FORÇA GRAVITACIONAL
A força gravitacional é a força mútua de atracção entre dois corpos quaisquer do
Universo
A lei da gravitação de Newton afirma que toda a partícula do Universo atrai qualquer
outra partícula com uma força que é directamente proporcional ao produto das
massas das partículas e inversamente proporcional ao inverso do quadrado da
distância entre elas.

m1 m 2 
Fg  G
u
2
r
onde G é a constante gravitacional universal
No SI G  6 . 67  10  11 Nm 2 / kg 2
A MASSA INERCIAL que aparece na segunda lei de Newton e que tem a ver com a
resistência ao movimento e a MASSA GRAVITACIONAL que aparece na lei da
gravitação universal são as mesmas.
A força gravitacional entre duas partículas é
atractiva


F12   F 21

F 21

F12
1
ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE
Podemos reescrever a lei da gravitação Universal de
Newton usando a segunda lei de Newton


F g  mg u

Fg
onde g é a aceleração da gravidade
Comparando com a expressão da lei da
gravitação de Newton

mM
mg u  G
2
r
T

u
obtemos
g G
MT
r
2
O peso de um corpo na Terra é a força com
que a Terra atrai a massa com que esse
corpo é feito.
Foi Newton que esclareceu a
diferença entre a MASSA e o PESO
de um corpo
2
EXEMPLOS DE FORÇA GRAVITACIONAL
r
3
CENTRO DE MASSA
2
d  dx  d x
a


2


dt
dt  dt  dt
dv
A aceleração instantânea de uma partícula é
SISTEMA DE 2 PARTÍCULAS
F12
F1
F21
F2
Para o sistema de duas partículas, temos



F1  F 2  F

onde F é a força externa resultante que actua sobre o sistema
2
 m1 a1  m 2 a 2  F
d
2
 m 1 x1  m 2 x 2 
dt
2
 F

(1)
m1
d x1
dt
2
2
 m2
d x2
dt
2
 F

4
CENTRO DE MASSA (cont)
Definimos
xCM 
m1 x1  m2 x2
m1  m2
Substituindo na equação (1)
m1 x1  m 2 x 2  ( m1  m 2 ) x CM
portanto
d

2
 m 1 x1  m 2 x 2 
dt
2
 F
(1)
obtemos
2
F  ( m1  m 2 )
d x CM
dt
2
 ( m 1  m 2 ) a CM
2
ou
F M
d x CM
dt
2
 Ma CM
onde M=m1+m2 é a massa total do sistema
O sistema se comporta como se toda massa estivesse concentrada no ponto xCM
(centro de massa) e a força externa agisse sobre ele.
xCM
M
2

F
F M
d x CM
dt
2
5
Exemplo 18. Calcular o centro de massa dos seguintes sistemas de duas partículas.
xCM 
(a)
m1 x1  m2 x2
m1  m2
x1
x2
xCM
x CM 
mx 1  mx 2
m1  m 2
x
 x CM 
2m
x1  x 2
2
(b)
x2
x1  x CM
x
m 1  m 2
muito pequeno
x CM 
m 1 x1  m 2 x 2
m1 m2

m 1 x1

m1
muito pequeno
x CM  x1
6
EXEMPLO
Centro de massa
7
2
No caso particular em que
F 0
a
d x
dt

dxCM
dt
2
0
 vCM  cte.
m = 80 kg
m = 60 kg
Exemplo 19. Dois patinadores no gelo (sem atrito
com o chão) encontram-se inicialmente a uma
distância de 12 m. Eles puxam as extremidades de
uma corda até se encontrarem. Em que ponto eles
se encontram? O resultado depende das forças
exercidas por eles?
Só há forças internas ao sistema  o centro de massa tem velocidade constante.
xCM 
m1 x1  m2 x2
m1  m2

x CM 
0  80 kg  12 m  60 kg
80  60
m  5 .1 m
Os patinadores se encontrarão a 5.1 m da posição inicial do patinador da esquerda.
O resultado não depende das forças exercidas por eles uma vez que são forças internas
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CENTRO DE MASSA PARA N PARTÍCULAS NUMA DIMENSÃO
xCM 
m1 x1  m2 x2    mN xN
m1  m2    mN

1
N
mx

M
i
i
i 1
CENTRO DE MASSA PARA N PARTÍCULAS EM TRÊS DIMENSÕES
ou

1
rCM 
M
N


m i ri
i 1
CENTRO DE MASSA PARA CORPOS CONTÍNUOS E UNIFORMES
Se um corpo consiste de uma distribuição contínua de massa, podemos dividi-lo em
porções infinitesimais de massa dm e a soma transforma-se numa integral:
onde
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A posição do centro de massa de um sistema pode ser determinada como a
posição média da massa do sistema
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