FUNÇÃO DO 2O GRAU
Definição:
Uma função f: R Æ R chama-se quadrática ou do 2o
grau quando existem números reais a, b, c com a ≠ 0, tais
que f(x) = ax2 + bx + c para todo x ∈ R
•
Se
< 0 a Função não admite raízes reais
(x’ e x’’) são raízes imaginárias. A parábola não
intercepta o eixo ‘’x’’.
RESUMINDO
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO 2O GRAU
A função quadrática é representada graficamente por
uma curva denominada parábola. A concavidade da parábola
será indicada pelo sinal do número real “a”.
VÉRTICE DA PARÁBOLA (V)
Obs.: A parábola sempre intercepta o eixo ‘’y’’ no
ponto (0, c).
O gráfico da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c possui um ponto denominado vértice da parábola, cujas coordenadas são:
ZEROS DA FUNÇÃO DO 2O GRAU
Os zeros da função do 2o grau são os valores de x para os quais f(x) = 0. Para obtê-los, basta resolver a equação ax2 + bx + c = 0, usando a fórmula:
ESTUDO DOS ZEROS DA FUNÇÃO
•
Se > 0 a função admite duas raízes reais diferentes (x’ ≠ x’’). A parábola intercepta o eixo ‘’x’’
em dois pontos distintos.
•
Se
= 0 a função admite duas raízes iguais
(x’ = x’’). A parábola intercepta o eixo ‘’x’’ em um
ponto (é tangente ao eixo).
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Observações
Exemplos:
• Quando a > 0, a parábola tem cavidade voltada para cima
e yv é o menor valor assumido pela função e por essa razão, vértice recebe o nome de ponto de mínimo.
Resolver as inequações:
• Quando a < 0, a parábola tem cavidade voltada para baixo e yv é o maior valor assumido pela função e por essa
razão, vértice recebe o nome de ponto de máximo.
• a = 2 ∴ a > 0 Æ concavidade voltada para cima.
• 2x2 + 2x – 4 = 0
∆ = 22 – 4 (2) (-4) = 36 ∴ ∆ > 0
(parábola corta o eixo horizontal em 2 pontos)
CONJUNTO IMAGEM DA FUNÇÃO
O conjunto imagem de f(x) = ax2 + bx + c é determinado
a partir de yV que poderá representar a imagem mínima ou
máxima dependendo da concavidade.
1) 2x2 + 2x – 4 ≥ 0
x=
x’ = 1
x” = -2
• gráfico
• S = { x ∈ R/ -2 ≤ x ≤ 1}
2) -3x2 – 6x – 3 < 0
INEQUAÇÃO DO 2O GRAU
Chama-se inequação do 2 grau, na variável x, toda
inequação que se reduz a uma das formas:
o
• a = -3 ∴ a < 0 Æ concavidade voltada para baixo
• - 3x2 – 6x – 3 = 0
∆ = (-6)2 – 4 (-3)(-3) = 0 ∴ ∆ = 0
(a parábola tangencia o eixo horizontal)
x=
• gráfico
em que a, b, c são números reais quaisquer, com a ≠ 0.
Para resolvermos essas inequações, estudaremos o sinal da função y = ax2 + bx + c, nos seguintes casos:
• S = { x ∈ R/ x ≠ -1}
3) –x2 – 2x – 3 > 0
• a = -1 ∴ a < 0 Æ concavidade voltada para baixo.
• -x2 – 2x – 3 = 0
∆ = (-2)2 – 4(-1) (-3) = -8 ∴∆ < 0
(a parábola não toca o eixo horizontal)
• gráfico
• S=∅
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