Aula Teórica 2: Redes
de Compensação
Conteúdo
• Redes de adiantamento
• Redes de Retardo
Em desenho de sistemas de controle se traça quando temos:
MG 6 db
30  M 60
o
Como obtê-lo?
o
Colocando Compensadores
Existem duas formas de compensação:
• compensação série
- redes de adiantamento
- redes de retardo
- redes de retardo-adiantamento
• compensação paralelo ou no feedback
Compensação série:
Gc(s): rede de compensação
Compensação na
retroalimentação:
Geralmente os compensadores estão formados por resistores,
capacitores e amplificadores operacionais
A rede de adiantamento
C2
R4
C1
_ R2
R1
Ei(s)
+
E(s)
+
R1
R 1C1s  1
Z2 
R2
R 2C 2s 1
Z
R R C s 1
E(s)
 2  2 1 1
E i (s)
Z1
R1 R 2C 2s  1
_
R3
Z1 
Eo(s)
E o (s )
R
 4
E (s )
R3
E o (s ) R 2 R 4 R 1 C 1 s  1

E i (s ) R 1 R 3 R 2 C 2 s  1
E o (s ) R 2 R 4 R 1 C 1 s  1

E i (s ) R 1 R 3 R 2 C 2 s  1
Chamando:
T  R 1C1
T  R 2 C 2
Eo ( s)
Ts  1
 K c
Ei ( s)
Ts  1
Siempre R1C1 > R2C2 então
R2C2

R1C1
R 4 C1
Kc 
R 3C 2
 1
O valor de  está limitado pelas características físicas da rede:
 min  0,07
 max  60o
Diagrama polar de uma rede de adiantamento
Gc( jw) 
Kc T 2 w2  1
 2T 2 w2  1
Gc( jw)  tan1 Tw  tan1 Tw
Se você derivar e igualar a zero a expressão da fase encontrará que
wm 
Ajuda
1
T
dx
d (tan x)
 dx 2
dx
1 x
1
frequência a qual a rede oferece o máximo
ângulo de adiantamento
m

Se pode demonstrar que:
sen m
1

1
Gc ( jw)  tan 1 Tw  tan 1 Tw
Conhecendo
que:
faça
 x y 

tan x   tan  y   tan 
 1  xy 
1
1
x  Tw
y  Tw
logo
1
w  wm 
Usando Pitágoras
1
T
e chegará a
1
tanm  
2 
1 
Diagrama de Bode de uma rede de adiantamento
Observe a
atenuação
que se produz
em baixa frequência
por essa causa se
desenha fazendo
sempre
Kc
Kc = 1

1
20 log 

1
T
1
T
m
TS  1
Gc 
TS  1
1
T
logm 
Se pode demostrar que:
 
log T1  log 1T 
 1 
 1 
logm  12 log 2   log  2 
 T 
 T 
1
m 
T
wm é a média geométrica de 1 e 2:
20log 
1
2
Sugestão:
1
Substitua m   T
em
Gc( jw) 
T 2 w2  1
 2T 2 w2  1
Concluindo até aqui
Se precisamos acrescentar fase em um valor de frequência para conseguir
aumentar a margem de fase e portanto a estabilidade relativa do sistema temos
a nossa disposição uma rede de adiantamento que
Produz um adiantamento máximo
Para esse ângulo se cumpre que
Esse adiantamento se produz à frequência
m
sen m
1

1
wm 
A essa frequência produz uma modificação na magnitude
1
T
 
20log 
Compensação com Rede de
Adiantamento.
Os requerimentos de projecto se associam a:
Comportamento de
estado estacionário
Estabilidade relativa
Ess
M
Kp Kv Ka
Mg
O que fazer?
VEJAMOS UM EXEMPLO
Considere o sistema:
R(s)
+
_
Gc
Requerimentos de projeto:
Kv = 20 seg-1
M = 30o ± 3o
4K
ss  2
C(s)
Passo #1: Determinar o ganho de laço aberto que satisfaz o
requerimento de estado estacionário.
4K
K v  lim sGH ( s)  s
s 0
ss  2
K v  2 K  20
K  10
Passo #2: Fazer o Diagrama de Bode e procurar a margem de
fase do sistema sem compensar, com a K que satisfaz o
requerimento de estado estacionário.
10 4
G1 ( j ) 
j  j  2
G=tf(40,[1 2 0]);
margin(G)
Passo #3: Determina-se a fase máxima que deve contribuir a rede.
 m  M req  M sc  
5 o    12o
margem de segurança
No exemplo:
 m  30  18  5  17o
Passo #4: Calcula-se .
1
sen m 
1
1  sen m 1  0,29


