Análise Vetorial
Sumário
Apenas uso pessoal
K. D. Machado
1 Integração Escalar e Vetorial
1.1
Conceitos Iniciais Sobre Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Integrais de Linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1
Comprimento de Arco de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I
Comprimento de Arco em Coordenadas Retangulares Bidimensionais
II
Comprimento de Arco em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . .
III Comprimento de Arco em Coordenadas Retangulares
Tridimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV Comprimento de Arco em Coordenadas Cilı́ndricas . . . . . . . . . . .
V
Comprimento de Arco em Coordenadas Esféricas . . . . . . . . . . . .
1.2.2
Campos Vetoriais Conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I
Trabalho e Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II
Potencial Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3
Campos Vetoriais Não-Conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I
Trabalho de Forças Não-Conservativas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II
Força Eletromotriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III Circuitação de Campo Magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3
3
6
7
7
11
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13
14
14
14
20
36
42
42
46
51
2
Análise Vetorial
K. D. Machado
Apenas uso pessoal
SUMÁRIO
K. D. Machado
Apenas uso pessoal
Capı́tulo 1
Análise Vetorial
Integração Escalar e Vetorial
C
onforme vimos nos dois capı́tulos anteriores, várias relações fı́sicas envolvem a operação de derivação, seja na forma escalar, seja na forma vetorial, tanto na forma de derivadas simples quanto na forma
de operadores diferenciais. Em geral, relações microscópicas, válidas para um dado ponto do espaço, envolvem essas operações, e talvez o exemplo mais imediato sejam as equações de Maxwell do Eletromagnetismo,
escritas na forma dada pelas equações ??. Porém, em um grande número de situações fı́sicas, relações macroscópicas são igualmente necessárias, e um exemplo elementar é o que ocorre quando temos que considerar
um sistema de partı́culas. Nesse caso, eventualmente é necessário considerar grandezas que representam somas ou médias de grandezas microscópicas, e, portanto, a ideia de somatória leva diretamente à operação
inversa à derivação, ou seja, à integração, seja ela de grandezas escalares ou vetoriais. Consequentemente,
nosso próximo assunto refere-se justamente a essa operação matemática, que veremos tanto envolvendo
grandezas escalares como vetoriais, e que resultará em propriedades e operações importantes tanto em Fı́sica
quanto em Matemática. Conforme fizemos quando iniciamos o estudo de derivadas, vamos recordar o ponto
central relacionado às integrais.
1.1
Conceitos Iniciais Sobre Integrais
O ponto inicial para o entendimento da ideia de integral consiste em tentar responder à questão: dada
uma função y = f (x), onde f (x) > 0, como a mostrada na figura 1.1, qual a área abaixo da curva (que
aparece destacada na figura) situada entre os pontos x = a e x = b?
y
y = f(x)
a
b
x
Figura 1.1: Área delimitada por uma função y = f (x) entre x = a e x = b.
Uma possı́vel resposta aproximada pode ser obtida se dividirmos a área desejada em figuras geométricas
4
K. D. Machado
1. INTEGRAÇÃO ESCALAR E VETORIAL
cuja área seja conhecida e de fácil determinação. Por exemplo, considere que o intervalo [a, b] seja dividido
em n intervalos iguais, na forma de retângulos, cujas bases são definidas pelos pontos xi e xi+1 , de modo
que a base de cada retângulo vale ∆x = xi+1 − xi . A altura de cada retângulo é considerada como sendo
dada pelo valor de y correspondente ao valor de f (x) aplicado em x = xi+12+xi , e será representado por yi ,
ou seja,
Análise Vetorial
A figura 1.2 ilustra os termos definidos acima. Note que x0 = a, xn = b e n =
y
y = f(x)
yi
a
xi xi+1
b
x
Apenas uso pessoal
xi + ∆x + xi ∆x xi+1 + xi =f
= f xi +
2
2
2
yi = f
(1.1)
b−a
∆x .
Figura 1.2: Região definida na figura 1.1 dividida em áreas
mais simples, para um cálculo aproximado.
