Apostila
De
Matemática
GEOMETRIA:
REVISÃO DO ENSINO FUNDAMENTAL, PRISMAS E PIRÂMIDES
Apostila de Matemática (por Sérgio Leal Jr.)
GEOMETRIA
1.
REVISÃO DO ENSINO FUNDAMENTAL
1. 1. Relações métricas de um triângulo retângulo.
A
Para todo e qualquer triângulo retângulo onde se considere:
• a como sendo a hipotenusa;
• b e c sendo os catetos;
b
• h a altura do triângulo;
• m e n sendo, respectivamente, as projeções de b e
c pode sempre dizer que:
C
a2 = b2 + c2 b2 = a ⋅ m
b⋅c = a ⋅h a = m + n
c2 = a ⋅ n
h
m
B
n
a
h2 = m ⋅ n
c
1. 2. Altura de um triângulo equilátero.
Para descobrir a relação que há entre a altura(h) e um lado(l) de um
triângulo equilátero basta usar o Teorema de Pitágoras:
2
l
2
l2
4l 2 − l 2
l
l
l = h +   ∴ h2 = l 2 −   ∴ h2 = l 2 −
∴ h2 =
∴
4
4
2
2
2
l
l
3l 2
3l 2
l 3
∴ h=
∴ h=
4
4
2
l
h2 =
l
h
2
2
2
l
1. 3. Ângulos de um polígono regular.
âe
âi
âe
âe âi
âi
âc
o
âi
âe
âi
n = número de lados do polígono
âc = ângulo central
âi = ângulo interno
si = soma dos ângulos internos
âe = ângulo externo
se = soma dos ângulos externos
d = número de diagonais
s
(n − 2) ⋅180°
360°
si = (n − 2) ⋅ 180° âi = i =
n
n
n
se
(n − 3) ⋅ n
s e = 360° âe =
d=
n
2
âc =
âe
1. 4. Apótema e lado de polígonos inscritos numa circunferência.
D
Quadrado:
l 2 = R 2 + R 2 ∴ l 2 = 2R 2 ∴ l = R 2
l
R 2
a= ∴ a=
2
2
l
l
l
R
2
A
C
a
l
B
Apostila de Matemática (por Sérgio Leal Jr.)
Hexágono Regular
l=R
R 3
2
A
E
l
l
l
D
R
a=
F
60º
l
l
a
C
l
B
Triângulo equilátero
A
l=R 3
a=
R
2
l
l
a
B
R
C
l
1. 5. Área de algumas figuras planas
Triângulo
s=
s=
ah
2
A
p ⋅ ( p − a )( p − b )( p − c ) Sendo p =
a+b+c
2
ab
bc
ac
s=
⋅ senc s = ⋅ sena s =
⋅ senb
2
2
2
b
c
B
h
C
a
*no triângulo equilátero o área pode ser calculada dessa forma
l2 3
.
s=
4
Retângulo
Quadrado
s = a ⋅b
s = a2
b
a
a
3
a
Paralelogramo
s = a⋅h
h
a
Círculo
s = π ⋅ R2
R
*o comprimento da circunferência é calculado pela
seguinte fórmula: c = 2 ⋅ π ⋅ R
Losango
s=
D
D⋅d
2
d
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1 - Num terreno de 99 m² de área será
construída uma piscina de 7 m de
comprimento por 5 m de largura, deixando um
recuo x ao seu redor para construir um
calçadão. Dessa forma o recuo x deve medir:
A-1m
B-2m
C-5m
D-8m
x
7m
x
x
5m
x
Apostila de Matemática (por Sérgio Leal Jr.)
2 - Qual é a área do triângulo de lados medindo respectivamente 5 cm, 5 cm e 6
cm?
3 - Um círculo tem 12π mm de circunferência. Calcule sua área.
4 - Por quanto devemos multiplicar o raio de um círculo para que sua área
triplique?
5 - Determinar a área de um hexágono regular sabendo que seu apótema mede
2 3 cm.
Para mais exercícios consulte os exercícios suplementares (no final da apostila).
Respostas: 1 - B; 2 - 12 cm²; 3 - 36π mm²; 4 -
3 ; 5 - 96 3 cm².
