CEEJA
“MAX DADÁ GALLIZZI”
MATEMÁTICA
ENSINO MÉDIO
APOSTILA
18
Parabéns!!!
Você já é um vencedor!
Voltar a estudar é uma vitória que poucos podem dizer que conseguiram. É
para você, caro aluno, que desenvolvemos esse material. Foi pensando em seu
sucesso e em auxiliá-lo nas redescobertas da “arte matemática” que elaboramos
o conteúdo e os exercícios contidos nesta coleção de apostilas. Ela foi escrita em
linguagem simples e com a preocupação de transmitir os assuntos importantes
de matemática da forma mais clara possível.
Todos nós usamos matemática diariamente, mesmo sem perceber. Em uma
compra, ao pagar e ao receber o troco, estamos fazendo matemática. Até para
utilizarmos corretamente uma máquina de calcular, precisamos saber
matemática. Para isto, em cada aula, você encontrará “ferramentas”
matemáticas que passarão a fazer parte da sua vida para enriquecê-la e facilitála. A matemática não é um conjunto de regras que devam ser decoradas. O
importante é compreender o que está por trás de cada regra; é compreender os
conceitos. Assim você poderá utilizar os seus conhecimentos em situações
novas, resolvendo os problemas que surgirem na sua casa, no seu trabalho, na
sua vida.
Uma parte fundamental dessa apostila são os Exercícios. Não se aprende
matemática apenas lendo um texto. É preciso praticar. É preciso gastar lápis e
papel resolvendo exercícios. Só assim ganhamos segurança no que aprendemos
e ficamos preparados para a aula seguinte. Portanto, tente fazer os exercícios de
cada aula. Talvez você não consiga resolver todos, mas o importante é tentar
fazer. Também aprendemos muito com nossos próprios erros. Resolva todos os
exercícios em seu caderno (não responder na apostila, pois a mesma será
utilizada por outros alunos no decorrer do curso). Procure-nos assim que
surgirem as primeiras dificuldades, nós estaremos sempre prontos para ajudálo.
No fim do curso você terá adquirido uma série de conhecimentos de
matemática que serão suas ferramentas para compreender melhor o mundo que
nos cerca, tornando-o um cidadão mais seguro e respeitado. Mas, acima de
tudo, você vai descobrir que pensar é divertido. Raciocinar é estimulante.
Resolver desafios, questionar, encontrar soluções nos dá prazer, desenvolve a
nossa mente e torna mais ágil o nosso raciocínio.
Adquirindo o hábito de pensar de forma organizada, você terá aprendido a
mais importante das lições e nós teremos cumprido o nosso objetivo.
Combinatória
Introdução
Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos
chamados jogos de azar que levou ao desenvolvimento da Análise
Combinatória, parte da Matemática que estuda os métodos de contagem.
Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano
Niccollo Fontana, conhecido como Tartaglia. Depois vieram os franceses Pierre
de Fermat e Blaise Pascal.
A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de
uma forma indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses
elementos agrupados sob certas condições.
Niccollo Fontana (1500-1557)
Pierre de Fermat (1601-1665)
Blaise Pascal (1623-1662)
Princípio Multiplicativo
A palavra Matemática, para um adulto ou uma criança, está diretamente
relacionada com atividades e técnicas para contagem do número de elementos
de algum conjunto. As primeiras atividades matemáticas que vivenciamos
envolvem sempre a ação de contar objetos de um conjunto, enumerando seus
elementos.
As operações de adição e multiplicação são exemplos de “técnicas” matemáticas
utilizadas também para a determinação de uma quantidade. A primeira(adição)
reúne ou junta duas ou mais quantidades conhecidas; e a segunda
(multiplicação) é normalmente aprendida como uma forma eficaz de substituir
adições de parcelas iguais.
A multiplicação também é a base de um raciocínio muito importante em
Matemática, chamado princípio multiplicativo. O princípio multiplicativo
constitui a ferramenta básica para resolver problemas de contagem sem que seja
necessário enumerar seus elementos.
Os problemas de contagem fazem parte da chamada análise combinatória.
A partir desta aula, aprofundaremos o estudo dessa parte da Matemática.
EXEMPLO 1:
Maria vai sair com suas amigas e, para escolher a roupa que usará, separou
2 saias e 3 blusas. Vejamos de quantas maneiras ela pode se arrumar.
