TOPOGRAFIA I
Prof.ª Letícia P. Finamore
Revisão de Matemática
Geometria plana: relações trigonométricas
1.Triângulo retângulo: É um triângulo que possui um
ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede 90º
(Figura 2).
ângulo
cateto oposto
α
b
β
c
cateto adjacente
c
b
Figura 2
Propriedades: α + β + 90º = 180º
α + β = 90º
Revisão de Matemática
A partir da Figura 2 podem ser
estabelecidas as seguintes relações:
seno:
senα = cateto oposto.
hipotenusa
cosseno:
cos α = cateto adjacente.
hipotenusa
tangente:
tg α = cateto oposto._
cateto adjacente
Teorema de Pitágoras
Provável forma usada por Pitágoras para
demonstrar o teorema que leva seu nome
Teorema de Pitágoras
Não se sabe ao certo qual seria a demonstração utilizada por Pitágoras,
entretanto, muitos autores concordam que ela teria sido feita através da
comparação de áreas, conforme se segue:
1.Desenha-se
um quadrado de lado b+a;
2.Traçam-se dois segmentos paralelos aos lados do quadrado;
3.Divide-se cada um destes dois retângulos em dois triângulos retos,
traçando as diagonais. Chama-se c o comprimento de cada diagonal;
4.A área da região formada ao retirar os quatro triângulos retos é igual a
b²+ a²
5.Desenha-se agora o mesmo quadrado de lado mas colocamos os
quatro triângulos retos noutra posição.
6.A área da região formada quando se retiram os quatro triângulos retos
é igual a c²
Como b²+ a² representa a área do quadrado maior subtraída da soma
das áras dos triângulos retângulos, e c² representa a mesma área,
então: b² + a² = c² .
Ou seja: num triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é
igual à soma dos quadrados dos catetos. O segmento de medida c foi
chamado de hipotenusa e os de medida b e a foram chamados de
catetos.
Revisão de Matemática
2. Triângulo qualquer
a)Lei dos senos: Num triângulo qualquer a razão entre
cada lado e o seno do ângulo oposto é constante.(e igual ao
diâmetro da circunferência circunscrita, isto é 2R).
a
=
b
sen(α)
sen(β)
=
c
= 2R
sen(ϴ)
Revisão de Matemática
b) Lei dos cossenos: Num triângulo qualquer, o quadrado
da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das
medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das
medidas dos dois lados pelo cosseno do ângulo que eles
formam.
a² = b² + c² - 2bc cos(α)
Erros em topografia
a)
Naturais - ocasionados por fatores
ambientais, ou seja, temperatura, vento,
refração e pressão atmosféricas, ação da
gravidade, etc.
b)
Instrumentais - ocasionados por
defeitos ou imperfeições dos instrumentos
ou aparelhos utilizados nas medições.
c)
Pessoais - ocasionados pela falta de
cuidado do operador.
Erros em topografia
CONSIDERAÇOES:
** É importante ressaltar que alguns erros se anulam
durante a medição ou durante o processo de cálculo.
Portanto, um levantamento que aparentemente não
apresenta erros, não significa estar necessariamente
correto.
** Como na topografia vamos representar a superfície
terrestre, considerada esférica, em uma superfície
topográfica ou planta topográfica, ou ainda plano
topográfico, comete-se o erro de esfericidade.
**Plano topográfico, é um plano horizontal tangente à
superfície terrestre num ponto que esteja situado
dentro da área a ser levantada.
Erros em topografia
Erro de esfericidade: corresponde
diferença entre os comprimentos do
segmento AB e do arco AF:
erro = AB - AF
Erros em topografia
1.
Determinação do erro de esfericidade:
1.1 Determinação do segmento AB:
do triângulo retângulo ABC, temos: AB = R.tgα em
que R é o raio da Terra.
1.2 Determinação do arco AF (regra de três):
2πR
360º
AF
α
AF = π.R.α/180º
Assim: erro = R.tgα – π.R.α/180º
Erros em topografia
Conclusão:
Por exemplo, se fizermos o ângulo central igual a
30’ e utilizando um raio médio de 6.366.193 m, qual seria
o erro de esfericidade?
Resposta: AB =55.556,9 m; AF =55.555,5 m; e =1,4 m.
Em topografia, o erro de 1,4 m para a distância em
torno de 55 km pode ser considerada insignificante. Por
essa razão em vez de corrigir o erro ocasionado pela
esfericidade terrestre, procura-se limitar a extensão do
terreno a ser levantado pelos recursos da Topografia a
uma área correspondente à de um círculo de raio inferior a
50 km.
