I- INTRODUÇÃO
I- INTRODUÇÃO
Há quem defenda que a teoria das probabilidades,
ligada ao jogo, é anterior a Cristo. Gregos e Romanos,
que sendo viciados dos dados, preocupavam-se com
a "forma" de ganhar. O imperador Claudius (sec I)
escreveu um livro : "Como ganhar nos dados". Mas o
conceito matemático é mais recente e nasce com a
correspondência trocada entre Blaise Pascal e Fermat
acerca da possibilidade do ganho nos jogos.
Borel (1871-1956) e Henri Lebesgue(1875-1941)
foram responsáveis pelo seu arranque sistemático.
2
• Inicialmente o conceito de probabilidade era de
caráter frequentista, isto é, associando a
probabilidade de um acontecimento à frequência
com ele se repetia, quando observadas um grande
número de experiências.
• Não é difícil dar conta que tal conceito pecava for
falta de rigor. Basta pensar no quão relativo é dizerse :"um grande número de experiências".
• Em 1933 o russo Kolmogorov construiu uma
axiomática para o cálculo de probabilidades
convertendo-a numa teoria matemática e
transformando-a na ciência que hoje é.
3
• Os objetivos deste curso são:
1 - Apresentar uma introdução geral à probabilidade
e estatística usando os conhecimentos prévios de
cálculo e análise de sinais procurando relacionar as
definições e conclusões dos experimentos
científicos e de engenharia com situações reais,
estimulando o uso da intuição, da observação e da
dedução para extrair conclusões válidas e tomar
decisões razoáveis com base na análise de dados.
2 - Introduzir o conceito de processos estocásticos
para modelar fenômenos em função do tempo,
apresentando diversas aplicações.
4
• MODELOS DETERMINÍSTICOS
• MODELOS PROBABILÍSTICOS
EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DE PROCESSOS ESTOCÁTICOS
1. TRÁFEGO TELEFÔNICO
QUAL DEVE SER O VALOR DE N PARA QUE, EM MÉDIA, 99,9% DAS
CHAMADAS DE A PARA B NÃO DEIXEM DE SER ATENDIDAS ?
N CIRCUITOS
M TERMINAIS
CENTRAL
CENTRAL
A
B
5
SITUAÇÃO:
Uma população de usuários solicita
em diferentes instantes de tempo
um determinado serviço.
MODELO: tráfego de entrada, fila
posto de serviço, etc.
Teoria de filas
2- RUÍDO TÉRMICO
3- SÉRIE TEMPORAIS
Previsão de valores futuros baseados no valor presente e passados
de um conjunto de variáveis.
Onde se aplica:
Vazão de um rio, demanda de
energia elétrica, inflação, etc
6
4- DESVANECIMENTO DE SINAIS
RÁDIOELÉTRICOS
DESVANECIMENTO DOS SINAIS
RADIOELÉTRICOS
ENLACE RADIOELÉTRICO
5- SISTEMA DE COMUNICAÇÃO
DIGITAL
6- OUTRAS APLICAÇÕES
• Modelamento de canais de
propagação para comunicação
móveis e fixas.
• Qualidade de serviço em redes
de telecomunicações.
• Confiabilidade de sistemas
• Identificação, estimação
• etc
7
TEORIA DAS PROBABILIDADES
MODELO PROBABILÍSTICO
1. ESPAÇO DE AMOSTRAS
1. ESPAÇO DE AMOSTRAS
2. ÁLGEBRA DE EVENTOS
3. MEDIDA DE PROBABILIDADE
É O CONJUNTO FORMADO POR
TODOS OS RESULTADOS POSSÍVEIS
DE UM EXPERIMENTO ALEATÓRIO.
1. ESPAÇO DE AMOSTRAS
RELAÇÃO ENTRE O FENÔMENO
FÍSICO E O MODELO MATEMÁTICO
EXPERIÊNCIA:
ABRIR UM LIVRO E OBSERVAR A
PRIMEIRA LETRA IMPRESSA.