Solução:
O princípio multiplicativo, ilustrado nesse exemplo, também pode ser
enunciado da seguinte forma:
Se uma decisão d1 pode ser tomada de n maneiras e, em seguida, outra decisão
d2 puder ser tomada de m maneiras, o número total de maneiras de tornarmos
as decisões d1 e d2 será n · m.
No exemplo anterior havia duas decisões a serem tomadas:
 d1: escolher uma dentre as 3 blusas
 d2: escolher uma dentre as 2 saias
Assim, Maria dispõe de 3 · 2 = 6 maneiras de tomar as decisões d1 e d2, ou seja,
6 possibilidades diferentes de se vestir.
EXEMPLO 2:
Um restaurante prepara 4 pratos quentes (frango, peixe, carne, massa), 2
saladas (verde e legumes) e 3 sobremesas (sorvete, chocolate, frutas).
De quantas maneiras diferentes um freguês pode se servir consumindo um
prato quente, uma salada e uma sobremesa?
Solução:
Esse e outros problemas da análise combinatória podem ser representados pela
conhecida árvore de possibilidades ou grafo. Veja como representamos por uma
“árvore” o problema do cardápio do restaurante.
Cardápio
F
P
V
S
C
L
F
S
C
C
V
F
S
C
L
F
S
C
M
V
F
S
C
L
F
S
C
V
F
S
C
L
F
S
Observe que nesse problema temos três níveis de decisão:
 d1: escolher um dentre os 4 tipo de pratos quentes.
 d2: escolher uma dentre as 2 variedades de salada.
 d3: escolher uma das 3 sobremesas oferecidas.
Usando o princípio multiplicativo, concluímos que temos 4 · 2 · 3 = 24 maneiras
de tomarmos as três decisões, ou seja, 24 opções de cardápio.
A representação gráfica em árvore de possibilidades é muito ilustrativa.
Nela podemos ver claramente os três níveis de decisão d1, d2 e d3, consultando os vários tipos de
cardápios possíveis. Observe que, percorrendo as opções dadas pelos segmentos à esquerda da
árvore, o cardápio ficaria frango/salada verde/sorvete enquanto que, escolhendo os segmentos à
direita, teríamos massa/salada legumes/ frutas. No entanto, nosso objetivo é saber as
combinações possíveis e calcular o número total de possibilidades sem precisar enumerá-las,
pois muitas vezes isso será impossível devido ao grande número de opções e/ou de decisões
envolvidos num problema.
As técnicas da análise combinatória, como o princípio multiplicativo, nos fornecem soluções
gerais para atacar certos tipos de problema. No entanto, esses problemas exigem
engenhosidade, criatividade e uma plena compreensão da situação descrita. Portanto, é preciso
estudar bem o problema, as condições dadas e as possibilidades envolvidas, ou seja, ter perfeita
consciência dos dados e da resolução que se busca.
EXEMPLO 3:
Se o restaurante do exemplo anterior oferecesse dois preços diferentes, sendo
mais baratas as opções que incluíssem frango ou massa com salada verde, de
quantas maneiras você poderia se alimentar pagando menos?
Solução:
Note que agora temos uma condição sobre as decisões d1 e d2:
 d1: escolher um dentre 2 pratos quentes (frango ou massa).
 d2: escolher salada verde (apenas uma opção).
 d3: escolher uma das 3 sobremesas oferecidas.
Então, há 2 · 1 · 3 = 6 maneiras de montar cardápios econômicos. (Verifique os
cardápios mais econômicos na árvore de possibilidades do exemplo anterior).
C
F
EXEMPLO 4:
Quantos números naturais de 3 algarismos distintos existem?
Solução:
Um número de 3 algarismos c d u é formado por 3 ordens: Como o algarismo
da ordem das centenas não pode ser zero, temos então três decisões:
 d1: escolher o algarismo da centena diferente de zero (9 opções).
 d2: escolher o algarismo da dezena diferente do que já foi escolhido para
ocupar a centena (9 opções).
 d3: escolher o algarismo da unidade diferente dos que já foram utilizados
(8 opções).
centena
9 opções
dezena
X
9 opções
unidade
8 opções = 648
X
Portanto, o total de números formados será 9 · 9 · 8 = 648 números.