Considerando esse raio, a extensão é de
aproximadamente 785.398 hectares. As propriedades
agrícolas, em geral, não atingem essa área.
Grandezas Medidas num Levantamento
Topográfico
O levantamento topográfico é definido como conjunto de
operações, no campo e no escritório, por meio de métodos e
instrumentos adequados a finalidade do trabalho, destinados à
obtenção de elementos necessários para representação do terreno.
No trabalho de campo os pontos são os elementos
necessários para representação do terreno. Estes pontos são
definidos pela medição de ângulos e distâncias.
Desta forma, os instrumentos utilizados em levantamentos
topográficos são divididos em duas partes: instrumentos para
medição de ângulos e instrumentos para medição de distâncias.
Logo as operações realizadas no campo são: medidas de
ângulos e distâncias, que definem os tipos de grandezas que
medimos num levantamento topográfico:
GRANDEZAS ANGULARES E LINEARES.
Grandezas angulares
Os instrumentos que medem ângulos são chamados de goniômetros.
A parte especializada do goniômetro para avaliação de ângulo
chama-se limbo, que é um círculo graduado em graus.
Exemplos :
1- Grafômetros
2- Bússolas - americana - (para rumos)
Grandezas angulares
3- Bussola francesa - (para
azimutes)
Teodolitos - de leitura direta de ângulos:
Aqueles instrumentos capazes de medir
tanto ângulos horizontais como ângulos
verticais
.
4-
Grandezas angulares
Teodolito prismático.
.
Estação Total (teodolito com
distaciômetro eletrônico integrado)
.
Ângulo Horizontal (Hz)
Ângulo Horizontal (Hz): é medido entre as
projeções de dois alinhamentos do terreno, no plano
horizontal (plano normal à vertical que passa pelo
ponto topográfico), Figura 1.
Onde A, B e C são chamados de
pontos topográficos.
O ponto A, onde instala o instrumento de medição é chamado de Estação.
Fi
Figura 1.
Ângulo Horizontal (Hz)
continuação.
A materialização de um ponto topográfico é feita
por meio de um piquete e de uma estaca, geralmente de
madeira. O piquete a ser cravado no terreno, deve ter sua
parte superior a uma altura de 1 a 2 cm em relação a
superfície. A estaca é utilizada para identificação do
ponto. Na medição do ângulo utiliza-se, ainda, uma baliza
para assinalar o ponto sobre o piquete (Figura 2).
(Figura 2).
Ângulo Horizontal (Hz)
Azimutes
São os ângulos horizontais que
têm origem na ponta norte do meridiano
e são contados no sentido horário da
graduação de 0º a 360º do limbo
continuação
Rumos
São os ângulos horizontais que
têm origem tanto na ponta norte como na
ponta sul do meridiano e são contados em
quadrantes (0º a 90º).
Ângulo Horizontal (Hz)

continuação
O cálculo de ângulos horizontais, horários ou anti-horários, entre
alinhamentos a partir de azimutes, tarefa bastante comum em
topografia, pode ser generalizado da seguinte forma:
 Ai = Azij - Azik
Ângulo Horizontal (Hz)
continuação
Embora a tendência seja padronizar o uso de azimutes, rumos ainda
são empregados e se torna necessário conhecer a relação entre eles. A Figura
5 mostra para cada quadrante a equação que relaciona azimutes e rumos.
1º
2º
3º
4º
quadrante:
quadrante:
quadrante:
quadrante:
RAB = AZAB NL (ou NE)
 AZAB = RAB
RAC = 180º - AZAC SL (ou SE) AZAC = 180º - RAC
RAD = AZAD – 180º SO
 AZAD = 180º + RAD
RAE = 360º - AZAE NO
 AZAE = 360º - RAE
Ângulo Horizontal (Hz)
continuação
Os azimutes são empregados para
orientar plantas topográficas em relação ao eixo
de rotação da Terra, ou seja, em relação ao
Norte.
As bússolas são instrumentos que medem
azimutes e rumos magnéticos diretamente,
mas, estão em desuso para fins topográficos.
A tendência atual é utilizar receptores de
sinais de satélites de navegação (GPS) para
determinarem coordenadas de dois pontos e a
partir destas, obter o azimute geográfico (ou
verdadeiro).