 0,55
1  sen m 1  0,29
Passo #5: Determinar a nova frequência de cruzamento de ganho.
Conhecido já o valor de  modificação em amplitude que produzirá a rede
já fica determinada por esse valor
 


modificação(db)  20log   20log 0.55  2.59
 2.6db
Em que valor de freqüência a
curva de magnitude tem esse
valor?
Esta é a nova freqüência
de cruzamento e deve
fazer-se coincidir com
wm
m 
1
T
 7,21
1
T
 0,18  0,2seg
0,55  7,21
T  0,55 0,2  0,11
0. 2 s  1
Gc ( s ) 
0.11s  1
Compensador
Passo #7: Comprovação do MF do sistema compensado.
F.T.L.A.c:
0.2s  1 40
0.11s  1 s( s  2)
Gc=tf([0.2 1],[0.11 1]);
FTLA=G*Gc;
margin(FTLA)
Se não se cumprisse,
deve retornar-se ao
Passo #3
e calcular o Fm com
margem de segurança 
diferente.
Lc1=feedback(G,1);Lc2=feedback(G*Gc,1);step(Lc1,Lc2)
Características da compensação com
rede de adiantamento:
1.
2.
3.
Aumenta o largura de banda do sistema, o que o faz mas sensível ao ruído e
de uma vez aumenta a rapidez de resposta.(tr)
Diminui o tempo de estabelecimento.(ts)
Diminui o pico máximo da resposta temporária.(Mp)
Rede de Retardo
C2
R4
C1
_
R2
_
R1
Ei(s)
R1
Z1 
R 1C1s  1
R2
Z2 
R 2C 2s 1
+
E(s)
R3
+
Eo(s)
Z2
R 2 R 1C1s  1
E(s)


E i (s)
Z1
R1 R 2C 2s  1
E o (s )
R4

E (s )
R3
E o (s ) R 2 R 4 R 1 C 1 s  1

E i (s ) R 1 R 3 R 2 C 2 s  1
E o (s ) R 2 R 4 R 1 C 1 s  1

E i (s ) R 1 R 3 R 2 C 2 s  1
Chamando:
T  R 1C1
T  R 2 C 2
E o (s)
Ts  1
 Kc
E i (s)
Ts  1
R 2C 2

1
R 1C 1
R 4 C1
Kc 
R 3C 2
Suponha que
Kc  K  1
A resposta de freqüência de Ts  1
Ts  1
1
T
Observe que se
atenua em alta
freqüência
1
T
Para compensar com a rede de atraso se aproveita a atenuação às
altas frequências que introduz a rede, para procurar que se cumpra a
Margem de Fase requerida.
Isto é atenuar o gráfico de amplitude para poder compensar o
incremento do ganho que se precisa para obter a constante de erro
estacionário desejada.
A fase negativa que introduz a rede é indesejável, pelo que haverá que
levar em conta seu efeito
Procedimento de projeto da compensação com rede de retardo:
Veremos através de um exemplo
Considere o sistema:
+
G c (s)
_
1
0,5s  1
Requerimentos: Kv=5
M = 40o ± 3o
1
s(s  1)
Passo #1: Determinar o ganho para satisfazer os requerimentos de
estado estacionário.
Ts  1
1
K v  lim sGH ( s)  lim s * Kc

s 0
s 0
Ts  1 s( s  1)(0,5s  1)
 Kc  K
K 5
Agora
Ts  1
1
K
Ts  1 s( s  1)(0,5s  1)
O ganho K passará
a formar parte do
sistema sem compensar
Esta será a rede
que terá que procurar
Passo #2: Riscar o Diagrama de Bode de laço aberto do sistema
sem compensar com a K que satisfaz o requerimento de estado
estacionário. Conseguir nesse diagrama o valor da freqüência a
que tem o sistema cruzar o eixo de zero decibeles para obter a
margem de fase requerido
Mreq  ()  180 wcn
(5-12)
40  10  180 wcn
40 180 10  wcn  130
A fase à freqüência de cruzamento é esta,
qual será a freqüência?
Fazemos o diagrama de bode
5
s( s  1)(0,5s  1)
G=tf(5,conv([1 1 0],[0.5 1]));
bode(G)
Essa é a nova
freqüência
de cruzamento
Passo #4: Calcular a atenuação que deve sofrer a curva de
magnitude para que cruzamento o eixo a essa freqüência
Que atenuação produz uma rede de atraso?
T 2 w2  1
Gc( jw) 
Em alta freqüência
 2T 2 w2  1
1
w
T
que é onde se produz a atenuação
Gc( jw) 
Em db
1

Gc( jw) db  20log 
Isto
portanto
 20log   19db
 19 


  20 
  10
 8.91
Para obter o que deseja
terá que tomar um valor
igual ou maior que este
  10
Passo #5: Seleção das freqüências de esquina da rede.
A freqüência do zero da rede   T1 escolhe-se uma década por
debaixo da nova freqüência de cruzamento.
Wcn  0.488
1 Wcn
w 
 0.0488
T
10
1
 T  20.49
0.0488
Como já se conhece
  10
Ts  1 20.49S  1
Gc( s) 

Ts  1 204.9S  1
Passo #6: Comprova-se a Margem de fase do sistema compensado.
20.49s  1
5
FTLA 
204.9Ts  1 s( s  1)(0,5s  1)
G=tf(5,conv([1 1 0],[0.5 1]));Gc=tf([20.49 1],[204.9 1]);margin(G*Gc)
Se não cumprisse,
retorna-se ao passo #2
Resposta ao degrau do sistema compensado.
Lc2=feedback(G*Gc,1);step(Lc2)
Características da compensacao com rede de
retardo
1.
2.
3.
A largura de banda do sistema diminue, e a resposta temporal torna-se
mas lenta.
Actua de forma similar a um Controlador PI.
Si o sistema apresenta na origem um polo duplo o superior, nao pode
compensar-se com Rede de Retardo.