EXEMPLO 5:
De acordo com o exemplo anterior, se desejássemos contar dentre os 648
números de 3 algarismos distintos apenas os que são pares (terminados em 0, 2,
4, 6 e 8), como deveríamos proceder?
Solução:
 Primeiro determinamos todos os números de 3 algarismos distintos:
centena
9 opções
dezena
X
9 opções
unidade
8 opções = 648
X
 Depois abatemos os números ímpares de 3 algarismos distintos (5 na
última casa, 8 na primeira e 8 na segunda), num total de 5 · 8 · 8 = 320
números.
centena
8 opções
dezena
X
8 opções
unidade
X
5 opções = 320
Assim, a resposta seria 648 - 320 = 328 números.
EXEMPLO 6:
As placas de automóveis eram todas formadas por 2 letras (inclusive K, Y e W)
seguidas por 4 algarismos. Hoje em dia, as placas dos carros estão sendo todas
trocadas e passaram a ter 3 letras seguidas e 4 algarismos. Quantas placas de
cada tipo podemos formar?
Solução:
 No primeiro caso, temos:
Letra
Letra
Número
Número
Número
Número
Como cada letra pode ser escolhida de 26 maneiras e cada algarismo de
10 modos distintos, a resposta é:
Letra
26
Letra
x
26
Número
x
10
Número
x
10
Número
x
10
Número
x
= 6.760.000
10
 No segundo caso, temos:
Letra
Letra
Letra
Número Número Número Número
Como cada letra continua podendo ser escolhida de 26 maneiras e cada
algarismo de 10 modos distintos, a resposta é:
Letra
26
Letra
x
26
Letra
x
26
Número Número Número Número
x
10
x
10
x
10
x
10
= 175.760.000
A nova forma de identificação de automóveis possibilita uma variedade
26 vezes maior. A diferença é de 169.000.000, ou seja, 169 milhões de placas
diferentes a mais do que anteriormente.
Exercícios
Questão 01:
Numa sala há 4 homens e 3 mulheres. De quantos modos é possível selecionar
um casal homem-mulher?
Questão 02:
Uma moça vai desfilar vestindo saia, blusa, bolsa e chapéu. O organizador do
desfile dispõe de três modelos de saia, quatro de blusa, cinco de bolsa e seis de
chapéus. De quantas maneiras ela poderá se arrumar?
Questão 03:
Uma lanchonete prepara 4 lanches (pão na chapa, misto quente, x-salada,
pastel), 5 tipos de sucos (laranja, maracujá, abacaxi, morango, acerola).
De quantas maneiras diferentes um freguês pode se servir consumindo um
lanche e um suco?
Questão 04:
Uma montadora de automóveis apresenta um carro em quatro modelos
diferentes e em cinco cores diferentes. Um consumidor que quiser adquirir esse
veículo terá quantas opções de escolha?
Questão 05:
Um Shopping Center possui 4 portas de entrada para o andar térreo, 5 escadas
rolantes ligando o térreo ao primeiro pavimento e 3 elevadores que conduzem
do primeiro para o segundo pavimento. De quantas maneiras diferentes uma
pessoa, partindo de fora do Shopping Center pode atingir o segundo pavimento
usando os acessos mencionados?
Questão 06:
a) Quantos números naturais de 2 algarismos distintos existem?
b) Quantos destes números são divisíveis por 5?
Questão 07:
Quantas palavras contendo 3 letras diferentes podem ser formadas com um
alfabeto de 26 letras?
Questão 08:
Quantos são os gabaritos possíveis para um teste de 5 questões de múltipla
escolha, com 4 alternativas por questão?
Questão 09:
A Mega-Sena é o jogo que paga milhões para o acertador dos 6 números
sorteados. O jogo é composto de números de 01 a 60, quantas escolhas de 6
números distintos podemos fazer?
Questão 10:
O segredo de um cofre é formado por uma seqüência de 3 números de 2 dígitos
(de 00 a 99). Uma pessoa decide tentar abrir o cofre sem saber a formação do
segredo (por exemplo: 15 - 26 - 52). Se essa pessoa levar 1 segundo para
experimentar cada combinação possível, trabalhando ininterruptamente e
anotando cada tentativa já feita para não repeti-la, qual será o tempo máximo
que poderá levar para abrir o cofre?
