Movimento em uma dimensão
Curso de Física I
Movimento em 1-D
• Entender o movimento é uma das metas das
leis físicas.
• A Mecânica estuda o movimento e as suas
causas.
• A sua descrição e feita pela Cinemática.
• As suas causas são descritas pela Dinâmica.
• Iniciamos com o movimento em 1-D.
O Paradoxo de Zenão
Zenão de Eléia, o sofista
(490/485 a.C – 430 a.C. )
propôs o movimento como
impossibilidade lógica.
Aquiles (A) em A,
a tartaruga (T) está em B.
Quando A chega em B a
T está em C, reduzindo a
distância sem jamais alcançá-la
Para Zenão o tempo seria
infinito. Isto é um erro!
O tempo t é a soma
t = T+T/2+T/4+T/8 +..
ou
t = T+T( 1/2+1/4+1/8+..)
que é
t = 2T
O deslocamento
O deslocamento de um móvel em uma dimensão é a
diferença entre as posições final, x2 ,e inicial , x1, entre os
instantes t2 e t1, respectivamente.
Exemplo: corrida de 100 metros.
x = x2 - x1
deslocamento
t = t2 – t1
intervalo de tempo
Velocidade média
Velocidade média
de 0s até 5.01s:
x2  x1 x
vm 

t 2  t1 t
vm = 40m / 5.01s = 8.0 m/s
de 5.01s até 10.5s: vm = 60m / 5.49s = 10.9 m/s
Em todo o intervalo,
de 0s até 10.5s:
vm = 100m / 10.5s = 9.5 m/s
Apesar de útil em alguns casos, como esportes,
a velocidade média é um conceito impreciso.
Velocidade instantânea
Velocidade média entre t0 e t0  t
x(t )
x(t )
vm 
 tan 
t
x(t )

vm  0,6 m / s
t
t0
t 0  t
t
Velocidade instantânea
Velocidade média entre t0 e t0  t
x(t )
x(t )
vm 
 tan 
t

x(t )
t
t0
t 0  t
vm  0,7 m / s
t
Velocidade instantânea
Velocidade média entre t0 e t0  t
x(t )
x(t )
vm 
 tan 
t

x(t )
vm  1,1 m / s
t
t 0 t 0  t
t
Velocidade instantânea
Velocidade média entre t0 e t0  t
x(t )
x(t )
vm 
 tan 
t
 x(t )
t
t 0 t 0  t
vm  1,2 m / s
t
Velocidade instantânea
Velocidade média entre t0 e t0  t
x(t )
x(t )
vm 
 tan 
t

t 0t 0  t
vm  1,5 m / s
t
Velocidade instantânea
Velocidade instantânea em t0
x(t ) dx(t )

 tan 
t 0 t
dt
v(t )  lim
x(t )

t0
v(t0 )  1,5 m / s
t
Velocidade instantânea
Conceito
Derivada
x dx

t 0 t
dt
vt   lim
Exemplo:
Na corrida, de 100 m,
a velocidade em t = 2s é
90 m
v( t  2s) 
 8 .0 m s
11.2s
Geometricamente
Tangente
Velocidade instantânea
A velocidade instantânea é a derivada da posição em
relação ao tempo
dx(t )
x(t  t ) x(t )
 lim
t 0
dt
t
x(t  t )
x(t )
t t
Algumas derivadas importantes
f (t )
a f (t )  b g (t )
a  const.
t
n
sin t
cos t
e
t
ln  t
df (t ) / dt
a df (t ) / dt  b dg (t ) / dt
0
nt
n 1
 cost
  sin t
e
t
t 1
Velocidade instantânea
Um caso particular; a posição é uma função linear do
tempo
x(t  t )  x(t )
x(t )  a  bt  v(t ) 
b
t
x(t )
v(t )
t
t  t
t
t  t
O cálculo de x(t) a partir de v(t)
Este é o problema inverso. Considere inicialmente o caso
de velocidade constante. Então,
x  x0  v (t  t0 )
Note que v( t - t0 ) é a área sob a curva da velocidade v em
função do tempo.
Este é um resultado geral como veremos a seguir. Para
demonstrá-lo usaremos que para intervalos de tempo muito
curtos podemos escrever
x  v (t ) t
onde v(t) é a velocidade instantânea em t.
O cálculo de x(t) a partir de v(t)
Este resultado pode ser visto graficamente
x(t )
x(t  t )  x(t )  x
x(t )
t
dx
t
t  0  x  dx  v(t ) dt
O cálculo de x(t) a partir de v(t)
xi  v(ti )t

xi
x(t )
x(t )  x(t0 ) 
x 
x(t )  x(t0 )
t0
ti
t
 x 
i
i
 v(t )t
i
i
O cálculo de x(t) a partir de v(t)
Se aplicada ao gráfico da
velocidade em função do
tempo, a relação anterior
descreve a área sob a curva
v(t )
t  t0
t 
N
x  x0  v1  v2   vN t
t
t0
ti
t
v(t )
N
x  x0   vi t
i 1
No limite
N  e t0
t
x  x0   vt dt 
t0
t0
t
O cálculo de x(t) a partir de v(t)
dx(t )
v(t ) 
dt
t
e
x(t )  x0   v(t ) dt 
t0
A velocidade é obtida derivando-se a posição;
geometricamente, calcula-se o coeficiente angular da
reta tangente à função posição no ponto considerado.
A posição é obtida pela anti-derivação , ou
integração, da velocidade; geometricamente,
calcula-se a área sob a curva da função velocidade.
Algumas integrais importantes
f (t )
a f (t )  b g (t )
a  const.
t
n
sin t
cos t
e
t
t
1
F (t )
a F (t )  b G(t )
at
/ n 1
 cos t / 
sin t / 
t
n 1
e /
t
ln | t |
Aceleração média
Aceleração média
A corredora acelera uniformemente
até 10 m/s em t = 4s. Mantem a
velocidade nos próximos 4.7s e
reduz a velocidade para 8m/s.
v2  v1 v
am 

