Aula Teórica 11: Resposta
Conteudo
• Diagrama de Bode.
• Estabilidade Relativa
de Freqüência.
Já dissemos
A RESPOSTA DE FREQÜÊNCIA
Geralmente
Não aprendemos ainda
Aprendemos a obtê-lo
DESENHA-HE
Diagramas de bode
Diagramas polares
UM
DOIS
MAGNITUDE(db)
VS
LOG(W)
FASE
VS
LOG(W)
MAGNITUDE E FASE
COM A FREQÜÊNCIA
VARIANDO ENTRE ZERO
E INFINITO
O primeiro assunto que trataremos na aula de hoje é como obter
o diagrama de Bode
ESTE É O AMBIENTE
ONDE SE DESENHA
OBSERVAR:
Escala linear
para a Magnitude(db)
Escala logaritmica para
a freqüência
Recordar que:
1. A função de transferência deve ficar na forma:
Ta s  1Tb s  1...........e
G( s) 
T s  1T s  1...........s  2 s  1
Ks
n
 sT
2
2
n
n
2. substitui-se s por j:
G ( j ) 
Kj  n Ta j  1Tb j  1...........e  jT
T j  1T j  1...........
j 2
n2

 2n j  1
3. constrói-se o gráfico de amplitude:
20 log G ( j )  20 log K  20n log j 
20 log Ta j  1  20 log Tb j  1 
...  20 log e  jT  20 log T j  1
 20 log T j  1  ...
- 20 log
 
j 2
2
n
n
j  1
e o de fase:
G ( j )   n90  tan Ta  tan Tb 
o
1
1
..... T (57,3)  tan T 
1
2
 tan T   ..... tan
1
1
n
1

 
 2
n
O QUE PODEMOS CONCLUIR DAS DUAS ULTIMA EXPRESSÕES?
PARA TRAÇAR O DIAGRAMA DE BODE DE UMA FUNÇÃO DE
TRANSFERÊNCIA SE PODE TRAÇAR PRIMEIRO O DIAGRAMA DE
BODE DE CADA TÉRMINO E DÉSPUES SOMÁ-LOS
SEMPRE SE FAZ ASSIM?
NÃO
NA ATUALIDADE NINGUÉM TRAÇA DIAGRAMAS DE BODE À MÃO,
USAM-SE OS COMANDOS DO MATLAB QUE VEREMOS O FINAL
Diagrama de Bode dois
diferentes términos
elementares:
por que?
• Ganho K
db
0

K>1
K=1
K<1

0

• Elementos integrais e derivativos (j)±n
db

Pendiente: ±n20db/dec
n90

0
0
1
-n90
20 logG ( j )  20 log j n  20n log

JUNTOS OS DOIS PRIMEIROS
K
G ( j ) 
n
 j 
K
K
n
em 0 db :

1


1



K
n
n

 j 
db

0
n
K
•Elementos de Primeira Ordem
1
G ( jw) 
(Tjw  1) n
G( j ) db  n20 log Tj  1  n20 log T 2 2  1
para :   T1 G ( j )  0
  T1 G ( j )  n20 logT
  T1
G ( j )  n3 db
G( j)  n tan T
1
db
1
2T
0
-n3
1
T
2
T

-n20 db/dec

0
-n45
-n90

Se fossem elementos de primeira
ordem no numerador?
Elementos quadráticos (pólos complexos conjugados)
G ( j ) 
 
j 2
n
G ( j )  20 log
1
2
n
j  1
 
j 2
n
1
2
n
j  1
Si   n G ( j )  0
  n G ( j )  40 log 
n
2
G( j )   tan 1
n
1

 
 2
n
db
pico de ressonância Mr
1
2
0
wr

Freqüência de
ressonância
3
 1<  2<  3
0
3
-90
-180
r  n 1  2
n

1
2
para 0    0,707

2
Mr 
1
2 1  2 2
Exemplo:
Para fazê-lo com o MATLAB
G=tf(5, conv(conv([1 0],[0.2 1]),[0.2 1]));
bode(G)
define
faz o diagrama de bode azul da figura
5
S (0.2S  1) 2
o diagrama rosado o fiz eu
Já aprendemos a obter a estabilidade a partir do diagrama Polar
Encontramos se o sistema é ou não estável com o critério do Nyquist
Isto é estabilidade absoluta,
o sistema é estável
ou
não é estável
Necessitamos algo que nos indique quão estável é o sistema
Isto é estabilidade relativa
A estabilidade relativa dá a idéia de quão perto ou longe está
o sistema do limite de estabilidade
Acostuma-se expressá-la em Margem de Ganho e Margem de Fase.
Margem de Ganho:
É o valor pelo que terei que
multiplicar o ganho que tem o sistema
quando  = -180o para que a mesma se
faça igual a 1.
A
-1

Se o sistema é estável, MG > 1.
1
1
MG 

GH w
A
1
freqüência a qual a fase vale -180
Margem de Fase:
É a quantidade de graus sexagesimales de fase
negativa que pode adicionar-se ao sistema para
que seja –180º quando a amplitude é unitária.
M
Se se pode aumentar fase negativa, o MF é
positivo.
Se terá que diminuir fase negativa, o MF é
negativo.
Se o sistema é estável, MF > 0.
M 180 wc
freqüência a qual a magnitude vale 1
No Diagrama de Bode:
MG em db.
MG + , estável
MG - , inestável
MG
M
MF en o.
MF + , estável
MF - , inestável
Exemplo:
Do sistema seguinte:
r(t)
e(t)
+
_
K
(s  1)(0,5s  1)
c(t)
1
0,2s  1
•Determine o ganho para que o eee a um passo unitário de
entrada seja igual ou menor que 0,091
•Analise a estabilidade relativa do sistema com o ganho
calculado anteriormente.
a) O sistema é Tipo 0 (não tem pólo na origem em seu ftla),
portanto:
e eep
1

1 K p
Kp 
b)
1
e eep
1
1 
 1  9,989  10
0,091
Agora
10
G H( j ) 
j  10,5 j  10,2 j  1
GH=tf(10,conv(conv([1 1],[0.5 1]),[0.2 1]))
margin(GH)
Do gráfico se obtén:
MG = 2 db
M = 7o
Zoom
Segundo o que estabelecemos
este sistema é estável
quão estável é?
Está a ponto de ser instável?
102.1/10   1.2735
Se você aumentar o ganho o equivalente aos 2 db, o sistema
se faz exatamente instável, com oscilações sustentadas
Influência do ganho sobre a estabilidade
Aumentando K
Aumentando K
-1
O aumento do ganho pode levar o sistema ao ponto crítico de
estabilidade.
Em desenho de sistemas de controle se traça que:
MG 6 db
30  M 60
o
o
Portanto dizemos
Se o sistema tiver uma margem de ganho e uma margem de fase
maiores que 0 é estável
Se o sistema tem uma margem de ganho maior que 6 db e uma
margem de fase entre 30o e 60o tem boa estabilidade relativa