Medida Geral de Desigualdade S
Na década de 70 ocorreu um grande crescimento da literatura sobre distribuição
da renda e medidas de desigualdade, e vários autores apontavam para uma
medida geral de desigualdade expressa da seguinte maneira:
"
1−ε #
n 1
1 X xi
S=
1−
ε (1 − ε)
n i=1 µ
onde xi é a renda da i-ésima pessoa, µ é a média da distribuição, e ε é um
parâmetro de aversão à desigualdade. A medida S pode ser expressa também em
função das frações da renda total apropriadas por cada indivíduo, yi = xi /nµ.
"
#
n
1 X 1−ε
1
1− ε
y
S=
ε (1 − ε)
n i=1 i
Podemos encontrar diversas das medidas de desigualdade usuais através da escolha apropriada do parâmetro ε.
◦ ε = −1
S
=
2S
=
=
=
"
#
2
1 1 X xi
−1
2 n
µ
P 2
1
xi − µ2
n
µ2
2
σ
µ2
C2
Assim, vemos que quando ε = −1, a medida S corresponde a uma transformação
monotônica do Coeciente de Variação C = σµ .
◦ ε→0eε→1
Aplicando a regra de L'Hôpital, obtemos
1
lim S
=
lim S
=
lim S
=
ε→0
ε→1
" #
1−ε
1X
xi
xi
1
·
ln
1 − 2ε n
µ
µ
X
X
1
xi xi
ln
=
yi ln nyi
n
µ
µ
1X
1 X xi
ln
=−
ln nyi
−
n
µ
n
Concluímos que
lim S
= T
lim S
= L
ε→0
ε→1
◦ Medida S e o índice de Atkinson
A fórmula do índice de Atkinson é
"
1X
A=1−
n
Notando que
Atkinson
1
n
P xi 1−ε
µ
xi
µ
1
1−ε # 1−ε
= 1 − ε (1 − ε) S , podemos reescrever o índice de
1
A = 1 − [1 − ε (1 − ε) S] 1−ε
Vemos, portanto, que para ε > 0, a família de medidas de desigualdade de
Atkinson é uma transformação monotonicamente crescente de S .
Sendo assim, o Coeciente de Variação, as medidas T e L de Theil e o índice de
Atkinson são todos casos particulares da medida S .
Quando a população encontra-se dividida em grupos, é possível expressar a
medida S como a soma da desigualdade entre os grupos e uma soma ponderada
das desigualdades dentro dos grupos.
X nh µh 1−ε
S = Se +
Sh
N
µ
h
onde N é o tamanho da população, nh é o tamanho do h-ésimo grupo, µh é a
média da distribuição do grupo h, Sh é a medida S calculada para a distribuição
do grupo h e Se é o componente entregrupos calculado da seguinte forma:
"
1−ε #
1
1 X
µh
Se =
1−
nh
ε (1 − ε)
N
µ
h
2
Dizemos, então, que a medida S se trata de uma medida aditivamente decomponível.
Note que quando os grupos são iguais entre si, de forma que temos µh = µ para
todo h, o componente entregrupos será nulo. Além disso, os Sh serão iguais
entre si e teremos S = Sh , isto é, a medida de desigualdade na população é
igual à medida de desigualdade dentro de qualquer grupo. Isto mostra que a
simples replicação de uma distribuição não altera o valor de S .
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