Assim, a área de um dos retângulos, como o destacado na figura 1.2, é dada por
∆x ∆x
(1.2)
2
Note que essa área é uma aproximação para a área abaixo da curva entre os pontos xi e xi+1 , como se
percebe pela figura. A área total abaixo da curva é obtida, de forma aproximada, somando-se a área dos
retângulos, ou seja, usando a equação 1.2,
∆Ai = yi ∆x = f xi +
A≈
n−1
X
∆Ai =
n−1
X
f xi +
i=0
i=0
∆x ∆x
2
(1.3)
Podemos melhorar a aproximação acima considerando um intervalo ∆x cada vez menor. Quando o intervalo
tornar-se infinitamente pequeno, obteremos a área desejada. Assim, temos que considerar o limite quando
∆x tende a zero na equação 1.3, isto é,
A = lim
∆x→0
n−1
X
∆x ∆x
2
f xi +
i=0
(1.4)
recordando que, como n = b−a
∆x , a somatória acima torna-se uma soma infinita. Essa somatória é o que
definimos como sendo a integral definida entre os pontos x = a e x = b, ou seja,
Z
b−a
∆x −1
x=b
f (x)dx = lim
∆x→0
x=a
de modo que a área sob a curva é dada por
A=
Z
X
i=0
x=b
x=a
f xi +
f (x)dx =
Z
a
∆x ∆x
2
(1.5)
b
f (x)dx
(1.6)
1.1. CONCEITOS INICIAIS SOBRE INTEGRAIS
K. D. Machado
5
Apenas uso pessoal
Assim, a interpretação geométrica da integral de uma função y = f (x) > 0 no intervalo [a, b] é a área abaixo
da curva. Se f (x) 6 0, então podemos interpretar a integral num intervalo [a, b] como fornecendo o negativo
da área delimitada pelo eixo x e a curva descrita por f (x). E, finalmente, se a função f (x) por positiva em
algumas regiões do intervalo [a, b] e negativa em outras, podemos dividir o intervalo de forma que nas regiões
onde f (x) > 0 a integral é positiva, e corresponde a uma área positiva, e nas regiẽs onde f (x) < 0 temos
uma integral negativa, o que equivale a uma área negativa, que deve ser subtraı́da da área positiva.
É importante ressaltar que a interpretação geométrica acima pode ser estendida para mais variáveis. Por exemplo, considere
que uma superfı́cie S no espaço tridimensional seja descrita por uma função z = f (x, y), e por hipótese z > 0. Essa superfı́cie S, quando
Análise Vetorial
projetada no plano xy, resulta numa região R, como mostra a figura 1.3. Considere agora que desejamos determinar o volume da região
delimitada pela superfı́cie S e o plano xy. Nesse caso, podemos proceder de forma análoga à feita anteriormente, dividindo a região
em figuras geométricas de volumes conhecidos. Por exemplo, podemos considerar paralelepı́pedos, de altura zij = f (xi , yj ) e base dada
por ∆x e ∆y, de modo que o volume do paralelepı́pedo seja
Vij = zij ∆x∆y = f (xi , yj )∆x∆y
z
z = f(x,y)
S
y
R
x
Figura 1.3: Volume delimitado pela superfı́cie S
descrita por z = f (x, y) e o plano xy.
Assim, o volume da região é dado, aproximadamente, pela soma dos volumes dos paralelepı́pedos, ou seja,
V ≈
XX
i
j
Vij =
XX
i
f (xi , yj )∆x∆y
j
e, quando tomamos os limites ∆x → 0 e ∆y → 0, obtemos o volume da região, o que corresponde à integral
V =
ZZ
R
f (x, y)dxdy =
ZZ
f (x, y)dA
R
Além da interpretação geométrica da integral como sendo uma área (ou volume) de uma dada região,
outras grandezas também podem ser obtidas por meio de integrações. Tais grandezas podem ser escalares
ou vetoriais, dependendo do tipo de integração.
6
K. D. Machado
1.2
1. INTEGRAÇÃO ESCALAR E VETORIAL
Integrais de Linha
d~r = dxı̂ + dy ĵ + dz k̂
Em polares, pela equação ?? temos
d~r = dρ ρ̂ + ρ dθ θ̂
que fica, em cilı́ndricas, utilizando a expressão ??,
d~r = dρ ρ̂ + ρ dθ θ̂ + dz k̂
~
Por fim, em coordenadas esféricas d~r = dℓ vale, mediante ??,
Apenas uso pessoal
Análise Vetorial
Uma integral de linha, também chamada de integral de caminho, é um tipo de integração em que
é necessário definir uma curva ao longo da qual a integração é feita. Essa curva é dada por uma equação
da forma ~r = ~r(u), onde u é um parâmetro, e a integral pode resultar numa grandeza escalar ou vetorial,
e o integrando pode envolver funções vetoriais ou escalares. Aqui é interessante recordar a figura ??, e os
resultados expressos pelas equações ??–??, que indicam que o vetor d~r é um vetor tangente à curva descrita
por ~r(u). É comum indicar o vetor d~r por d~ℓ, chamado de vetor elemento de comprimento de arco. De fato,
já calculamos esse vetor anteriormente nos sistemas de coordenadas que temos utilizado. Em retangulares,
a equação ?? fornece
d~r = dr r̂ + rdθ θ̂ + r sen θ dφ φ̂
~
O uso de d~r ou dℓ para representar o vetor elemento de comprimento de arco é, em geral, uma questão
associada ao parâmetro u do qual a curva ~r(u) é função. Quando u é o tempo, e temos então um movimento
no sentido fı́sico, de modo que ~r = ~r(t), d~r representa um deslocamento infinitesimal entre dois pontos do
espaço correspondentes a dois instantes de tempo diferentes, e a curva ~r(t) é uma trajetória. Quando u é
algum outro parâmetro, a curva ~r = ~r(u) não depende do tempo, e nesse caso d~ℓ corresponde à diferença
entre as posições de dois pontos da curva situados infinitamente próximos, mas num mesmo instante de
tempo. Assim, quando ~r = ~r(u), sendo u algum parâmetro que não o tempo, a curva é um ente geométrico,
que existe inteiramente num dado instante de tempo. Por outro lado, se ~r = ~r(t), a curva, que é uma
trajetória, só existe se for considerado um intervalo de tempo. Num dado instante de tempo, temos apenas
um dos pontos dessa trajetória.