Questão 11:
No Exemplo 6 vimos que existem 175.760.000 placas diferentes de três letras e
quatros algarismos. Geraldo Francisco Pereira gostaria de que a placa de seu
automóvel tivesse as iniciais do seu nome. Quantas placas existem com as letras
GFP?
Fatorial
Considerando um número n, sendo
e
, temos:
Onde:
 a leitura do símbolo

é:
é o produto de todos os números naturais de 1 até ;
 Estendendo a definição:
EXEMPLOS:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
;
e
.
Exercícios
Questão 12:
Calcule o valor dos números fatoriais:
a)
g)
b)
h)
c)
i)
d)
j)
e)
k)
f)
Questão 13:
Calcule as expressões:
a)
e)
b)
f)
c)
g)
d)
h)
Permutação
Nesta aula você estudará um tipo muito comum de problemas de contagem,
que está relacionado com as várias formas de organizar ou arrumar os
elementos de um conjunto.
Organizar tais elementos é uma atividade cotidiana que inclui várias
possibilidades, sendo que cada pessoa adota uma estratégia. No entanto, muitas
vezes precisamos saber de quantas maneiras podemos arrumar um conjunto de
elementos ou simplesmente saciar a curiosidade sobre o número total de
possibilidades.
Consultando um dicionário encontramos:
PERMUTAR
→ dar mutuamente, trocar.
PERMUTAÇÃO → 1) ato ou efeito de permutar, troca, substituição;
2) transposição dos elementos de um todo para se
obter uma nova combinação;
3) sequência ordenada dos elementos de um conjunto.
Matematicamente concluímos que:
Se temos n elementos distintos, então o número de agrupamentos ordenados
que podemos obter com todos esses n elementos é dado por:
Esses agrupamentos ordenados (diferem pela ordem) recebem o nome de
permutações simples. Indicamos por Pn o número de permutações simples de n
elementos:
EXEMPLO 1:
No protocolo de uma repartição há um arquivo de mesa como o da figura
abaixo. Cada funcionário do setor gosta de arrumar estas caixas em uma ordem
diferente (por exemplo: entrada-pendências-saída, pendências-saída-entrada
etc.). De quantas maneiras é possível ordenar estas caixas?
Solução:
Como temos 3 caixas - saída (S), pendências (P) e entrada (E) – vamos escolher
uma delas para ficar embaixo. Escolhida a caixa inferior, sobram 2 escolhas para
a caixa que ficará no meio e a que sobrar ficará sobre as outras.
Então, usando o princípio multiplicativo temos:
P3 = 3! = 3 · 2 · 1 = 6 opções
Assim, as soluções são:
S
S
E
E
P
P
P
E
S
P
E
S
E
P
P
S
S
E
EXEMPLO 2:
De quantas maneiras podemos arrumar 5 pessoas em fila indiana?
Solução:
Para facilitar, vamos imaginar que as pessoas são P1, P2, P3, P4, P5 e que
precisamos arrumá-las nesta fila:
Deste modo, podemos ter soluções como:
P1 P2 P3
P4
P5
P5
P4
P3
P2
P1
P3
P5
P4
P1
P2
etc.
Ao escolher uma pessoa para ocupar a primeira posição na fila temos cinco
pessoas à disposição, ou seja, 5 opções; para o 2º lugar , como uma pessoa já foi
escolhida, temos 4 opções; para o 3º lugar sobram três pessoas a serem
escolhidas; para o 4º lugar duas pessoas, e para o último lugar na fila sobra
apenas a pessoa ainda não escolhida.
Pelo princípio multiplicativo temos:
P5 = 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 opções
Anagrama
Você sabe o que é um anagrama?
Anagrama é uma palavra formada pela transposição (troca) de letras de outra
palavra. Existem também anagramas de frases, nos quais se trocam as palavras,
formando-se outra frase.
EXEMPLO 1:
Quais os anagramas da palavra AMOR?
Solução:
Um anagrama formado com A, M, O, R corresponde a qualquer permutação
dessas letras, de modo a formar ou não palavras.
Temos 4 possibilidades para a primeira posição, 3 possibilidades para a
segunda posição, 2 possibilidades para a 3 posição e 1 possibilidade para a
quarta posição.
Pelo princípio fundamental da contagem temos 4 . 3 . 2 . 1 = 24 possibilidades
ou 24 anagramas.
