a Lista - Gabarito das questões corrigidas
4¯
MA151
1¯o Sem. 2001
Seção 2.5 – 40 Encontre a constante c que torna g contı́nua em (−∞, +∞)
2
x − c2 se x < 4
g(x)
cx + 20 se x ≥ 4
Como a função g é definida por partes e em cada trecho é constituı́da por polinômios, é contı́nua
para todo x 6= 4, independentemente do valor assumido pela constante c.
Para que g seja contı́nua em x = 4, devemos impor que os limites laterais, quando x tende a 4 pela
direita e pela esquerda, sejam iguais. Assim, como
lim g(x) = lim+ cx + 20 = 4c + 20
x→4+
x→4
e
lim− g(x) = lim− x2 − c2 = 16 − c2
x→4
x→4
devemos impor que
4c + 20 = 16 − c2 ⇔ c2 + 4c + 4 = 0 ⇔ (c + 2)2 = 0 ⇔ c = −2
Seção 2.6 – 52
(a) Um tanque contém 5000 litros de água pura. Salmoura contendo 30g de sal por litro de água é
bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 25 l/min. Mostre que a concentração do sal
após t minutos (em gramas por litro) é
C(t) =
30t
200 + t
A concentração de sal em gramas/litro após t minutos é dada pela razão entre a quantidade de
sal após t minutos e a quantidade de lı́quido após t minutos. Então, como existem inicialmente
5000 litros de água pura e salmoura (30 g/l) é bombeada a 25 l/min temos
C(t) =
30 × 25 × t
30t
=
5000 + 25t
200 + t
(b) O que acontece com a concentração quando t → ∞?
30t
= lim
t→∞ 200 + t
t→∞
lim C(t) = lim
t→∞
30
= 30
+1
200
t
Em outras palavras, a concentração limite da mistura será a da salmoura.