Conforme dissemos, integrais de linha são aquelas que dependem da especificação de uma curva ~r(u)
para poderem ser efetuadas. Tais integrais podem ser classificadas em algumas formas gerais, que são
a)
Z
f (~r ) dℓ
b)
Z
f (~r ) d~ℓ
Z
~ (~r ) dℓ
V
d)
C
C
C
c)
Z
~ (~r ) · d~ℓ
V
C
e)
Z
C
~ (~r ) × d~ℓ
V
~ (~r ) é uma função vetorial.
onde C é a curva descrita por ~r(u), dℓ = |d~ℓ |, f (~r ) é uma função escalar e V
As integrais dos tipos (a) e (d) resultam em grandezas escalares, ao passo que as dos tipos (b), (c) e (e)
fornecem vetores. Se a curva C for uma curva fechada, então as integrais acima podem ser escritas na forma
de integrais de linha fechadas, ou seja,
f)
I
f (~r ) dℓ
C
g)
I
C
f (~r ) d~ℓ
h)
I
C
~ (~r ) dℓ
V
i)
I
C
~ (~r ) · d~ℓ
V
j)
I
C
~ (~r ) × d~ℓ
V
onde a circunferência sobreposta ao sinal de integração indica que a curva C é uma curva fechada. Em
~ ao longo da curva C. Note que a circuitação
particular, uma integral do tipo (i) é chamada de circuitação de V
~ resulta numa grandeza escalar. Vejamos agora alguns exemplos de aplicação dessas integrais.
de V
1.2. INTEGRAIS DE LINHA
1.2.1
K. D. Machado
7
Comprimento de Arco de Curvas
Figura 1.4: Curva C descrita por ~r(u) e comprimento
L[P; Q] entre dois pontos P e Q da curva.
Apenas uso pessoal
Análise Vetorial
A integral de linha mais elementar é aquela que está associada ao problema de determinar o comprimento de arco de uma dada curva C descrita por ~r(u). Considere uma dada curva C como a mostrada na
figura 1.4. Suponha que queiramos determinar o comprimento L[P; Q] da curva C entre os dois pontos P e
Q da figura, situados nas posições ~r1 = ~r(u1 ) e ~r2 = ~r(u2 ).
Para determinar o comprimento da curva, podemos considerar os vetores d~ℓ, que são tangentes à curva
~r(u) como mostra a figura 1.5. Considerando que o módulo de cada vetor d~ℓ corresponde à distância entre
dois pontos da curva C que estão infinitamente próximos, a soma dos módulos dos d~ℓ, ou seja, dos dℓ, nos
fornece o comprimento da curva entre os dois pontos desejados. Matematicamente, temos
L[P; Q] =
Z
Q
P
|d~ℓ| =
Z
Q
dℓ
P
Figura 1.5: Vetores d~ℓ entre dois pontos P e Q
de uma curva descrita por ~r(u).
(1.7)
e a forma explı́cita dessa integral depende do sistema de coordenadas utilizado. Vejamos alguns casos particulares importantes.
I
Comprimento de Arco em Coordenadas Retangulares Bidimensionais
Em coordenadas retangulares, o vetor elemento de arco é dado pela equação ??,
8
K. D. Machado
1. INTEGRAÇÃO ESCALAR E VETORIAL
d~r = dxı̂ + dy ĵ + dz k̂
que, em duas dimensões, fica
d~r = dxı̂ + dy ĵ
(1.8)
dℓ =
Análise Vetorial
de modo que a equação 1.7 torna-se, usando 1.9,
p
dx2 + dy 2
L[P; Q] =
Q
Z
p
dx2 + dy 2
P
Apenas uso pessoal
Assim, em duas dimensões, temos, recordando que d~r = d~ℓ,
(1.9)
(1.10)
Considere agora que ~r = ~r(u) = x(u)ı̂ + y(u) ĵ, de modo que x = x(u) e y = y(u). Além disso, os pontos P
e Q correspondem a valores u1 e u2 para o parâmetro u. Nesse caso, podemos escrever
dy
du
du
dy 2
dy 2 =
du2
du
dx
du
du
dx 2
du2
dx2 =
du
dy =
dx =
Portanto, o comprimento de arco fica
ou
L[P; Q] = L[u1 ; u2 ] =
L[u1 ; u2 ] =
Z
Z
dx 2
u1
u2 r
u1
Vejamos um exemplo de aplicação.
u2 r
dy 2
dy 2
du
du
dx 2
du
du2 +
+
du
du
du2
(1.11)
Exemplo 1.1. Considere uma curva C descrita por x = 2 cos u, y = 2 sen u. Determine o comprimento de
arco entre u1 = 0 e u2 = π3 .
