LISTA DE EXERCÍCIOS #1 - ANÁLISE VETORIAL EM FÍSICA
1. Dados os pontos A(3, −1, 1), B(2, 0, 3) e C(−2, 1, −3), determine
(a) Equação vetorial da reta que passa por A e B.
(b) Equação vetorial da reta que passa por B e C.
(c) Equação vetorial do plano que contém os três pontos.
(d) Equação vetorial de uma reta qualquer perpendicular ao plano.
2. Um objeto em movimento retilı́neo uniforme passa pelos pontos A(2, 0, 4) em t = 0 e
B(1, 3, −1) em t = 2 min. As coordenadas dos pontos são dadas em metros. Escreva a
equação da reta descrita pelo objeto. Ache sua velocidade (vetorial) em m/s. Supondo que
ele mantenha o MRU, qual a sua posição em t = 5 min?
3. Uma abelha parte de uma flor situada em A(4, 0, 1) em direção a uma flor em B(3, −1, 1),
levando 10 s para chegar. Em seguida, ela parte para uma flor C(0, 1, 1), levando 15 s para
isso. A partir de C, ela alcança a flor D(−2, −1, 1) em 20 s, retornando novamente para
A, em 10 s. As coordenadas dos pontos são dadas em centı́metros.
(a) Determine os deslocamentos executados pela abelha em cada intervalo de tempo, e
as velocidades médias.
(b) Qual o deslocamento total da abelha? Qual a distância efetivamente percorrida?
4. Na figura abaixo temos um quadrilátero de vértices A, B, C e D. Os pontos E, F, G e H
são os pontos médios dos lados desse quadrilátero. Mostre que EFGH é um paralelogramo.
C
F
B
E
G
A
H
D
5. Considerando os versores
â = cos αı̂ + sen α ĵ
b̂ = cos βı̂ + sen β ĵ
demonstre a relação
sen(α − β) = sen α cos β − sen β cos α
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6. Na figura abaixo temos um paralelogramo de vértices A, B, C e D. Os pontos G e H são os
pontos médios dos lados AD e CD, respectivamente. Mostre que a diagonal AC é dividida
em três partes iguais pelos pontos E e F.
B
C
F
H
E
A
D
G
7. Considere um triângulo de vértices A, B e C, como mostra a figura abaixo. Os pontos
médios dos lados são D, E e F.
Q
C
D
P
A
E
B
F
(a) Considere um dado ponto P qualquer no interior do triângulo. Mostre que
−−
→ −−→ −−→ −−→ −→ −→
PA + PB + PC = PD + PE + PF
(b) Considere um ponto qualquer Q fora do triângulo. Nesse caso também vale
−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→
QA + QB + QC = QD + QE + QF
?
8. Uma placa retangular está sujeita a três forças, que são aplicadas a ela por meio de ganchos.
As forças são: F~1 = 10ı̂ + 20 ĵ − 10 k̂, aplicada em A(−1, 2, 4), F~2 = −12ı̂ + 20 ĵ + 25 k̂,
~3 = 20ı̂ − 5 ĵ + 15 k̂, aplicada em C(1, 1, 1). Todas as unidades
aplicada em B(0, 3, 1), e F
são do SI.
(a) Calcule os módulos de cada força.
(b) Determine a força resultante sobre o objeto. Ele está em equilı́brio translacional (com
relação a forças)?
(c) Determine o módulo da força resultante, e o compare com a soma dos módulos individuais de cada força. O valor é o mesmo?
(d) Determine o torque exercido por cada força sobre o objeto. Ache o torque resultante.
O objeto está em equilı́brio rotacional (com relação a torques)?
(e) Suponha que queiramos que o objeto passe a estar em equilı́brio, tanto translacional quanto rotacional. Nesse caso, uma força F~4 deve ser aplicada em algum ponto
P(x, y, z). Quanto vale F~4 ? Obtenha uma equação ou equações envolvendo as coordenadas de P.
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9. Dois objetos esféricos com massas mA = 3 kg e mB = 5 kg estão situados nos pontos
A(−1, 5, 2) e B(3, 0, −2).
(a) Determine a força gravitacional exercida pelo corpo A sobre o B.
(b) Determine a força gravitacional exercida pelo corpo B sobre o A.
(c) Determine a força gravitacional exercida pelos dois corpos sobre um terceiro objeto
esférico de massa mC = 1 kg situado em C(0, 2, −3).
10. Duas cargas eétricas pontuais são colocadas nos pontos A(0, 1, −3) e B(1, 0, 4). As cargas
são QA = 1,6 µC e QB = −3,2 µC.
(a) Determine a força elétrica exercida pela carga A sobre a B.
(b) Determine a força elétrica exercida pela carga B sobre a A.
(c) Determine a força elétrica exercida pelas cargas sobre uma terceira carga pontual
QC = 1,6 µC situado em C(1, 2, 3).
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