Acrópole, Atenas, Grécia
Euclides viveu na Grécia
no tempo de Ptolomeu I,
por volta de 300 aC.
Escreveu os ELEMENTOS, um livro que
reuniu todo o conhecimento matemático
Grego até aquela época.
Os Elementos foi o
primeiro livro científico
escrito e se tornou o
paradigma para muito do
que se escreveu em
ciência, desde então.
O livro tornou-se famoso ainda na época
de Euclides e veio a ser o segundo livro
mais editado depois da Bíblia. Foi
considerado livro essencial na formação
intelectual durante séculos.
Os Elementos é composto de 13 volumes.
Euclides baseou sua obra em
um conjunto de 5 axiomas, os
quais passaremos a apresentar.
Axioma I: Pode-se traçar uma
única reta ligando dois pontos
Axioma II: Pode-se continuar de
uma única maneira uma reta
(ligando dois pontos) em uma reta
infinita.
Axioma III. Pode-se
traçar um círculo
com qualquer centro
e qualquer raio.
Axioma IV. Todos os ângulos
retos são iguais.
Axioma V
m
b
n
a
a + b < 180o
mn
Axioma V – Uma proposição equivalente
a + b < 180o
mn=
mn
a + b = 180o
Axiomas Implícitos
1 -
Retas são ilimitadas
2 –
Retas são contínuas
3 –
Axioma de Pasch
Proposição 16 (Teorema do ângulo externo)
a
b>a
b
BM = MC
AM = ME
AMB =CME
Prova
ABM = ECM
B
E
M
A
C
D
a = MCE <
<MCD = b
Proposição 27
a
m
a=b  mn=
b
n
Prova
Proposição
m
a
n
a

b
28
a
b
Se a = b e m  n  
teremos um triângulo com um
o  m  n = 
+ângulo
 = 180
externo
igual a um
interno não adjacente.
Contradição com Prop. 16
Proposição 28
m
a + b = 180o
b
a
n
m n = 
Axioma V
m
b
n
a
mn=
a + b = 180o
Proposição 29
m
a
b
n
Teorema da soma dos
ângulos de um triângulo
m paralela a n  a = b
Prova: Trace n paralela a m.
a  b
b
a
a

a + b +  = 180o
n
b
m
Equivalente do Axioma V é uma proposição
V’ que satisfaz às seguintes condições.
V’
~
V
V’ é um teorema na Geometria gerada
pelos axiomas
I, II, III, IV e
V’
V.
 [I, II, III, IV, V]
V é um teorema na Geometria gerada
pelos axiomas I, II, III, IV e V’.
V
 [I, II, III, IV, V’]
A
V1: Axioma de Playfair
Por um ponto fora de uma reta
pode-se traçar uma única reta
paralela à reta dada.
m
V1  [I, II, III, IV, V]
Existência: Baseada nos
primeiros 4 axiomas.
Unicidade: Pelo axioma V,
a + b < 180o  m  n  
a
b
n
m
V1: Axioma de Playfair
Axioma V:
Por um ponto fora de uma
reta pode-se traçar uma
única reta paralela à reta
dada.
a + b < 180o  m  n  
a
b
n
m
V  [I, II, III, IV, V1]
A
b a
n’
n
b
m
Pelos 4 primeiros axiomas n’
é paralela a m. Por V1 a reta
n’ é a única paralela a m por
A. Logo, a reta n interceptará
m.
V2 – A soma dos ângulos
de um triângulo é 180o
V2  [I, II, III, IV, V] já foi demonstrado.
Vamos mostrar: V  [I, II, III, IV, V2]
Lema 1: Em [I, II, III, IV, V2]
um ângulo externo de um
triângulo é igual a soma
dos ângulos internos não
adjacentes
b
a

a+b=
Lema 2. Em [I, II, III, IV e V2], dado um  > 0, por
um ponto A fora de uma reta m podemos
traçar uma reta n que corta a reta m formando
um ângulo menor do que  .
A
1 2
3
1
B1
a<
n
2
B2
a
B3
AB1 = B1B2  1 = /4
AB2 = B2B3  2 = 1/2 = /8
AB3 = B3B4  3 = 2/2 = /16
ABn = BnBn+1  n = n-1/2 = /(2n+1)
m 3
Escolha agora n
suficientemente
grande!
B4
Vamos mostrar: V  [I, II, III, IV, V2]
n’
A
D