Para usar a equação 1.11, vamos precisar de
dx 2
dx
= −2 sen u
du
dy
= 2 cos u
du
= 4 sen2 u
du
dx 2
= 4 cos2 u
du
Assim, temos
ou
h π i Z π3 p
=
L 0;
4 sen2 u + 4 cos2 u du
3
0
h π i Z π3
=
2 du
L 0;
3
0
1.2. INTEGRAIS DE LINHA
o que resulta em
K. D. Machado
h πi
π
2π
= 2[u]03 =
L 0;
3
3
9
dy =
dy
dx
dx
de modo que 1.10 fica
ou
L[x1 ; x2 ] =
Z
x2 r
dx2 +
x1
Z
L[x1 ; x2 ] =
x2 r
1+
x1
dy 2
dx
dy 2
dx
dx2
dx
Apenas uso pessoal
Análise Vetorial
Quando ~r = ~r(u), o comprimento de arco dado pela equação 1.10 pode ser colocado na forma dada
em 1.11. Entretanto, é comum em duas dimensões termos uma curva dada por y = y(x) ou x = x(y). Nesses
casos, a equação 1.10 pode ser reescrita noutra forma. Considerando que y = y(x), e que os pontos P e Q
estão associados a valores x1 e x2 , podemos escrever
No caso de termos uma função do tipo x = x(y), então, seguindo a mesma ideia, teremos
Z y2 s
dx 2
1+
L[y1 ; y2 ] =
dy
dy
y1
(1.12)
(1.13)
O uso de 1.12 ou 1.13 depende de como a função for dada. Vejamos um exemplo de aplicação.
Exemplo 1.2. Considere a parábola dada por y = 3x2 − 2x + 4. Determine o comprimento de arco entre os
pontos (1, 5) e (2, 12).
Para obter o comprimento de arco pedido podemos usar a equação 1.12, visto que nesse caso temos
y = y(x). Vamos precisar inicialmente de
dy
= 6x − 2
dx
Então, como x1 = 1 e x2 = 2, obtemos
L[1; 2] =
Z
1
Vamos fazer uma mudança de variáveis, dada por
2
p
1 + (6x − 2)2 dx
v = 6x − 2
dv = 6 dx
v1 = 6x1 − 2 = 4
v2 = 6x2 − 2 = 10
Assim, a equação 1.2 fica
L[1; 2] =
Z
4
10
p
dv
1 + v2
6
10
K. D. Machado
L[1; 2] =
1
6
Z
10
4
p
1 + v 2 dv
(1.14)
Vamos resolver inicialmente a integral indefinida
Z p
1 + v 2 dv
Análise Vetorial
e, para isso, vamos efetuar outra mudança de variáveis, dada por
v = tg α
2
dv = sec α dα
Utilizando essa substituição, e recordando que 1 + tg2 α = sec2 α, temos
Z q
Z p
1 + v 2 dv =
1 + tg2 α sec2 α dα
ou
Z p
Z
2
1 + v dv = sec3 α dα
Queremos desenvolver agora a integral do lado direito, ou seja,
Z
Z
sec3 α dα = sec α × sec2 α dα
ou
Z
ou ainda,
A primeira integral resulta em
Z
3
sec α dα =
sec3 α dα =
Z
Z
Z
sec α(1 + tg2 α) dα
sec α dα +
Z
sec α tg2 α dα
sec α dα = ln | sec α + tg α|
A segunda pode ser feita por partes, definindo-se
Apenas uso pessoal
ou
1. INTEGRAÇÃO ESCALAR E VETORIAL
(1.15)
(1.16)
(1.17)
(1.18)
dh = sec2 α dα
s = sec α
h = tg α
ds = tg α sec α dα
Assim, temos
Z
sec α tg2 α dα = tg α sec α −
Z
sec3 α dα
Utilizando as equações 1.18 e 1.19 em 1.17, achamos
Z
Z
3
sec α dα = ln | sec α + tg α| + tg α sec α − sec3 α dα
(1.19)
1.2. INTEGRAIS DE LINHA
K. D. Machado
2
de modo que
Z
Z
sec3 α dα = ln | sec α + tg α| + tg α sec α
sec3 α dα =
1
1
ln | sec α + tg α| + tg α sec α
2
2
Análise Vetorial
Voltando então à equação 1.16, temos
Z p
1
1
1 + v 2 dv = ln | sec α + tg α| + tg α sec α
2
2
(1.20)
Apenas uso pessoal
ou seja,
11
(1.21)
Os limites de integração correspondem a ângulos α1 e α2 , de modo que, utilizando a equação 1.21 na 1.14,
temos
ou
L[1; 2] =
L[1; 2] =
iα2
1 1h
ln | sec α + tg α| + tg α sec α
62
α1
1
1
1 sec α2 + tg α2 ln
tg α2 sec α2 −
tg α1 sec α1
+
12
sec α1 + tg α1
12
12
(1.22)
Agora, recordando a substituição 1.15 e que v1 = 4 e v2 = 10, podemos determinar os valores das tangentes
e secantes acima, isto é,
v1 = tg α1 ⇒ tg α1 = 4
q
√
sec α1 = 1 + tg2 α1 = 17
v2 = tg α2 ⇒ tg α2 = 10
q
√
sec α2 = 1 + tg2 α2 = 101
Utilizando os valores acima, o comprimento de arco dado por 1.22 fica
√
1 101 + 10 1 √
1 √
L[1; 2] =
ln √
+ 10 101 − 4 17
12
12
12
17 + 4
ou
√
√
√
17
1 10 + 101 5 101
√
L[1; 2] =
ln
−
+
12
6
3
4 + 17
(1.23)
Vejamos agora o que ocorre ainda em duas dimensões, mas considerando agora o sistema de coordenadas polares.