Também podemos resolver da seguinte maneira:
AMOR = 4 letras (não repetidas)
Confira os 24 anagramas possíveis para a palavra AMOR:
AMOR
AMRO
AOMR
AORM
ARMO
AROM
MAOR
MARO
MOAR
MORA
MRAO
MROA
OAMR
OARM
OMAR
OMRA
ORAM
ORMA
RAMO
RAOM
RMAO
RMOA
ROAM
ROMA
EXEMPLO 2:
Quais os anagramas da palavra AMAR?
Solução:
O número de permutações de uma palavra com quatro letras distintas (não
repetidas) é igual a 4! = 24. Neste exemplo formaremos uma quantidade menor
de anagramas, pois são a letra A aparece repetidamente na 1ª casa e a outra na
3ª casa. Com isso dos 24 anagramas possíveis teremos muitos deles repetidos
que deverão ser descartados no final.
AMAR = 4 letras (letra A repetida duas vezes)
Confira que os 24 anagramas possíveis para a palavra AMAR teremos
anagramas repetidos, cancelando esses repetidos teremos os 12 anagramas
válidos para a palavra AMAR:
AMAR
AMRA
AAMR
AARM
ARMA
ARAM
MAAR
MARA
MAAR
MARA
MRAA
MRAA
AAMR
AARM
AMAR
AMRA
ARAM
ARMA
RAMA
RAAM
RMAA
RMAA
RAAM
RAMA
EXEMPLO 3:
Quantos são os anagramas da palavra PRÓPRIO?
Solução:
PRÓPRIO = 7 letras (letras P, R e O repetida duas vezes), resolveremos então:
Nesse caso não seria conveniente demonstrar anagramas possíveis para a
palavra PRÓPRIO, pois como essa palavra tem 7 letras teríamos 7! = 5040
anagramas, porém com muitos repetidos, cancelando esses repetidos teremos
os 630 anagramas válidos que se fossemos para demonstrar demoraríamos um
tempo desnecessário.
EXEMPLO 4:
Considerar a palavra DILEMA e determinar:
a) O número total de anagramas;
b) O número de anagramas que começam com a letra D;
c) O número de anagramas que começam com a letra D e terminam com a
letra A;
d) O número de anagramas que começam com vogal.
Solução:
a) DILEMA = 6 letras (não repetidas)
b) Para calcular o número de anagramas que começam com a letra D,
fixamos a letra D e permutamos as demais.
→
c) Neste caso, vamos fixar a letra D e a letra A e permutar as demais.
→
d) No item b, vemos que para cada letra fixada na primeira posição há 120
anagramas. Como existem 3 vogais diferentes, o número de anagramas
que começam com vogal é:
→
→
→
Total →
Exercícios
Questão 14:
Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra ALUNO?
Questão 15:
Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra ALUNA?
Questão 16:
Quantos são os anagramas da palavra CEESMAG?
Questão 17:
Quantos são os anagramas da palavra MATEMÁTICA?
Questão 18:
Quantos são os anagramas da palavra TELESALA?
Questão 19:
Quantos são os anagramas da palavra TELECURSO?
Questão 20:
Da palavra LIVRO:
a) Quantos anagramas podemos formar?
b) Quantos anagramas começam pela letra L?
c) Quantos anagramas começam pela letra L e terminam com a letra O?
d) Quantos são os anagramas que começam com vogal?
e) Quantos são os anagramas que começam com consoante?
Combinações
Até agora você estudou problemas de análise combinatória que envolviam o
princípio multiplicativo e as permutações.
Se observar os problemas de permutações apresentados nas aulas anteriores,
verá que possuem duas características em comum:
 Todos os objetos são usados na hora de formar o agrupamento;
 A ordem em que os objetos são arrumados no agrupamento faz
diferença.
Nos problemas que envolviam anagramas com as letras de uma palavra, por
exemplo, todas as letras da palavra original tinham de ser usadas, e a ordem em
que arrumávamos as letras era importante, pois cada ordem diferente fornecia
um novo anagrama.
Agora, você estudará um tipo diferente de problema em que:
 Não utilizamos todos os objetos;
 A ordem em que os objetos são arrumados “não faz diferença”.
Resumindo:
Na combinação simples, a ordem dos elementos no agrupamento não interfere.