2. PRISMAS
Entre os poliedros mais conhecidos, neste capítulo o destaque será os prismas,
veja alguns exemplos.
2. 1. Prisma reto
O prisma é reto quando as arestas
laterais são perpendiculares às bases, e
oblíquo quando não o são.
Prisma reto
Prisma oblíquo
2. 2. Área da superfície de um prisma
Consideraremos para todo prisma:
• superfície lateral: é formada pelas faces laterais;
• área lateral: (Al): é a área da superfície lateral;
• superfície total: é formada pelas faces laterais e pelas bases;
• área total(At): é a área da superfície total.
5
Apostila de Matemática (por Sérgio Leal Jr.)
Exemplo 1
Em um prisma hexagonal regular, a aresta da base mede 3 cm e a aresta da face
lateral mede 6 cm. Calcule a área total.
Temos na figura:
r = medida da aresta lateral = 6 cm
s = medida da aresta da base = 3 cm
Ao observar a figura vemos que:
Al = 6(r ⋅ s ) = 6(6 ⋅ 3) = 108cm 2
Lembrando que a área do hexágono será:
6l 2 3
(neste caso l é s) e que são duas bases temos:
4
2 ⋅ 6 ⋅ s 2 3 12 ⋅ 3 2 3 12 ⋅ 9 ⋅ 3
=
=
= 27 3cm 2 . Nesse caso a área total é dada por:
4
4
4
At = Al + Ab = 108 + 27 3 cm 2 = 27 4 + 3 cm 2
r
s
(
)
(
)
Obs.: a área da superfície total de um cubo será dada pela fórmula s = 6a 2 , sendo
a a medida de sua aresta
2. 3. Volume
Para calcular o volume de um prisma qualquer utilizamos a seguinte fórmula:
v = Ab ⋅ h
Exemplo 2
Qual é o volume de concreto necessário para construir uma laje de 20 cm de
espessura em uma sala de 3 m por 4 m?
Área da base = Ab = 3 ⋅ 4 = 12m 2
Volume = Ab ⋅ h = 12m 2 ⋅ 0,20m = 2,40m 3
São necessários 2,40 m³ de concreto.
Exemplo 3
Sabendo que foram gastos 0,96 m² de material para se montar uma caixa cúbica,
calcule o volume dessa caixa.
Neste caso temos que a área total do cubo é:
0,96m² = 9600cm²
Sabemos que todas as faces de um cubo são iguais e que cada uma dela tem
área de a², sendo assim temos:
At = 6a² = 9600cm² a² = 1600 a = 40 cm
Como v = a³, temos:
V = 40³ cm³ = 64000 cm³ = 0,064 m³
O volume dessa caixa é 0,064 m³
Obs.: o volume de cubo poderá ser dado pela seguinte fórmula v = a 3 , sendo a a
medida de sua aresta.
2. 4. Diagonal de um prisma
6
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H
G
E
F
Para um paralelepípedo de dimensões a, b
e c, temos:
d = medida da diagonal do paralelepípedo
x = medida da diagonal da base
Na figura podemos localizar dois triângulos
retângulos:
H
D
d
c
b
x
A
a
c
B
D
D
C
x
A
b
a
B
d
x
B
Como o triângulo ABD é retângulo em A,
temos, pela relação de Pitágoras:
x² = a² + b² (1)
Como o triângulo DBH é retângulo em D,
temos, pela relação de Pitágoras:
d² = x² + c² (2)
Substituindo 1 em 2, vem:
d² = x² + c² = a² + b² + c² d = a 2 + b 2 + c 2
No cubo, em particular, temos:
d = a 2 + a 2 + a 2 = 3a 2 = a 3 d = a 3
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
6 - Qual o volume de uma caixa d’água de 2 m de comprimento, 1,5 m de largura
e 1,2 m de altura?
7 - Um prisma de base triangular regular tem 5 3 cm de aresta de base e 6 cm de
altura. Calcule sua área total.
8 - Quanto mede a diagonal de um paralelepípedo reto retangular no qual as
dimensões são 10 cm, 6 cm e 8 cm?
9 - O volume de um prisma de base quadrada é 700 cm³. O perímetro da base é
de 40 cm. Calcule a altura e a área total do prisma.