II
Comprimento de Arco em Coordenadas Polares
Em coordenadas polares o vetor elemento de comprimento de arco é dado pela equação ??,
d~r = d~ℓ = dρ ρ̂ + ρ dθ θ̂
de modo que, nesse caso, o módulo do vetor elemento de comprimento de arco, ou simplesmente o comprimento de arco, é dado por
p
p
(1.24)
dℓ = d~ℓ · d~ℓ = dρ2 + ρ2 dθ2
12
K. D. Machado
1. INTEGRAÇÃO ESCALAR E VETORIAL
Com isso, a equação 1.7 torna-se, usando 1.24,
L[P; Q] =
Z
Q
P
p
dρ2 + ρ2 dθ2
(1.25)
Em polares, é muito comum expressar curvas na forma ρ = ρ(θ), de modo que a equação acima pode ser
reescrita, já que, nesse caso,
Análise Vetorial
Vejamos agora um exemplo de aplicação.
Apenas uso pessoal
dρ
dθ
dθ
Com isso, e considerando que os pontos P e Q são dados por P(ρ(θ1 ), θ1 ) e Q(ρ(θ2 ), θ2 ), temos
Z θ2 r 2
dρ
L[θ1 ; θ2 ] =
dθ2 + ρ2 dθ2
dθ
θ1
ou
Z θ2 r
dρ 2
ρ2 +
dθ
L[θ1 ; θ2 ] =
dθ
θ1
dρ =
(1.26)
Exemplo 1.3. Uma cardióide é descrita pela equação ρ(θ) = a(1 − cos θ), onde a > 0. Determine o
comprimento de arco entre os pontos θ1 = 0 e θ2 = π2 .
Inicialmente, vamos precisar calcular
dρ
= a sen θ
dθ
Agora, substituı́mos essa expressão e a equação da cardióide na equação 1.26, ou seja,
que fica
h π i Z π2 p
=
L 0;
a2 (1 − cos θ)2 + a2 sen2 θ dθ
2
0
h π i Z π2 p
a 1 − 2 cos θ + cos2 θ + sen2 θ dθ
L 0;
=
2
0
Como cos2 α + sen2 α = 1, podemos obter
ou
Z π2 √
h πi
=a
L 0;
2 − 2 cos θ dθ
2
0
π
h πi
√ Z 2√
1 − cos θ dθ
L 0;
=a 2
2
0
Para poder continuar, precisamos da seguinte relação trigonométrica
cos(2α) = cos2 α − sen2 α
que pode ser reescrita como
cos(2α) = 1 − sen2 α − sen2 α = 1 − 2 sen2 α
de modo que
(1.27)
1.2. INTEGRAIS DE LINHA
K. D. Machado
sen2 α =
1 − cos(2α)
2
13
(1.28)
Portanto, de 1.28, temos
α
1 − cos α
=
2
2
ou
Análise Vetorial
Utilizando agora a equação 1.29 em 1.27, temos
π r
h πi
√ Z 2
θ
L 0;
2 sen2 dθ
=a 2
2
2
0
Z π2 h πi
θ = 2a
L 0;
sen dθ
2
2
0
Agora, no intervalo [0, π2 ], sen 2θ é sempre positivo, de modo que ficamos com
ou
que fica
ou
III
Z π2
h πi
θ
L 0;
= 2a
sen dθ
2
2
0
h
h πi
θ i π2
= 4a − cos
L 0;
2
2 0
h πi
h √2
i
L 0;
= −4a
−1
2
2
h πi
√
= 2a(2 − 2)
L 0;
2
Comprimento de Arco em Coordenadas Retangulares
Tridimensionais
(1.29)
Apenas uso pessoal
sen2
(1.30)
Em coordenadas retangulares, o vetor elemento de arco é dado pela equação ??,
d~r = dxı̂ + dy ĵ + dz k̂
de modo que o módulo do vetor elemento de arco fica
dℓ =
Assim, a equação 1.7 torna-se
L[P; Q] =
p
dx2 + dy 2 + dz 2
Z
(1.31)
Q
P
p
dx2 + dy 2 + dz 2
(1.32)
14
IV
K. D. Machado
1. INTEGRAÇÃO ESCALAR E VETORIAL
Comprimento de Arco em Coordenadas Cilı́ndricas
Considerando agora coordenadas cilı́ndricas, o vetor elemento de arco é dado pela expressão ??,
d~r = dρ ρ̂ + ρ dθ θ̂ + dz k̂
dℓ =
V
Análise Vetorial
e a equação 1.7 fica
p
dρ2 + ρ2 dθ2 + dz 2
Z
L[P; Q] =
Q
P
p
dρ2 + ρ2 dθ2 + dz 2
Comprimento de Arco em Coordenadas Esféricas
Por fim, em coordenadas esféricas temos, por??,
d~r = dr r̂ + rdθ θ̂ + r sen θ dφ φ̂
O módulo correspondente é
dℓ =
p
dr2 + r2 dθ2 + r2 sen2 θdφ2
Apenas uso pessoal
Portanto, o elemento de arco fica
(1.33)
(1.34)
(1.35)
O comprimento de arco de uma curva escrita em coordenadas esféricas fica, então, considerando a equação 1.7,
L[P; Q] =
Q
Z
P
p
dr2 + r2 dθ2 + r2 sen2 θdφ2
Vejamos agora algumas outras aplicações.
