Resumo de aula - 1o ano do Ensino Médio – Elaborado por: Profº. Israel Aveiro
Apostila 2 / Módulo: 04 / Função Quadrática.
01. Definindo funções e Conceitos.
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma
lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a
0. Vejamos alguns exemplos de função
quadráticas:
a) f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
b) f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
c) f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
d) f(x) = - x2 + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0
e) f(x) = -4x2 , onde a = - 4, b = 0 e c = 0
Exemplo 01: Dada a função quadrática f(x) = x2 – 3x – 10, determine f(0); f(-2) e f(10).
Exemplo 02: Determine a lei de formação da função quadrática, sabendo que f(-1) = 6; f(0) = 3 d f(1) = 2
(pag 12 apostila 2)
02. Gráfico da Função Quadrática.
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a
0, é uma curva chamada parábola.
Exemplo 03: Vamos construir o gráfico da função y = x + x:
2
Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os
pontos assim obtidos.
Observação:
Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:
 se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
 se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;
Exemplo 04: Vamos construir o gráfico da função y = - 2x2 + 2:
Zero e Equação do 2º Grau
Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os números reais x tais que
f(x) = 0.
Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais são
dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:
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Observação: A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o
radicando
, chamado discriminante, a saber:

quando
é positivo, há duas raízes (x1 e x2 ) reais e distintas;

quando
é zero, há só uma raiz (x1 = x2 ) real (para ser mais preciso, há duas raízes iguais);

quando
é negativo, não há raiz (x1 e x2 não existe ) real.
Exemplo 05: Determine as raízes da função polinomial do 2º grau.
a) x² - 5x + 6 = 0
(R: 2, 3)
b) x² - 6x + 9 = 0
(R:3)
c) x² - 5x + 8 = 0
(R: vazio)
04. Coordenadas do vértice da parábola.
Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem
concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.
Em qualquer caso, as coordenadas de V são
. Veja os gráficos:
03. Passos para construção de uma parábola.
É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o
roteiro de observação seguinte:
1. O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;
2. Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;
3.
4.
O vértice V
indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0);
Identificar o ponto em que a curva intercepta o eixo y.
Exemplo 06: Construa a parábola da função do 2o grau a partir dos 4 passos apresentados na página 7.
a) x² - 5x + 6 = 0
Determine:
a) O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;
b) Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;
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c) O vértice V
indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0);
d) Identificar o ponto em que a curva intercepta o eixo y.
b) x² - 6x + 9 = 0
Determine:
a) O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;
b) Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;
c) O vértice V
indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0);
d) Identificar o ponto em que a curva intercepta o eixo y.
c) x² - 5x + 8 = 0
Determine:
a) O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;
b) Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;
c) O vértice V
indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0);
d) Identificar o ponto em que a curva intercepta o eixo y.
05. Estudo do sinal de uma função quadrática.
Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c e determinemos os valores de x para os quais y é
negativo e os valores de x para os quais y é positivos.
Conforme o sinal do discriminante
= b2 - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos:
1º - ∆ > 0
Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1
pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo:
x2). a parábola intercepta o eixo Ox em dois
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2º - ∆ = 0
3º - ∆ < 0
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06. Inequação d 2o Grau.
Para resolvermos uma inequação do Segundo grau devemos estudar o sinal da função correspondente
equação.
1. Igualar a sentença do 2° grau a zero;
2. Localizar e (se existir) as raízes da equação no eixo x.
3. Estudar o sinal da função correspondente, tendo-se como possibilidades:
Exemplo 07: Resolva, em R, a inequação a seguir: (pág. 17 – Ex. 11
Exemplo 08: Determine o domínio da inequação: (pág. 17 – Ex. 12
item: c
Exemplo 09: Resolva, em R, a inequação a seguir: (pág. 18 – Ex. 15
Exemplo 10: Determine a função quadrática do gráfico:
X2 – 11X + 30 > 0
item: a
item: a
(x2 – 5x) . (-x2 + 3x + 10) > 0
(pág. 16 – Ex. 10
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