t 2  t1 t
de 0s até 4s: am = 10m/s / 4s = 2.5 m/s2
de 4s até 8s: am = 0m/s / 4s = 0 m/s2
de 8s até 12.7s: am = -2m/s / 4.7s = -0.42 m/s2
Aceleração instantânea
Aceleração média entre t0 e t0  t
v(t )
v(t )
am 
 tan 
t

v (t )
t
t0
t 0  t
t
Aceleração instantânea
Aceleração instantânea em t0
v(t )
v(t ) dv(t )
a(t )  lim

 tan 
t 0 t
dt

t0
t
Aceleração instantânea
A aceleração instantânea é a derivada da velocidade em
relação tempo
dv(t )
v(t  t )  v(t )
 lim
t 0
dt
t
v(t  t )
v(t )
t t
Aceleração instantânea
Conceito
v dv
a  lim

t 0 t
dt
Gráficos
Derivada
Segunda
derivada
Note que
dv d  dx  d x
a
   2
dt dt  dt  dt
2
Exemplo:
Na corrida de 100 m,
a aceleração em t = 2s é
a ( t  2s) 
5.9 m s
 2.2 m s 2
2.7s
Aceleração constante
Se a aceleração é constante
vt   vt0 
a  am 
t  t0
Se t0 = 0 e v(t0) = v0, temos que a velocidade fica
v  v0  at
Note que neste movimento a
velocidade média é dada por
x  x0 v0  v
vm 

t
2
Como
x  x0  vmt
temos
at 2
x  x0  v0t 
2
Jogo de Boliche
Jogador joga bola com v0 = 2m/s
e aceleração a = -0.2m/s2.
Qual a distância percorrida pela
bola até parar?
x  x0 
usando
v 2  v 20
2a
temos
2
2

0 m s  2 m s
x  0m 
 10m
2

2  0.2 m s
e

2
2

0 m s   2 m s 
t
 0.2 m s
2
 10s
Resumo, aceleração constante
As equações de movimento para o caso de
aceleração constante são:
v  v0  at
1 2
x  x0  v0t  at
2
v 2  v02  2a x  x0 
1
x  x0  v0  v t
2
Aceleração da Gravidade
Galileo, o primeiro físico
moderno, estudou a queda dos
corpos. Refutou Aristóteles.
Usando experimentos mostrou
que os corpos caem com a
mesma velocidade e
independente de sua massa.
x ~ t2 , v ~ t ; consequências
de uma aceleração constante!
Aceleração da Gravidade
Mas... devemos notar que
há, em geral, outras forças
atuando no corpo considerado,
o que pode frustrar uma
experiência se não formos
suficientemente cuidadosos.
a resistência do
ar!!
Corpos em queda livre
Para cima
diminuindo v
Para baixo
Bola para
Bola jogada
para cima
v aumenta
Resumo, aceleração constante
As equações de movimento para o caso de
aceleração da gravidade -g são (ao longo do eixo y):
v  v0  gt
1 2
y  y0  v0t  gt
2
v 2  v02  2 g  y  y0 
1
y  y0  v0  v t
2
Exemplo
Um corpo cai livremente;
calcule a sua posição e
velocidade em t = 1.0, 2.0 e
3.0 s.
y   gt2 / 2 e v  gt
Em t = 1.0
y = - 4.9 m e v = -9.8m/s
Continuando temos
O cálculo de v(t) a partir de a(t)
Este é novamente o problema inverso. Considere
inicialmente o caso de aceleração constante. Então,
v  v0  a (t  t0 )
Note que a( t - t0 ) é a área sob a curva da aceleração a em
função do tempo.
Este também é um resultado geral como veremos a seguir.
Para demonstrá-lo usaremos que para intervalos de tempo
muito curtos podemos escrever
v  a(t ) t
onde a(t) é a aceleração instantânea em t.
O cálculo de v(t) a partir de a(t)
Este resultado pode ser visto graficamente
v(t )
v(t  t )  v(t )  v
v(t )
t
dv
t
t  0  v  dv  a(t ) dt
O cálculo de v(t) a partir de a(t)
vi  a (ti )t
vi
a(t )
v 
v(t )  v(t0 )
t0
ti
t

v(t )  v(t0 ) 
 v 
i
i
 a(t )t
i
i
O cálculo de v(t) a partir de a(t)
Se aplicada ao gráfico da
aceleração em função do
tempo, a relação anterior
descreve a área sob a curva
a(t )
t  t0
t 
N
v  v0  a1  a2   aN t
N
v  v0   ai t
i 1
No limite
N  e t0
t
t0
t
t0
t
a(t )
t
v  v0   at  dt 
t0
O cálculo de v(t) a partir de a(t)
dv(t )
a(t ) 
dt
t
e
v(t )  v0   a(t ) dt 
t0
A aceleração é obtida derivando-se a velocidade;
geometricamente, calcula-se o coeficiente angular da
reta tangente à função velocidade no ponto
considerado.
A velocidade é obtida pela anti-derivação , ou
integração, da aceleração; geometricamente, calculase a área sob a curva da função aceleração.