1.2.2
Campos Vetoriais Conservativos
(1.36)
Existe uma classe especial de campos vetoriais V~ que se distingue por ter algumas propriedades
bastante relevantes, e que os diferencia dos demais. Tais propriedades são
1. Campos vetoriais conservativos são irrotacionais, ou seja, sendo V~ conservativo, temos
∇ × V~ = 0
(1.37)
2. Existe uma função escalar f associada a um campos vetoriais conservativo V~ tal que
V~ = ∇f
(1.38)
3. Sendo V~ um campo conservativo, a integral do produto V~ · d~ℓ ao longo de uma dada curva C, entre
dois pontos P e Q, independe da curva C considerada, ou seja,
Z
C
V~ · d~ℓ independe de C
(1.39)
1.2. INTEGRAIS DE LINHA
K. D. Machado
15
4. A circuitação de V~ ao longo de qualquer caminho fechado C é nula, se V~ for conservativo, isto é,
I
V~ · d~ℓ = 0 ,
∀C
C
(1.40)
Análise Vetorial
∇ × ∇f = 0
Apenas uso pessoal
É interessante ressaltar que, se V~ satisfizer uma das propriedades acima, automaticamente ele satisfaz
as outras três. Por exemplo, suponha que V~ satisfaça o item 1 acima, ou seja, ∇ × V~ = 0, de modo que V~
é irrotacional. Nesse caso, recordando a propriedade ??,
a qual é válida para funções f escalares, vemos que, como ∇f é um vetor (o vetor gradiente de f ), podemos
escrever V~ = ∇f , que é o que diz o item 2. Continuando, podemos agora calcular a integral de V~ · d~ℓ ao
longo de uma curva C, de um ponto P até um ponto Q, ou seja,
Z
V~ · d~ℓ
(1.41)
IC =
C
Em geral, IC , dada pela equação 1.41, depende da curva C especı́fica utilizada para o cálculo. Porém, como
V~ = ∇f , temos que calcular
Z
Z
~
~
∇f · d~ℓ
(1.42)
V · dℓ =
IC =
C
C
Relembrando agora a equação ??,
df = ∇f · d~r
vemos que a integral do lado direito em 1.42 pode ser reescrita como
Z
Z
~
~
df
V · dℓ =
IC =
C
C
ou, integrando,
IC =
Z
C
Q
V~ · d~ℓ = f P = f (Q) − f (P)
(1.43)
Note que, pela equação 1.43, a integral IC depende apenas da função escalar f aplicada nos pontos inicial (P)
e final (Q) em que a integral é feita, e não depende do caminho C feito entre estes pontos. Consequentemente,
a integral IC tem o mesmo valor, para qualquer curva C considerada, e independe de C, validando o item 3.
Podemos verificar imediatamente o item 4 já que, nesse caso, temos que calcular a circuitação de V~ ,
ou seja,
I
I
I
P
df = f P = 0
∇f · d~ℓ =
V~ · d~ℓ =
C
C
C
Assim, supondo o item 1 válido, os outros três acabam sendo consequências dele.
Partindo agora da hipótese que o item 2 seja verificado, ou seja, que V~ = ∇f (equação 1.38) temos,
pela propriedade ??, que
∇ × V~ = ∇ × ∇f = 0
e V~ é irrotacional, o que indica que o item 1 é verificado. A demonstração dos itens 3 e 4 é imediata e fica
como exercı́cio para o leitor.