S = { a, b, c, . . . , z }
observar se é vogal ou consoante
S = { vogal, consoante }
CONTAR O NÚMERO DE CHAMADAS QUE
CHEGAM A UMA CENTRAL TELEÔNICA
POR MINUTO NO HORÁRIODE DE
10:00 AS 12:00 H.
S = { 100, 97, 94, ... }
8
2. ÁLGEBRA DE EVENTOS
EVENTO: SUBCONJUNTO DO ESPAÇO DE AMOSTRAS QUE SATISFAZ UMA DADA
CONDIÇÃO
A = { s : uma dada condição c é satisfeita }
S = { s1 , s2 , s3 . . . , sK }
AS OPERAÇÕES COM EVENTOS OBEDECEM AS MESMAS REGRAS DAS
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS.
1. IGUALDADE A = B
2. INCLUSÃO A  B, B  A
3. UNIÃO
A  B
4. INTERSEÇÃO A  B
5. COMPLEMENTO Ā
6. DIFERENÇA
A-B
7. EVENTO NULO 
8. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
OU DISJUNTOS
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PROPRIEDADES
1. COMUTATIVA: A  B = B  A e A  B = B  A
2. ASSOCIATIVA : A  ( B  C) = (A  B)  C e (A  B)  C = A  (B  C)
3.DISTRIBUTIVA: A  (B  C) = (A  B)  (A  C) e A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
4. REGRA DE DEMORGAN : (A  B)C = AC  BC
e (A  B) C = AC  BC
CLASSE DE EVENTOS
A CLASSE OU COLEÇÃO  DE EVENTOS É UMA CLASSE QUANDO SATIZFAZ:
SE A e B SÃO EVENTOS, ENTÃO
1. SE A  
Ā
A  
  (A  B)  
2. B   
PORTANTO  É FECHADA RELATIVAMENTE ÀS OPERAÇÕES DE
COMPLEMENTAÇÃO E UNIÃO.
PROPRIEDADES:
A  
  (A  B)  
B
A  
  (A - B)  
B
SE   
S
10
-ALGEBRA DE EVENTOS
UMA ÁLGEBRA DE EVENTOS  É UMA -ÁLGEBRA QUANDO SATISFAZ A
SEGUINTE CONDIÇÃO:

Ai  ,
i  1,2,3,... 
 A 
i
i 1
DADA UMA CLASSE QUALQUER DE EVENTOS C, HÁ PELO MENOS UMA -ÁLGEBRA
CONTENDO C, QUE É CONSTITUÍDA POR TODOS OS POSSÍVEIS SUBCONJUNTOS DE S.
É POSSÍVEL MOSTRAR QUE TODAS AS -ÁLGEBRAS CONTENDO C É TAMBÉM UMA
-ÁLGEBRA.
DEFINIÇÃO
A MENOR -ÁLGEBRA QUE CONTÉM TODOS OS EVENTOS DE UMA DADA CLASSE C
É REPRESENTADA POR A(C), QUE É UMA -ÁLGEBRA GERADA POR C.
EXEMPLO: LANÇAMENTO DE UM DADO.
S = { f1 , f2 , f 3 , f4 , f5 , f 6 }
ESPAÇO DE AMOSTRAS
SEJA C A COLEÇÃO DE EVENTOS
C = [ { f1 } , { f2 , f 4 , f6 } , { f1 , f 3 , f 5 } , S ,  ]
11
ESTA COLEÇÃO NÃO CONSTITUI UMA ALGEBRA, POIS VIOLA A
DEFINIÇÃO
{ f1 }  { f2 , f4 , f6 } = { f1 , f2 , f4 , f6 }  C
{ f1 }c = { f2 , f3 , f4 , f5 , f6 }  C
ENTÃO:
[ , S , { f1 , f3 , f5 }, { f2 , f4 , f6 } , { f1 } , { f1 , f2 , f4 , f6 } , { f2 , f3 , f4 , f5 , f6 } ,
{ f3 , f5 } ] É FECHADA EM RELAÇÃO À COMPLEMENTAÇÃO E À UNIÃO.