10 - A base de um prisma reto é um hexágono regular de lado 8 cm. As faces
laterais desse prisma são quadradas. Calcule o volume e a área total do prisma.
11 - Qual o volume de um prisma cuja base é um triângulo eqüilátero de 6 dm de
perímetro, sendo a altura do prisma o dobro da altura da base?
12 - Se aumentarmos de 1 m a aresta de um cubo, a sua área lateral aumenta 164
m². Calcule o volume do cubo original.
7
Apostila de Matemática (por Sérgio Leal Jr.)
Para mais exercícios consulte os exercícios suplementares (no final da apostila).
255 3
cm²; 8 - 10 2 cm; 9 - h = 7 cm, At = 480 cm²; 10 2
v = 768 3 cm³, At = 192 2 + 3 cm²; 11 - 6 dm³; 12 - 800 m³.
Respostas: 6 - 3,6 m³; 7 -
(
)
3. Pirâmides
Dado um polígono convexo, contido em um plano e um vértice
fora desse plano, chamamos de pirâmide o conjunto de todos
os pontos que partem do polígono convexo e terminam no
vértice (ou vice-versa). Da mesma forma que os prismas,
podem ser retas, quando todas suas arestas laterais são
congruentes, ou oblíquas, quando pelo menos uma aresta
lateral é diferente das demais
3. 1. O tetraedro
Quando a pirâmide é reta e também tiver suas faces eqüiláteras será chamada de
tetraedro regular. Já que todas as faces são congruentes, qualquer uma delas
pode ser considerada base.
3. 2. Apótema da pirâmide
Não confunda com apótema da base. Enquanto apótema da base é a linha
perpendicular a aresta da base e que começa/termina no centro do polígono, o
apótema da pirâmide começa/termina no vértice exterior ao plano da região
poligonal e forma um ângulo reto com a aresta da base.
3. 3. Os triângulos retângulos numa pirâmide
Em toda pirâmide podemos destacar 4 importantes triângulos retângulos nos quais
aparecem:
• a aresta da base (l);
• a aresta lateral (b);
• o raio da base (r);
• a apótema da pirâmide (a);
• a apótema da base (c);
• a altura da pirâmide (h).
Veja, nesta pirâmide regular pentagonal, a aplicação da relação de Pitágoras
nesses triângulos:
∆ VOM
∆OMA
∆VMA
V
V
∆VOA
V
2
2
a2 = h2 + c2
l
l
2
2
2
2
2
2
2
b =h +r
r =c + 
b = a + 
2
2
O
O
M
O
M
M
8
A
A
A
Apostila de Matemática (por Sérgio Leal Jr.)
3. 4. Área da superfície de uma pirâmide
Assim como nos prismas, consideraremos para toda pirâmide:
• superfície lateral: é formada pelas faces laterais;
• área lateral: (Al): é a área da superfície lateral;
• superfície total: é formada pelas faces laterais e pela base;
• área total(At): é a área da superfície total.
Exemplo 4
Uma pirâmide regular hexagonal tem 8 cm de altura e a aresta da sua base mede
3 3 cm. Vamos calcular a área total.
l1
l
P
Sabemos que:
 At = Ab + Al

a = l 3
 1
2

2
A = 6 ⋅ l 3
 b
4

r =l

2
 2
l
2
2
r = l = a1 +  
2

a 2 = h 2 + a 2
1

l = 3 3

h = 8
Cálculo de Ab (área da base):
(3 3 ) ⋅
= 6⋅
2
Ab
4
3
=
6 ⋅ 9 ⋅ 3 3 81 3
=
≅ 68,85
4
2
Cálculo de a1 (apótema da base):
2
3 3
27 81
9
 a12 = 27 −
= a + 
=
a
=
1

4
4
2
 2 
Cálculo da a (apótema da pirâmide):
( )
3 3⋅ 3 9
a1 =
= ou 3 3
2
2
2
2
1
2
81 337
9
a = 8 +   = 64 +
=
= 84,25 a = 84,25 ≅ 9,1
4
4
2
Cálculo de Al (área lateral):
la
Al = 6 ⋅ = 3 ⋅ 3 3 ⋅ 9,1 ≅ 139,23
2
Cálculo de At (área total):
At = Ab + Al = 68,85 + 139,23 = 208,08cm 2
2
2
3. 5. Volume de uma pirâmide
Para se calcular o volume de qualquer pirâmide a fórmula a ser usada será:
A ⋅h
v = b , sendo v o volume, Ab a área da base e h a altura.