Consideremos agora que o campo vetorial V~ satisfaça o item 3, ou seja, a integral de V~ · d~ℓ ao longo
de C entre dois pontos P e Q independe de C. A integral é uma função escalar do ponto inicial e do ponto
16
K. D. Machado
1. INTEGRAÇÃO ESCALAR E VETORIAL
final apenas. Para continuarmos, vamos supor que as coordenadas utilizadas sejam as retangulares, apenas
para simplificação das operações envolvidas, o que não altera o resultado final. Nesse caso, podemos escrever,
quando necessário,
V~ (x, y, z) = Vx ı̂ + Vy ĵ + Vz k̂
d~ℓ = dxı̂ + dy ĵ + dz k̂
(1.44)
f (x, y, z; x1 , y1 , z1 ) =
Z
(x,y,z)
V~ · d~ℓ
(x1 ,y1 ,z1 )
Apenas uso pessoal
Análise Vetorial
Além disso, como a integral é função dos pontos inicial e final, vamos considerar um ponto inicial fixo
P(x1 , y1 , z1 ) e um ponto final qualquer Q(x, y, z), de modo que o valor da integral será representado por
(1.45)
Note que, como a propriedade dada pelo item 3 é válida, V~ é conservativo e a integral independe do caminho
utilizado para ir do ponto inicial ao final. Considere agora que, ao invés de fazermos a integral até o ponto
Q(x, y, z), consideremos o ponto R(x + ∆x, y, z). Nesse caso, teremos
f (x + ∆x, y, z; x1 , y1 , z1 ) =
Z
(x+∆x,y,z)
V~ · d~ℓ
(x1 ,y1 ,z1 )
(1.46)
Agora, vamos calcular a diferença entre as duas integrais, ou seja, subtraindo a equação 1.45 da 1.46,
f (x + ∆x, y, z; x1 , y1 , z1 ) − f (x, y, z; x1 , y1 , z1 ) =
(x+∆x,y,z)
Z
(x1 ,y1 ,z1 )
V~ · d~ℓ −
Z
(x,y,z)
V~ · d~ℓ
(x1 ,y1 ,z1 )
Quando invertemos os limites de integração numa integral, ela troca de sinal. Efetuando essa alteração na
última integral, temos
f (x + ∆x, y, z; x1 , y1 , z1 ) − f (x, y, z; x1 , y1 , z1 ) =
Z
(x+∆x,y,z)
(x1 ,y1 ,z1 )
V~ · d~ℓ +
Z
(x1 ,y1 ,z1 )
V~ · d~ℓ
(x,y,z)
Note que podemos reunir as duas integrais numa só, já que o integrando é o mesmo, e o caminho de integração
também. Portanto,
f (x + ∆x, y, z; x1 , y1 , z1 ) − f (x, y, z; x1 , y1 , z1 ) =
Z
(x+∆x,y,z)
(x,y,z)
V~ · d~ℓ
(1.47)
O lado direito da equação acima corresponde a uma integração feita de um ponto inicial (x, y, z) até um
ponto final (x + ∆x, y, z), de modo que os dois pontos tem coordenadas y e z iguais. Isso não significa que,
ao longo de um caminho C arbitrário, y e z permanecem necessariamente constantes. Significa apenas que
o caminho C arbitrário é tal que os pontos inicial e final tem mesmas coordenadas y e z. Fazendo uso agora
das equações 1.44, temos
V~ · d~ℓ = Vx dx + Vy dy + Vz dz
(1.48)
Note que, para um caminho C arbitrário, dx, dy e dz são arbitrários, e não-nulos em geral. Porém, devemos
recordar que a integral que aparece em 1.47 é independente do caminho utilizado. Nesse caso, podemos escolher um caminho que simplifique a integração, e o caminho mais simples é aquele em que y e z permanecem
constantes entre os dois pontos (x, y, z) e (x + ∆x, y, z). Nesse caminho particular, temos dy = 0 e dz = 0,
de modo que 1.48 fica, nesse caminho,
1.2. INTEGRAIS DE LINHA
17
K. D. Machado
V~ · d~ℓ = Vx dx
(1.49)
Assim, a equacao 1.47 torna-se
Z
(x+∆x,y,z)
Vx dx
(x,y,z)
Agora, vamos dividir essa equação por ∆x, ou seja,
Análise Vetorial
f (x + ∆x, y, z; x1 , y1 , z1 ) − f (x, y, z; x1 , y1 , z1 )
1
=
∆x
∆x
Z
(x+∆x,y,z)
Vx dx
(x,y,z)
e vamos tomar o limite quando ∆x tende a zero, isto é,
lim
∆x→0
Apenas uso pessoal
f (x + ∆x, y, z; x1 , y1 , z1 ) − f (x, y, z; x1 , y1 , z1 ) =
f (x + ∆x, y, z; x1 , y1 , z1 ) − f (x, y, z; x1 , y1 , z1 )
=
∆x
1
∆x→0 ∆x
lim
Z
(x+∆x,y,z)
Vx dx
(x,y,z)
O lado esquerdo da equação acima corresponde à definição de derivada parcial da função f (x, y, z) em relação
a x, enquanto o lado direito resulta simplesmente em Vx , ou seja,
∂f
= Vx
∂x
(1.50)
Assim, conseguimos uma relação entre a função f (x, y, z) e uma das componentes do vetor V~ . Note que,
para isso, consideramos um ponto Q(x, y, z), um segundo ponto R(x + ∆x, y, z) e um ponto arbitrário
P(x1 , y1 , z1 ) para escrever as integrais nas equações 1.45 e 1.46. Seguindo a mesma ideia, ao considerar um
ponto S(x, y + ∆y, z), além de P e Q, vamos obter
∂f
= Vy
∂y
e, tendo em conta um ponto T(x, y, z + ∆z), acharemos
∂f
= Vz
∂z
de modo que o vetor V~ , dado pela equação 1.44, pode ser escrito como
∂f
∂f
∂f
ĵ +
k̂
ı̂ +
V~ (x, y, z) = Vx ı̂ + Vy ĵ + Vz k̂ =
∂x
∂y
∂z
ou
V~ (x, y, z) = ∇f
(1.51)
(1.52)
de modo que o item 2 acaba de ser satisfeito. Os itens 1 e 4 são consequência imediata dos dois anteriores.