PORTANTO É UMA ÁLGEBRA. NA REALIDADE, ESTA COLEÇÃO É A
MENOR -ÁLGEBRA A(C) DEFINIDA POR C POIS NENHUM DOS
TRÊS ELEMENTOS ACRESCENTADOS PODERIA SER RETIRADO SEM
VIOLAR A DEFINIÇÃO DE ÁLGEBRA. OBSERVA-SE QUE SE A
COLEÇÃO CONTÉM UM NÚMERO FINITO DE ELEMENTOS E É UMA
ÁLGEBRA ENTÃO SERÁ TRIVIALMENTE UMA -ÁLGEBRA
12
EXEMPLO: REDE DE COMUNICAÇÃO COM 4 TERMINAIS ( a, b, c, d ) E
5 TRONCOS (1, 2, 3, 4, 5 ) E UMA CHAVE QUE ASSUME 3 POSIÇÕES ( I, II, III)
b
1
4
I
a
II
III
2
c
3
5
d
A EXPERIÊNCIA CONSISTE EM OBSERVAR A SITUAÇÃO DA REDE EM
UM DADO INSTANTE, VERIFICANDO A POSIÇÃO DA CHAVE E OS ESTADOS
DOS TRONCOS.
1. REPRESENTAÇÃO DO ESPAÇO DE AMOSTRAS
CADA TRONCO PODE ESTAR EM: “OPERAÇÃO” OU “NÃO OPERAÇÃO”
SEJA i UM PONTO GENÉRICO DE S , ENTÃO:
i = { C, T1 , T2 , T3, , T4 ,T5 } ; C  { I , II , III }; Ti ={ 0 , 1 } , i = 1, 2, 3, 4, 5.
NÚMERO TOTAL DE PONTOS EM S :
N=3x
5
2 = 96
13
2. DETERMINAR O NÚMERO DE PONTOS AMOSTRAS PARA OS EVENTOS
2.1. A = {  : a e c podem comunicar-se }
A1 = { I , 1 , x , x , 1 , x };
A = A 1  A2  A3
A2 = { II , x , 1 , x , x , x };
N = 8 + 16 + 8 = 32
A3 = { III , x , x , 1 , x , 1 };
( EVENTOS DISJUNTOS )
2.2. B = {  : b e c podem comunicar-se }
4
B = { x , x , x , x , 1 , x }; N = 3 x 2 = 48
2.3. C = {  : a chave está na posição I }
b
C = { I , x , x , x , x , x }; N = 2 5 = 32
1
4
I
a
II
III
2
c
3
5
d
14
3. MEDIDA DE PROBABILIDADE
A CADA EVENTO A ASSOCIA-SE UM NÚNERO P(A) CHAMADO DE PROBABILIDADE DO EVENTO A. ESTE NÚMERO É ESCOLHIDO TAL QUE AS SEGUINTES
CONDIÇÕES SÃO SATISFEITAS :
AXIOMAS DA TEORIA DA PROBABILIDADE
1. P(A) > 0 ;
2. P( S ) = 1 ;
3. SE A  B =  , ENTÃO P(A+B ) = P(A) + P(B)
PROPRIEDADES
1. SE Ai  Bj =  ;
i, j = 1, 2, 3, . . . , n , i  j ,
n
n
 A )   P( A )
P(
i
i 1
i
i 1
2. P( Ā ) = 1 - P( A )
3. P(  ) = 0 , ENTÃO P( S ) = 1
4. P( A ) < 1
5. P( A  B) = P( A ) + P( B ) - P( AB )
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Probabilidades de eventos
1) Evento complementar:
P ( A )  1  P ( A)
2) Propriedade da soma:
P ( A  B )  P ( A)  P ( B )  P ( A  B )
3) Propriedade da soma para eventos mutuamente exclusivos:
P ( A  B )  P ( A)  P ( B )
4) Propriedade do produto:
P ( A  B )  P ( A)  P ( B / A)
5) Propriedade do produto para eventos independentes
P ( A  B )  P ( A)  P ( B )
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Exemplo
• Lançar um dado e observar a face voltada para
cima. Suponha que o dado seja perfeitamente
equilibrado e o lançamento imparcial.