3
9
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Exemplo 5
A aresta da base de uma pirâmide quadrada mede 15 cm e sua altura 9 cm.
Calcule o volume.
v=
15 2 ⋅ 9
= 675cm 2
3
Exemplo 6
Calcule o volume da peça abaixo.
35 cm
20 cm
A peça ao lado pode ser separada em
duas partes: um cubo e uma pirâmide.
volume do cubo
v = 20 3 = 8000cm 3
20 cm volume da pirâmide
20 2 ⋅ (35 − 20) 400 ⋅ 15
v=
=
= 2000cm 3
3
3
20 cm
volume total
vt = 8000 + 2000 = 10000cm 3 ou 10dm 3
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
13 - Uma pirâmide regular hexagonal tem 10 cm de altura e a aresta da sua base
mede 4 cm. Calcule:
a) o apótema da base;
b) o apótema da pirâmide;
c) a aresta lateral;
d) a área da base;
e) a área lateral;
f) a área total;
g) o volume.
14 - Consideremos uma pirâmide regular de base quadrada. O seu volume é 384
m³ e a aresta da base mede 12 m. Calcule a altura e a área lateral da pirâmide.
15 - Num tetraedro regular, a aresta mede 2 3 cm. Calcule:
a) a altura do tetraedro;
b) a área total;
c) o volume.
16 - Uma pirâmide cuja base é um quadrado de lado a tem o mesmo volume que
um prisma cuja base é um quadrado de lado 2a. Quantas vezes menor é a altura
da pirâmide em relação a altura do prisma?
Para mais exercícios consulte os exercícios suplementares (no final da apostila).
10
Apostila de Matemática (por Sérgio Leal Jr.)
Respostas: 13 - a) 2 3 cm, b) 4 7 cm, c) 2 29 cm, d) 24 3 cm², e) 48 7 cm², f)
24 3 + 2 7 cm², g) 136cm³; 14 - h = 8m, Al = 240 m²; 15 - a) 2 2 cm, b) 12 3 cm²,
(
)
c) 2 6 cm³; 16 - 12 vezes.
4. Cilindros
O cilindro é o conjunto de pontos formados pela translação de uma círculo. A
superfície do mesmo é formada por duas partes planas, suas bases, e uma parte
arredondada, que é a superfície lateral. A sua altura
é a distância entre as duas bases. A reta que passa
no centro do cilindro é seu eixo. Os segmentos
paralelos ao eixo, cujas extremidades são pontos
das circunferências da base, são chamados de
geratrizes.
Não confunda geratriz com altura, elas só são iguais
nos cilindros retos, ou seja, naqueles que o eixo é
perpendicular às bases.
4. 1. Área da superfície
A superfície de um cilindro é formada pelas bases e pela superfície lateral, onde:
Ab = 2πR 2 e Al = 2πRh , portanto: At = Al + Ab = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R ) At = 2πR(h + R ) .
Exemplo 7
Uma lata de refrigerante tem forma cilíndrica, com 4 cm de raio nas bases e 15 cm
de altura. Quantos centímetros quadrados de material são necessários,
aproximadamente, para fabricar essa lata de refrigerante? (Use π = 3,14)
Usando a fórmula:
At = 2πR(h + R ) = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 4 ⋅ (15 + 4) = 25,12 ⋅ 19 = 477,28
Serão necessários, aproximadamente, 477,28 cm² do material.
4. 2. Volume
O volume do cilindro é calculado da mesma forma que o volume de um prisma:
área da base vezes altura, ou seja: v = Ab ⋅ h = πR 2 ⋅ h , portanto o volume de um
cilindro é v = πR 2 h
Exemplo 8
Calcular o volume da lata do exemplo 7.
Já sabemos que R = 4 cm, h = 15 cm e que usamos π = 3,14, portanto:
v = πR 2 h = 3,14 ⋅ 4 2 ⋅ 15 = 753,6
O volume da lata é 753,6 cm³
11
Apostila de Matemática (por Sérgio Leal Jr.)