São arranjos que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos.
Portanto, se temos um conjunto A formado por n elementos tomados p a p,
qualquer subconjunto de A formado por p elementos será uma combinação,
dada pela seguinte expressão:
Onde:

n = tamanho do espaço amostral (maior valor da amostra em questão);

p = tamanho da amostra (menor valor da amostra em questão);
Vamos começar compreendendo e resolvendo os seguintes exemplos.
EXEMPLO 1:
Em uma obra havia três vagas para pedreiro. Cinco candidatos se apresentaram
para preencher as vagas. De quantas formas o encarregado da obra pode
escolher os três de que ele precisa?
Solução:
Note que ele não vai usar todos os candidatos, de 5 escolherá apenas 3.
Além disso, a ordem em que ele vai escolhê-los não faz diferença (se escolher
primeiro João, depois José e por último Pedro, ou primeiro José, depois Pedro e
por último João, o grupo escolhido será o mesmo).
Assim, você já deve ter notado que este não é um problema de permutações.
Se a ordem de escolha dos candidatos importasse, poderíamos usar o princípio
multiplicativo. Nesse caso, teríamos 5 candidatos para a primeira vaga,
4 candidatos para a segunda e 3 candidatos para a última. A solução seria:
5 · 4 · 3 = 60. Portanto, haveria 60 formas de escolher os três novos pedreiros.
Usando o princípio multiplicativo, no entanto, contamos várias vezes o mesmo
grupo de três candidatos:
João
José
Pedro
João
Pedro
José
Pedro
João
José
Pedro
José
João
José
Pedro
João
José
João
Pedro
Estes seis grupos são iguais e foram contados como agrupamentos diferentes
nas 60 formas de escolher que encontramos. Para “retirar” as repetições destes e
de outros grupos, vamos dividir o resultado pelo número de vezes que eles se
repetem na contagem. Que número é esse?
Os grupos repetidos são as formas de “embaralhar” três candidatos escolhidos.
Ora “embaralhar” três objetos é fazer permutações! O número de permutações
de 3 objetos você já sabe que é 3! = 6. Logo, basta dividir 60 por 6 para não
contarmos as repetições dentro de cada grupo formado. Isso significa que há
10 maneiras de escolher os três novos pedreiros, entre os 5 candidatos.
Esse tipo de agrupamento chama-se combinação. No caso do nosso exemplo,
temos uma combinação de 5 objetos (os 5 candidatos) 3 a 3 (apenas 3 serão
escolhidos).
Nesse exemplo, temos
e
. Aplicando a fórmula das combinações,
obtemos:
R: Existem 10 maneiras de escolher os três novos pedreiros, entre os 5 candidatos.
EXEMPLO 2:
Por exemplo, considere um conjunto com seis elementos que serão tomados
dois a dois:
EXEMPLO 3:
Uma importante aplicação de combinação simples é nas loterias, Mega Sena,
Quina entre outras. A Mega Sena consiste em uma cartela de 60 números dentre
os quais devemos acertar 6 (prêmio principal), portanto temos uma combinação
onde
e
, sessenta números tomados seis a seis.
R: Na Mega Sena existem 50.063.860 combinações, caso sejam tomadas seis a
seis.
EXEMPLO 4:
Para resolver um assunto entre 6 professores e 4 alunos, devemos formar
comissões com 3 professores e 2 alunos. Quantas são as possibilidades?
Solução:
Neste exemplo contamos com duas situações, portanto devemos determinar:
Resolvendo:
Assim teremos:
Exercícios
Questão 21:
Uma papelaria tem 8 cadernos de estampas diferentes, e quero comprar 3 de
estampas diferentes. Quantas possibilidades de escolhas eu tenho?
Questão 22:
Quantas comissões de 5 membros podemos formar numa assembléia de 12
participantes?
Questão 23:
Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10
primeiras letras do alfabeto?
Questão 24:
Um indivíduo possui 12 livros diferentes. De quantas formas distintas ele
poderá empacotar tais livros em grupos de 4 livros?
Questão 25:
Em um hospital há apenas 5 leitos disponíveis na emergência. Dez acidentados
de um ônibus chegam e é preciso escolher 5 para ocupar os leitos. Os outros
ficariam em macas, no corredor do hospital. De quantas formas poderíamos
escolher 5 pessoas que ficariam nos leitos?
