a se levar
em consideração na resolução.
Restrição: o banco do motorista só pode ser ocupado por 2 pessoas que sabem
dirigir, portanto as outras 4 pessoas podem ser permutadas pelos 4 lugares
restantes.
2 . 4! = 2 . 4 . 3 . 2 . 1 = 48 maneiras diferentes
Nº de lugares restantes
Nº de pessoas que sabem dirigir
Permutação com elementos repetidos:
Observe que até agora, estudamos permutação com elementos distintos.
Veja, no exemplo a seguir, o que acontece quando entre n elementos houver uma
quantidade de elementos repetidos.
Quantos anagramas podemos formar com a palavra MADEIRA?
Resolução: observe que a palavra possui sete letras, sendo duas letras A e cinco
letras distintas: M, D, E, I, R.
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Para resolver o exemplo acima podemos utilizar a seguinte expressão:
n!
Pn =
!
onde n = quantidade total de elementos e
 = quantidade de elementos repetidos.
Portanto, temos:
P72 
7! 7.6.5.4.3.2.1

 2520
2!
2.1
Outro exemplo:
Quantos anagramas podemos formar com a palavra ARITMÉTICA?
Observe que a palavra tem 10 letras, sendo: 2 iguais a A; 2 iguais a I; 2 iguais a T,
portanto:
P102, 2, 2 
10!
10.9.8.7.6.5.4.3.2.1

 453.600 anagramas .
2!2!2!
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Permutação circulares:
Para determinarmos o número de permutações circulares, utilizamos a seguinte
expressão:
n ! n . ( n - 1 )!

= ( n - 1 )!
n
n
Exemplo de aplicação:
Quantas rodas de ciranda podemos formar com 8 crianças?
( n – 1 )!
( 8 – 1 )!
7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5.040 rodas diferentes.
Observação: Utilize como atividade em classe os exercícios das páginas 77, 83 e
84 do livro 3 do TC 2000.
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