Mecânica dos Fluidos II
(MEMec, MEGE e LEAN)
Problemas da semana 5
13 a 17 de Outubro 2014
Problema 1
Um pequeno motor de foguete funciona num banco de ensaios, rodeado de uma atmosfera à pressão
p∞ , que se pode considerar aproximadamente uniforme, nas condições do ensaio. O foguete liberta
um caudal mássico ṁ1 de gás para a atmosfera. A secção de saı́da tem uma área A1 e nessa secção
a massa volúmica do gás é ρ1 . Por simplificação, considere que o escoamento é uniforme à saı́da.
a) Calcule a velocidade média à saı́da do foguete.
b) Determine a força propulsora do foguete, nas condições
do ensaio.
c) Se a pressão exterior aumentar uniformemente em toda
a superfı́cie do motor, a força propulsora altera-se?
Se a pressão p1 for inferior a p∞ , a força propulsora
altera-se?
ṁ1 = 80 kg/s
d) Se for necessário aumentar o volume do motor, para
ampliar a capacidade dos depósitos de combustı́vel
A1 = 0,8 m2
ρ1 = 0,05 kg/m3
e de comburente, isso afecta a força propulsora do
motor?
Soluções: A velocidade média à saı́da é 2000 m/s; a força propulsora é 1,6 × 105 N. O aumento
uniforme da pressão p∞ não influencia a força propulsora; se a pressão p1 baixasse em relação a p∞ ,
a força propulsora reduzia-se de (p∞ − p1 ) A1 . O integral de volume não influencia a força propulsora
porque o escoamento é estacionário.
Problema 2
Um tubo, estendido pelo chão, descreve um arco de 120◦ com um raio de 0,5 m. Por simplicidade,
admita que a atmosfera exterior tem uma pressão uniforme patm = 105 Pa, que a pressão à saı́da é a
mesma patm e que na secção de entrada a pressão é uniforme p1 = patm + 1,7 × 105 Pa.
A água que circula no interior do tubo tem uma massa
volúmica ρ = 103 kg/m3 . O tubo tem uma secção interna
de 2,5 cm de diâmetro e, na saı́da, um bocal com 1 cm de
diâmetro. A velocidade média à saı́da do bocal é 18 m/s.
a) Supondo que este troço de tubo está fixo ao chão, determine as componentes horizontal e vertical da força
exercida pelos apoios.
b) Recalcule a primeira alı́nea deste problema para o caso em que o caudal volúmico de água está
a variar à taxa dQ/dt = 10−4 m3 /s2 e tudo o mais se mantém. (Não precisa de fazer as contas;
se as fizer, considere que o tubo tem um raio muito mais pequeno do que o raio do arco1 e que
os outros dados, incluindo as pressões, seriam pouco diferentes dos anteriores).
c) Considerando de novo a alı́nea 1, a força seria maior, ou menor, se o diâmetro do tubo fosse
maior e o caudal mássico e as pressões se mantivessem?
Soluções: A reacção dos apoios tem componentes fx = +22,04 N, fy = +92,10 N. Se o caudal volúmico
varia, o integral de domı́nio de ∂(ρ v)/∂t é diferente de zero (se fizer as contas, obtém fx = +22,19 N,
fy = +92,01 N). Com diâmetro maior a força seria mais pequena porque, mantendo os caudais de
massa, as velocidades seriam menores e, portanto, os caudais de quantidade de movimento também
seriam mais pequenos.
Problema 3
Considere um escoamento que entra com velocidade aproximadamente uniforme no espaço limitado
por duas placas paralelas, à distância λ uma da outra. Admita que ao fim de um comprimento
L, o perfil da componente longitudinal da velocidade é parabólico: u(L,y) = 4 Umax (λ − y) y/λ2 , em
que Umax designa o valor máximo da velocidade na secção e y é a distância a uma das placas. A
pressão à entrada é uniforme p(x = 0) = p0 e na secção à distância L da entrada também é uniforme
p(x = L) = pL . O escoamento é permanente, incompressı́vel com massa volúmica ρ e a velocidade
é nula na direcção z. Calcule a componente longitudinal da força exercida sobre o fluido, nas faces
internas das placas, entre x = 0 e x = L, por unidade de largura.
Soluções: A componente longitudinal da força exercida pelas paredes sobre o escoamento, por uni2
dade de largura, vem: fx = −ρ U02 λ + (8/15) ρ Umax
λ + [p(L) − p(0)] λ. Como, pelo balanço de
caudal, Umax = 3 U0 /2, o resultado pode rearranjar-se: fx = ρ U02 λ/5 + [p(L) − p(0)] λ ou fx =
4
2
ρ 45
Umax
λ + [p(L) − p(0)] λ.
José Maria C. S. André
1
Com esta aproximação obtém o resultado exacto, por compensação de erros, mesmo que o raio do tubo não seja
muito mais pequeno que o raio do arco.
2