Questão 26:
Em um curso de língua estrangeira estudam trinta alunos. O coordenador do
curso quer formar um grupo de três alunos para realizar um intercâmbio em
outro país. Quantas possíveis equipes podem ser formadas?
Questão 27:
Uma pequena empresa quer formar um time de futebol e 15 funcionários se
inscreveram, dizendo que aceitam jogar em qualquer posição. De quantas
formas é possível escolher os 11 jogadores do time?
Questão 28:
Uma quituteira faz 10 tipos diferentes de docinhos e 15 tipos de salgadinhos.
Para organizar uma festa, Lúcia vai escolher 6 tipos de docinhos e 10 tipos de
salgadinhos diferentes. De quantas formas ela pode escolhê-los?
Questão 29:
Em uma sala existem 40 pessoas, 18 mulheres e 22 homens. Quantas comissões
podem ser montadas nesta sala contendo 3 mulheres e 5 homens?
Questão 30:
Dezesseis policiais vão sair em duplas para fazer a ronda em vários pontos de
um bairro de uma grande cidade. De quantas formas as duplas poderão ser
organizadas?
Gabarito
Questão 01: 12 modos
Questão 02: 360 maneiras
Questão 03: 20 maneiras
Questão 04: 20 opções
Questão 05: 60 maneiras
Questão 06:
a) 81 números
b) 17 números
Questão 07: 15.600 palavras
Questão 08: 1024 gabaritos
Questão 09: 36.045.979.200 escolhas
Questão 10: 1.000.000s
Questão 11: 10.000 placas
Questão 12:
a) 1
b) 1
c) 720
d) 5040
e) 8
f) 25
g) 4
h) 2
i) 12
j) 120
k) 48
c) 2520
d) 210
e) 3
f) 10
g) 210
h) 1365
Questão 13:
a) 9
b) 30
Questão 14: 120
Questão 15: 60
Questão 16: 2520
Questão 17: 151.200
Questão 18: 5040
Questão 19: 181.440
Questão 20:
a) 120
Questão 21: 56
Questão 22: 792
Questão 23: 210
Questão 24: 495
Questão 25: 252
Questão 26: 4060
Questão 27: 1365
Questão 28: 630.630
Questão 29: 21.488.544
Questão 30: 120
b) 24
c) 6
d) 48
e) 72
Bibliografia
Os textos e os exercícios foram retirados e/ou pesquisados nos seguintes livros:

Telecurso 2000 – Matemática: Volumes 1,2 e 3 Ensino Médio. - São Paulo:
Editora Globo, 2000.

Matemática: Aula por Aula: Volume Único: Ensino Médio / Benigno
Barreto Filho, Cláudio Xavier Barreto. - São Paulo: FTD, 2000.

Matemática: Contexto & Aplicações: Volumes 1, 2 e 3: Ensino Médio. São Paulo: Ática,1999.

Matemática Fundamental, 2º grau: Volume Único / José Ruy Giovanni,
José Roberto Bonjorno, José Ruy Giovanni Jr. – São Paulo: FTD, 1994.

Coleção Base: Matemática: Volume Único / Manoel Paiva. – São Paulo:
Moderna, 1999.

Curso Prático de Matemática: Volumes 1, 2 e 3 Ensino Médio / Paulo
Bucchi. – São Paulo: Moderna, 1998.

Matemática: Temas e Metas: Volumes 1,2 e 3 / Antônio dos Santos
Machado. – São Paulo: Atual, 1986.

Praticando Matemática: 6º ao 9º ano /Álvaro Andrini, Maria José
Vasconcellos. – São Paulo: Editora do Brasil, 2002.

A Conquista da Matemática – Nova: 6º ao 9º ano / José Ruy Giovanni,
Benedito Castrucci, José Ruy Giovanni Jr. – São Paulo: FTD, 1998.
Este conjunto de apostilas foi elaborado pelos
professores da Área de Matemática do
CEEJA Max Dadá Gallizzi,
com base nos livros didáticos descritos na
Bibliografia, ora transcrevendo exercícios e
teorias, ora criando com base nos conteúdos
observados.
Professores
Ednilton Feliciano
Francis Mara C. Sirolli
Paulo Teles de Araújo Jr
Satie Sandra Soares Taira
2010