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
17 - Qual o volume de um cilindro de 4 cm de diâmetro e 5 cm de altura?
18 - Calcule o raio da base do cilindro reto de 81π cm³ de volume e 9 cm de
altura?
19 - Qual o volume do cilindro equilátero inscrito no cubo de volume 64 m³?
20 - Um cano tem 10 cm de diâmetro e 1,5 m de comprimento. Sabendo que ele
foi tampado num dos lados, qual a quantidade de água, em ml, que consigo
colocar no cano? (Use π = 3,14)
Para mais exercícios consulte os exercícios suplementares (no final da apostila).
Respostas: 17 - 20π cm³; 18 - 3 cm; 19 - 16π cm³; 20 - 1178ml.
EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES
21 - A área total de um prisma reto de base
quadrada é 190 cm² e a área da base é igual a 25
cm². O volume deste prisma é:
a) 175 cm³
b) 215 cm³
c) 190 cm³
d) 165 cm³
e) NDA
22 - A área da superfície externa de um paralelepípedo retângulo é 52 cm² e duas
de suas arestas são 2 m e 3 m. Então o seu volume é:
a) 12 m³
b) 6 m³
c) 48 m³
d) 24 m³
e) NDA
23 - Numa pirâmide regular, estão em ordem decrescente de comprimento:
a) aresta lateral, apótema da pirâmide, altura da pirâmide
b) apótema da pirâmide, aresta lateral, altura da pirâmide
c) altura da pirâmide, apótema da pirâmide, aresta lateral
d) aresta lateral, altura da pirâmide, apótema de pirâmide
e)NDA
12
Apostila de Matemática (por Sérgio Leal Jr.)
24 - Um prisma e uma pirâmide de bases congruentes têm o mesmo volume.
Então:
a) têm também a mesma altura
b) a altura do prisma é o triplo da altura da pirâmide
c) a altura da pirâmide é o triplo da altura do prisma
d) têm a mesma área lateral
e) NDA
25 - A área da superfície lateral de um cilindro reto de altura 10 cm é 60π cm².
Então seu volume é:
a) 90π cm³
b) 180π cm³
c) 360π cm³
d) 270π cm³
e) NDA
26 - Um cilindro reto tem 4 cm² de área lateral e 6 cm³ de volume. A sua altura
vale:
2π
cm
a)
3
3
b)
cm
2π
2
c)
cm
3π
3π
d)
cm
2
e) NDA
27 - A seção que contém o eixo de um cilindro equilatero é um quadrado de 4 m²
de área. O volume do cilindro é:
a) 4π m³
4π
b)
m³
3
c) 2π m³
d) 2 m³
e) NDA
28 - Deve ser construído um tanque para gasolina, de forma cúbica, com
capacidade para 64 litros. A aresta do tanque deve medir:
a) 8 dm
b) 4 dm
c) 0,4 dm
d) 0,8 dm
e) 2 dm
29 - Determinar a medida da aresta de um cubo sabendo que a área total e o
volume medem respectivamente Xm² e Xm³.
a) 1 m
b) 2 m
c) 3 m
d) 4 m
13
Apostila de Matemática (por Sérgio Leal Jr.)
e) 6 m
30 - Seja c um cubo de aresta a e volume s. Seja c’ um cubo cuja aresta tem
comprimento igual à metade de a. Assinale a alternativa que nos dá o volume s’
de c’:
s
a) s ' =
2
s
b) s ' =
4
s
c) s ' =
8
d) s ' = s ⋅ 3 a
s
e) s ' = 3
a
31 - Sabe-se que as medidas das arestas de um paralelepípedo retângulo são
diretamente proporcionais a 2, 3 e 4 e a soma dessas medidas é 18 m. Então o
volume desse paralelepípedo é:
a) 24 m³
b) 96 m³
c) 129 m³
d) 80 m³
e) 192 m³
32 - Um construtor quer construir um tanque com capacidade para 100.000 litros
de água com a forma de um paralelepípedo. Sejam l, c e h, respectivamente, as
medidas da largura, do comprimento e da altura do referido tanque. Sabendo-se
2l
que tais dimensões devem verificar as igualdades c = 5h e h = , quais devem
5
ser os valores para l, c e h?