• Espaço amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Probabilidades: P(1) = P(2) = ... = P(6) = 1/6
17
Exemplo
• Seja um sistema formado por 3 componentes, ligados
conforme o esquema abaixo. Considerando que a
probabilidade de cada componente funcionar é de 0,9, qual
a probabilidade do sistema funcionar? (O sistema funciona se
houver uma ligação entre A e B. Admita independência entre os
componentes)
C2
A
C1
B
C3
18
Exemplo
C2
A
C1
B
C3
P(Ci) = 0,9, i = 1, 2, 3
• P(sistema funcionar) = P{(C1 C2)  (C1 C3)}=
= P(C1 C2) + P(C1 C3)  P(C1 C2  C3) =
= (0,9)(0,9) + (0,9)(0,9)  (0,9)(0,9) (0,9) =
= 0,891
19
Espaço amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados de um
experimento.O espaço amostral é denotado por S.
Elementos ou pontos no espaço amostral são os resultados individuais de um
experimento. O conjunto de elementos do espaço amostral é denotado por
Elementos são mutuamente exclusivos ou disjuntos. O número de pontos no espaço
amostral pode ser:
finito quando o espaço amostral é discreto e finito
infinito contável quando o espaço amostral é discreto e infinito
infinito incontável quando o espaço amostral é contínuo
evento é um subconjunto de S. Será denotado por letras maiúsculas. Eventualmente
serão consideradas operações de união, intersecção e complemento de eventos.
ocorrência do evento A se dá quando ocorre algum ponto em A.
20
Probabilidade
• Mensuração da chance de ocorrência de
fenômenos aleatórios, mostrando como
poderão ocorrer os fatos.
• Base teórica para a análise inferencial.
21
Probabilidade Intuitiva
Este resultado pode ser estendido para uma interpretação estatística de
probabilidade como sendo a frequência relativa de ocorrência do evento.
22
Probabilidade Axiomática
As noções intuitivas de probabilidade permitem tratar
problemas relativamente simples, em especial quando temse igualdade de condições para todos os eventos.
No entanto, freqüentemente deseja-se tratar situações onde
alguns eventos não são "honestos". Adicionalmente, em
alguns casos não se pode enumerar todos os possíveis
resultados de um experimento. A formulação axiomática da
teoria da probabilidade simplifica o tratamento nestes casos.
23
Axiomas da Probabilidade
Para qualquer evento A, associa-se um número P(A),
chamado de probabilidade do evento A. Este número
satisfaz as seguintes três condições denominadas de
axiomas da probabilidade.
(i) P( A)  0 (P robabili
dadeé um número não negativo)
(ii) P()  1 (P robabili
dadedo espaçode amostras é unitário)
(iii) Se A  B   , então P( A  B)  P( A)  P( B).
Note que (iii) estabelece que se A e B são eventos
mutuamente exclusivos, a probabilidade da união é igual
a soma de suas probabilidades)
24
Probabilidade
universo do estudo (população)
Hipóteses, conjeturas, ...
Resultados ou
dados observados
O raciocínio dedutivo da probabilidade
25
Exemplo de um
experimento aleatório
• Selecionar uma pessoa ao acaso e observar se
é homem ou mulher.
• Resultados possíveis:
homem, mulher
• Espaço amostral = {homem, mulher}
26
Probabilidade
de um resultado
50% homens
50% mulheres
• Qual a probabilidade de
homem e de mulher?
• P(homem) = 0,5
• P(mulher) = 0,5
• A probabilidade é um número
entre 0 e 1, sendo que a soma
das probabilidades de todos os
resultados possíveis deve ser
1.
27
Modelo de probabilidades
POPULAÇÃO
Opinião a respeito
do governo
20%
50%
AMOSTRA:
1 pessoa observada
ao acaso
Modelo probabilístico
30%
bom/ótimo
regular
ruim/péssimo
Resultado
bom/ótimo
regular
ruim/péssimo
Probab.