n


m
B
C
Pelos Lema 2, existe uma reta passando por A cortando
m segundo um ângulo  < . Formamos então um
triângulo ABC
O ângulo BAC > 90- e logo o ângulo CAD < .
Portanto a reta n’ corta BC pelo axioma de Pasch.
V3 – Existem dois triângulos
semelhantes e não congruentes
V3  [I, II, III, IV, V].
É claro que
Vamos mostrar que:
V  [I, II, III, IV, V3].
C
C’
b
a
A’
B’
E
a
A
b F
a
b
B
Observamos que
V3 acarreta que,
no quadrilátero
ABFE, a soma dos
ângulos internos
é 360o
Proposição L1 – Em [I, II, III, IV] a soma dos ângulos de um
triângulo é menor ou igual a 180o.
Proposição L2 – Em [I, II, III, IV], se existir um triângulo cuja
soma dos ângulos internos é 180o então a soma dos
ângulos de qualquer triângulo é 180o.
Para provar V, é suficiente provar V2.
Já vimos que, em [I, II, III, IV, V3] existe um paralelogramo
ABCD cuja soma dos ângulos internos é 360o.
A
D
B
C
Trace BD formando dois
triângulos. A soma dos ângulos
dos dois juntos é 360o. Por L1,
segue-se que cada um deles tem
soma igual a 180o. Por L2
concluímos a validade de V2.
V4 – Existem duas retas eqüidistantes e distintas.
V4  [I, II, III, IV, V].
É claro que
Vamos mostrar que:
V  [I, II, III, IV, V4].
P
a
S
a
O
R
b
b
T
Q
De [I, II, III, IV, V4] concluímos que o triângulo
OSQ tem soma dos ângulos igual a 180o.
V5 – Por 3 pontos não colineares passa
um círculo
V6 – Se 3 ângulos de um quadrilátero são
retos então o último também é reto.
V7 – Por qualquer ponto dentro de um
ângulo podemos traçar uma reta que corta
os seus dois lados.
V8 – Vale o teorema de Pitágoras
V9 – Duas retas paralelas a uma terceira
são paralelas.
V10 – Se uma reta corta uma de duas
paralelas então corta a outra.
Moral da História.
• Sem o quinto postulado teremos uma geometria
em que:
– A soma dos ângulos de um triângulo não é 180o
– Não existem triângulos semelhantes. Portanto, não
existe a trigonometria.
– Não vale o Teorema de Pitágoras
– Retas que não se interceptam passando por um
ponto não são únicas
– Não existem retas eqüidistantes.
Mas... na época de Gauss (século
XVII) foram descobertas
geometrias em que o quinto
postulado não vale.
Tal descoberta é referida por alguns
Autores como a revolução da
Geometria
fim
Muito
Obrigado
Alguns Teoremas de Legendre
Proposição L1 – Em [I, II, III, IV] a soma dos ângulos de um
triângulo é menor ou igual a 180o.
Lema 3: Dado ABC existe A’B’C’ satisfazendo a :
1 – Soma dos ângulos do triângulo ABC = Soma dos
ângulos do triângulo A’B’C’.
2 – Um dos ângulos do triângulo A’B’C’ é menor ou
igual a metade do menor ângulo do triângulo ABC.
Prova de L1. Suponha que a soma dos ângulos do triângulo ABC
seja 180o + a e seja t seu menor ângulo. Usando o Lema n
vezes, podemos construir um  cuja soma dos ângulos é ainda
180o+a mas um dos ângulos é tn  t/2n. Escolhendo n tão
grande que tn< a concluímos que a soma dos dois outros
ângulos somam mais de 180o, o que é absurdo.
Prova do Lema 3:
C
a
t1
t2
M
t1
D
b a
B
Suponha que  é o menor ângulo do triângulo ABC. Chame-o
de t. Marque um ponto M em CB de modo que CM=MB. Trace
AM e o prolongue até o ponto D tal que AM=MD. Trace BD.
A
Temos então ACM = BDM. Segue-se que a soma dos ângulos do
triângulo ADB é igual a soma dos ângulos do ABC.
No triângulo ADB o menor ângulo será em A ou em D. Mas
estes ângulos são iguais aos ângulos em que foi dividido o
ângulo t. Logo um deles é menor ou igual a t/2 .
Corolário: Em [I, II, III, IV], se existe um
triângulo cuja soma dos ângulos seja 180o
então todo triângulo formado ligando um de
seus vértices ao lado oposto tem soma dos
ângulos igual a 180o.
 + (a + s) + b =180
A
 + t = 180
_________________
( + a + ) + (t + s + b) = 360
a s
Mas

C
 t
D
b
B
 + a +   180
t + s + b  180
e
Logo  + a +  = 180
e
t + s + b = 180
Proposição L2 – Em [I, II, III, IV], se existir um triângulo cuja
soma dos ângulos internos é 180o então a soma dos
ângulos de qualquer triângulo é 180o.
Afirmo: Se existir um triângulo cuja soma dos ângulos for
180o, então existe um triângulo retângulo isósceles com a
mesma propriedade.
C
Baixe uma perpendicular
do vértice do maior
ângulo ao lado oposto.
Cada um dos triângulos
formados terá soma dos
A
D
E
B ângulos igual a 180o
Se DB > CD, marque em DB um ponto E tal que DE=CD
Trace CE. É imediato que a soma dos ângulos de CDE é
180o. Se DB < CD, escolha E no lado CD.
Afirmo: Se existe um triângulo retângulo isósceles
com soma dos ângulos igual a 180o, então existe
uma família de triângulos retângulos isósceles com
lados arbitrariamente grandes cuja soma dos
ângulos é 180o.
D
Afirmo: Se existe uma família de
de triângulos retângulos isósceles
com lados arbitrariamente
grandes cuja soma dos ângulos é
180o, então a soma dos ângulos de
qualquer triângulos retângulo é
180o.
C
A
B
E
Afirmo: Se existe um triângulo cuja soma dos
ângulos é 180o então a soma dos ângulos de
qualquer triângulo é 180o.
fim mesmo!
Muito
Obrigado