a) c = 100 m
l = 50 m
h = 20 m
b) c = 50 dm
l = 20 dm
h = 10 dm
c) c = 100 dm l = 50 dm
h = 20 dm
d) c = 1 m
l=5m
h=2m
e) c = 0,1 m
l = 0,1 m
h = 0,2 m
33 - Considere um prisma reto cuja aresta lateral e aresta da base têm medidas e
que a base é um losango cujas diagonais medem 6 cm e 8 cm. O volume e a área
lateral deste prisma são, respectivamente:
a) 120 cm³ e 50 cm²
b) 120 cm³ e 100 cm²
c) 150 cm³ e 2500 cm²
d) 150 cm³ e 175 cm²
e) 120 cm³ e 25 cm²
34 - As bases de dois primas regulares equivalentes, são respectivamente, um
quadrado circunscrito a um círculo e um triangulo equilatero inscrito nesse círculo.
Sendo h a altura de o prisma triangular, obtém-se para a altura do prisma
quadrangular o seguinte resultado:
16h
a)
3 3
14
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3h 3
b)
16
8h
c)
3 3
3 3h
d)
8
e) NDA
35 - Determine o valor da expressão
V
, onde V represente o valor em m³ do
126
volume de uma pirâmide quadrangular reta, sabendo-se que o lado do quadrado e
a aresta lateral da pirâmide medem, respectivamente, 6 e 12 metros.
36 - Um prisma e uma pirâmide de bases congruentes, têm a mesma altura, então
esses sólidos:
a) têm o mesmo volume
b) têm a mesma área lateral
c) o volume do prisma é três vezes o volume da pirâmide
d) o volume da pirâmide é três vezes o volume do prisma
e) o volume do prisma é duas vezes o volume da pirâmide
37 - A diferença entre o volume de um cubo de aresta igual a 6 m e o de uma
pirâmide quadrangular de altura igual 9 m cuja diagonal do quadrado base mede 4
m é:
a) 144 m³
b) -36 m³
c) 12 m³
d) 192 m³
e) 72 m³
38 - O volume de um cilindro de raio da base 2 m e a altura 30 dm vale:
a) 120π m³
b) 60π m³
c) 1200π m³
d) 6π m³
e) 12π m³
39 - Tem-se uma área circular de 5 m de diâmetro para construir um reservatório
com a forma de um cilindro circular reto, capaz de conter 37.500l de álcool.
Assinale a alternativa que corresponde à altura correta do reservatório:
a) 10π dm
10
b)
dm
π
c)
d)
36
π
60
π
dm
dm
e) 60π DM
40 - Num prisma retangular de base hexagonal, a área lateral mede 36 m2 e a
altura é 3 m. A aresta da base é:
15
Apostila de Matemática (por Sérgio Leal Jr.)
a) 2m
b) 4m
c) 6m
d) 8m
d) 10m
41 - Uma pirâmide quadrangular regular tem 8 m de altura e 10 m de apótema. O
seu volume é:
a) 1150m3
b) 298m3
c) 96m3
d) 384m3
e) 48m3
42 - Um tetraedro de 6 cm de aresta tem altura igual a:
a) 2 3 cm
b) 3 2 cm
c) 2 6 cm
d) 6 2 cm
e) 24 cm
43 - Um prisma reto tem por base triângulos equiláteros de lado b. Calcule seu
volume, sabendo-se que a ara de cada face lateral é o dobro de uma das bases.
a) b 3
2b 3
b)
8
3b 2
c)
8
2b 2
d)
8
3b 3
e)
8
44 - Duas latas têm forma cilíndrica. A lata mais alta tem o dobro da altura da
outra, mas seu diâmetro é a metade do diâmetro da lata mais baixa. Em qual das
duas latas se utiliza menos material?
21 - A
22 - D
23 - A
24 - C
25 - A
26 - C
27 - C
28 - B
29 - E
30 - C
31 - E
32 - C
RESPOSTAS
33 - B
34 - B
35 - 12
36 - C
37 - D
38 - E
16
39 - D
40 - A
41 - D
42 - C
43 - E
44 - Na mais alta