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Matemática Licenciatura
Curso: Cálculo Diferencial e Integral I
Professor: Robson Sousa
Revisão de conceitos
Produto Notável
Para quaiquer números reais a, b, c 2 R valem as seguintes propriedades:
1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2. (a
b)2 = a2
3. (a + b)(a
2ab + b2
b) = a2
b2
4. (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
5. (a
b)3 = a3
6. a3
b3 = (a
3a2 b + 3ab2
b)(a2 + ab + b2 )
7. a3 + b3 = (a + b)(a2
Exemplos 0.1
2. (x
y)2 = x2
3. (x
p
b3
ab + b2 )
1. (x + y)2 = x2 + 2xy + y 2
2)(x +
2xy + y 2
p
2) = x2
2
4. (x + 3)3 = x3 + 9x2 + 27x + 27
Funções
Dados dois conjunto não-vazios A e B denomina-se produto cartesiano de A por B ao
conjunto
A
B = f(x; y) : x 2 A e y 2 Bg
Observação 0.2 Uma relação binária R de A em B é qualquer subconjunto de A
B:
Dados dois conjuntos A; B
R, não-vazios, uma relação f de A em B recebe o nome de
função de A em B se, e somente se, para todo elemento x de A existir um único elemento y em
B, tal que y = f (x): O domínio da função f é o conjuto formado por todos os elementos x 2 A
tais que f (x) existe.
iv
Exercício 0.1 Encontre o domínio das seguintes funções:
1. f (x) =
x
x 2
2. g(x) =
px
x 2
3. h(x) =
p
4. p(x) =
p
5
x
2
x
2
Polinômios
Uma função P é denominada polinômio se
P (x) = an xn + an 1 xn
1
+
+ a2 x 2 + a1 x 0
onde n é um inteiro não negativo chamado de grau do polinômio e os números a0 ; a1 ; : : : ; an 1 ; an
são constantes chamadas coe…cientes do polinômio. O domínio de qualquer polinômio é R.
p
Exemplo 0.3 P (x) = 2x6 x4 + 32 x3 + 2 é um polinômio de grau 6.
Um polinômio de grau 1 é da forma P (x) = mx + b e, portanto, é uma função a…m, ou
função linear. Um polinômio de grau 2 é da forma P (x) = ax2 + bx + c e é chamado função
quadrática. Um polinômio de grau 3 é da forma P (x) = ax3 + bx2 + cx + d com a 6= 0 e é
chamado de função cúbica.
Observação 0.4 Todo polinômio P de grau n
P (x) = an xn + an 1 xn
1
1
+
+ a2 x 2 + a1 x 0
pode ser decomposto em fatores do primeiro grau, ou seja,
P (x) = an (x
onde r1 ; r2 ;
r1 ) (x
r2 )
(x
rr )
; rn são as raízes do polinômio P:
Exemplo 0.5
1. P (x) = 2x3
2. P (x) = x2
1 = (x
18x2
2x
210 = 2 (x + 3) (x
5) (x
7) ;
1) (x + 1)
Funções Racionais
Uma função racional f é a razão de dois polinômios:
P (x)
Q(x)
onde P e Q são polinômios. O domínios de uma função racional consiste em todos os valores
de x tais que Q(x) 6= 0.
f (x) =
Exemplo 0.6 f (x) =
2x4 x2 +1
x2 4
é uma função racional com domínio fx 2 R : x 6= 0g :
Observação 0.7 Algumas vezes conhecendo o domínio de uma função racional é possível manipulala algebricamente obtendo assim uma função equivalente mais trivial.
Exemplo 0.8 Usando as propriedades de produto notavél observe que:
1.
x4 16
x 2
2.
x3 1
x 1
=
=
(x2 4)(x2 +4)
x 2
(x 1)(x2 +x+1)
x 1
=
(x 2)(x+2)(x2 +4)
x 2
= x2 + x + 1
= (x + 2) (x2 + 4) ;