RESISTÊNCIA DOS
MATERIAIS II
Monitor: Luiz Henrique Barbosa Muniz
Disciplina: Resistência dos Materiais II
Professora Orientadora: Eliane Maria
ANÁLISE TRIAXIAL
DE TENSÃO
APLICAÇÃO DO CÍRCULO
DE MOHR
APLICAÇÃO DO CÍRCULO DE MOHR
ESTADO TRIAXIAL: x y Z  x  y  Z
Representação:
Eixos principais: a b c
b
b
a
c
c
a
Tensões principais: a b c
CÍRCULO DE MOHR

 MAX = a - c
2
b
c
a

0
c
b
a
ENSAIO DE TRAÇÃO UNIAXIAL
Y
Y
Y
y = Tensão de escoamento
x=0
y=Y
xy=0
I= Y
II= 0
x e y são tensões principais pois
ESTRUTURA SUBMETIDA A ESTADO
UNIAXIAL DE TENSÃO
P
X
P
Y = Tensão de escoamento do material no ensaio de tração
Dimensionamento:
x
<
Y
CASO DE ESTADO PLANO DE TENSÃO
P
P
II
X
xY
I
Estado de tensão diferente do estado uniaxial em que se encontra o
corpo de prova do ensaio a tração
Adotar algum critério de
ruptura!
CRITÉRIOS DE RUPTURA
PARA MATERIAIS DÚCTEIS:

MÁXIMA TENSÃO DE CISALHAMENTO

MÁXIMA ENERGIA DE DISTORÇÃO
CRITÉRIO DE MÁXIMA TENSÃO DE
CISALHAMENTO
CONDIÇÕES DE SEGURANÇA:
O máx no elemento tem que ser menor do que a tensão de cisalha mento correspondente a um corpo de prova do mesmo material,
que escoa no ensaio de tração.
1º CASO: I > 0 e II > 0
a = I
b = II
c = 0

 MAX = I
2
Condições de Segurança:
i)  MAX < 
ii) I < y
2
2
iii) I < y
c
0
b = II
a=I

2º CASO: I < 0 e II < 0
a = 0
b = I
c = II

 MAX = II
2
a
Condições de Segurança:
i)  MAX < 
ii) II
<
2
iii) II
y
2
<
y
c = II
b=I
0

3º CASO: I > 0 e II < 0
a = I
b = 0
c =
II

 MAX = I - II
2
Condições de Segurança:
i)  MAX < 
ii) I - II < y
2
2
iii) I - II < y
b
c = II
0
a=I

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
II
Hexágono de Tresco
y
y
y
I
y
Estado de Tensão representado por um ponto P (I , II )
* Se o ponto P agir dentro da área indicada
SEGURO!
* Se o ponto P agir fora da área indicada
rompe por escoamento do material.
elemento
CRITÉRIO DE MÁXIMA ENERGIA DE
DISTORÇÃO
CONDIÇÃO DE SEGURANÇA:
O maior valor de energia de distorção por unidade de volume tem
que ser menor do que a energia de distorção necessária para provo car o escoamento no corpo de prova de mesmo material submetido a
ensaio de tração.
ENERGIA DE DISTORÇÃO
Energia de distorção por unidade de volume em um
material isotrópico em estado plano de tensão:
2
2
Ud = 1 (I - II x I + II )
6g
g = Módulo de elasticidade transversal
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
II
Elipse
y
y
y
I
y
* Se o ponto P(I ; II ) cair dentro da área delimitada pela elipse
SEGURO!
CRITÉRIOS DE RUPTURA
PARA MATERIAIS FRÁGEIS:


CRITÉRIO DE COULOMB

CRITÉRIO DE MOHR
0
U
ε
CRITÉRIO DE MÁXIMA TENSÃO NORMAL OU
CRITÉRIO DE COULOMB
CONDIÇÃO DE SEGURANÇA:
O elemento rompe quando a máxima tensão normal atuante atinge
o valor de tensão última u, obtido por meio de ensaio de tração
de um corpo de prova de mesmo material. Isto leva à:
I < U
II < U
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
II
u
u
u
I
u
Se o ponto P(I ; II ) cair dentro da área delimitada
SEGURO!
Deficiência: considera as resistências à tração e a compressão
iguais.
CRITÉRIO DE MOHR
Considerando que foram feitos ensaios de tração e compressão em
um material e foram obtidos:
UT
Tensão Última de Tração;
UC
Tensão Última de Compressão;
ENSAIO DE TRAÇÃO
UT
PUT
I =  UT
II = 0
PUT
ENSAIO DE COMPRESSÃO
UC
PUC
I = 0
II =  UC
PUC
CÍRCULO DE MOHR PARA O ENSAIO DE
TRAÇÃO E COMPRESSÃO


UC
UT
CÍRCULO DE MOHR PARA O ENSAIO DE
TRAÇÃO E COMPRESSÃO
Condição de Segurança:
O círculo de Mohr, que representa o estado de tensão, fica
inteiramente contido em qualquer dos dois círculos, ou seja:
I > 0
I < UT
II > 0
II < UC
I < 0
I < UT
II < 0
II < UC
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
II
UC
UT
UT
I
UC
Se P (I , II ) cair dentro de algumas áreas quadradas
SEGURO!