0,20
0,30
0,50
28
Evento
• Evento = conjunto de resultados possíveis
• Espaço amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Probabilidades: P(1) = P(2) = ... = P(6) = 1/6
• Eventos: A = número par,
B = número menor que 3
A = {2, 4, 6}
B = {1, 2}
P(A) = 1/2
P(B) = 2/6 = 1/3
29
Operações com eventos
A

não A
A
P( A )  1  P( A)
30
Operações com eventos

A
AB
B
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)
31
Revisão
de
Análise
Combinatória
A Análise combinatória estuda os diversos procedimentos que
possibilitam a construção de grupos diferentes formados por um
número finito de elementos de um conjunto sob certas
circunstâncias.
Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com m
elementos e os grupos formados com elementos de Z terão p
elementos com p< m, isto é, p será a taxa do agrupamento.
No fundo com o uso da Análise combinatória teremos métodos
que permitem contar, de forma indireta, os elementos desses
conjuntos. Vamos analisar alguns desses agrupamentos:
32
Fatorial
Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n! ) , como
sendo
n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1 para n  2.
E por definição :
Para n = 0 , teremos : 0! = 1.
Para n = 1 , teremos : 1! = 1
Exemplos:
7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 2940
3! = 3.2.1 = 6
Muitas vezes utilizamos uma forma mais sintética para nos
facilitar os cálculos:
11! =11.10.9.8.7!
6! = 6.5.4!
33
Princípio fundamental da contagem - PFC
Se determinado acontecimento ocorre em n etapas
diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras
diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim
sucessivamente, então o número total T de maneiras de
ocorrer o acontecimento é dado por
T = k1. k2 . k3 . ... . kn
34
Permutações
Permutações de n elementos distintos são os agrupamentos
formados com todos os n elementos e que se distinguem uns dos
outros pela ordem de seus elementos.
Exemplo: com os elementos 1,2,C são possíveis as seguintes
permutações:12C, 1C2, 21C, 2C1, C12 e C21.
O número total de permutações simples de n elementos distintos é
dado por n!, isto é
Pn = n!
no exemplo anterior 3!=3.2.1=6
Numa fila de 6 pessoas de quantas formas diferentes se podem
organizar ?
P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
35
Arranjos
Dado um conjunto com n elementos , chama-se arranjo simples de
taxa k , a todo agrupamento de k elementos distintos dispostos
numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de
colocação dos elementos. Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos:
a) arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb.
b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba.
Representando o número total de arranjos de n elementos
tomados k a k (taxa k) por An,k, teremos a seguinte fórmula:
An ,k
n!

( n  k )!
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Combinações
Denominamos combinações simples de n elementos distintos
tomados k a k (taxa k) aos subconjuntos formados por k
elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados.
Observe que duas combinações são diferentes quando possuem
elementos distintos, não importando a ordem em que os
elementos são colocados.
Exemplo:
No conjunto E= {a,b,c,d} podemos considerar:
a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad, bc, bd, cd.
b) combinações de taxa 3: abc, abd, acd, bcd.
c) combinações de taxa 4: abcd.
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Representando o número total de combinações de n
elementos tomados k a k (taxa k) por Cn,k, teremos a
seguinte fórmula:
Cn ,k
n!

k!(n  k )!
É fácil mostrar que
n  n 
   

k  n  k 
38
Exemplo:Um campeonato de atletismo consta de 10 provas
diferentes cada equipe tem de concorrer a 7. De quantas
formas pode uma equipe participar ?
Solução:
Observe que a ordem de escolha das provas não altera a
forma de concorrer. Portanto trata-se de um problema de
combinação de 10 elementos 7 a 7.
Aplicando simplesmente a fórmula chegaremos a:
C15,10 = 15! / [(15-10)! . 10!] = 15! / (5! . 10!) =
15.14.13.12.11.10! / 5.4.3.2.1.10! = 3003
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