Vejamos agora alguns exemplos de aplicação.
Exemplo 1.4. Verifique se o campo vetorial
V~ = (2y cos z − 3y 2 )ı̂ + (2x cos z − 6xy) ĵ + (4 cos z − 2xy sen z) k̂
é conservativo. Se for, obtenha a função f tal que V~ = ∇f .
(1.53)
18
K. D. Machado
1. INTEGRAÇÃO ESCALAR E VETORIAL
O modo mais simples e direto de verificar se um dado campo vetorial é conservativo consiste em
utilizar a propriedade dada no item 1, ou seja, vamos calcular o rotacional de V~ . Temos então,
Análise Vetorial
ou seja,
∇ × V~ = (−2x sen z + 2x sen z)ı̂
ĵ
∂
∂y
2x cos z − 6xy
k̂
∂
∂z
4 cos z − 2xy sen z Apenas uso pessoal
ı̂
∂
∇ × V~ = ∂x
2y cos z − 3y 2
+ (−2y sen z + 2y sen z) ĵ + (2 cos z − 6y − 2 cos z + 6y) k̂ = 0
de modo que V~ é irrotacional e conservativo. Portanto, podemos escrever V~ mediante V~ = ∇f . Assim,
temos que
∇f = V~
ou, usando a expressão ?? para o gradiente de f em coordenadas retangulares, e a também a equação 1.53,
achamos
ı̂
∂f
∂f
∂f
+ ĵ
+ k̂
=
∂x
∂y
∂z
(2y cos z − 3y 2 )ı̂ + (2x cos z − 6xy) ĵ + (4 cos z − 2xy sen z) k̂
o que indica que
∂f
= 2y cos z − 3y 2
∂x
∂f
= 2x cos z − 6xy
∂y
∂f
= 4 cos z − 2xy sen z
∂z
(1.54a)
(1.54b)
(1.54c)
Portanto, a função f (x, y, z) é tal que ela deve satisfazer simultaneamente as três equações diferenciais dadas
em 1.54. Vamos agora considerar uma delas, que pode ser qualquer uma das três. Por exemplo, vamos
empregar a equação 1.54b,
∂f
= 2x cos z − 6xy
∂y
e vamos reescrever essa equação como
∂f = (2x cos z − 6xy) ∂y
e vamos agora integrar essa equação diferencial, tendo em conta que, como é uma integração parcial em uma
das variáveis, as outras são supostas constantes para a integração, ou seja,
Z
Z
∂f = (2x cos z − 6xy) ∂y
o que resulta em
1.2. INTEGRAIS DE LINHA
K. D. Machado
f (x, y, z) = 2xy cos z − 3xy 2 + g(x, z)
19
(1.55)
onde a função g(x, z) surge porque a integração é feita na variável y, de modo que é preciso incluir uma
função constante com relação a y, mas que pode depender, em geral, das outras variáveis. Com isso, achamos
a função f , mas ficamos com uma nova questão, que é determinar a função g(x, z), o que pode ser feito se
considerarmos outra das equações 1.54. Por exemplo, vamos utilizar agora a equação 1.54a, isto é,
2y cos z − 3y 2 +
∂g
= 2y cos z − 3y 2
∂x
de modo que
Apenas uso pessoal
Análise Vetorial
∂f
= 2y cos z − 3y 2
∂x
Note que, como sabemos quanto vale f , que é dada pela equação 1.55, podemos calcular a derivada no lado
esquerdo dessa equação, ou seja,
∂g
=0
∂x
de modo que a função g(x, z) é, na verdade, independente de x, e pode ser escrita como g(x, z) = h(z).
Retornando em 1.55, temos
f (x, y, z) = 2xy cos z − 3xy 2 + h(z)
(1.56)
Resta agora achar o valor de h(z), o que implica em utilizar a última equação do sistema 1.54, ou seja, a
equação 1.54c,
∂f
= 4 cos z − 2xy sen z
∂z
Fazendo uso de 1.56, obtemos
ou
−2xy sen z +
dh
= 4 cos z − 2xy sen z
dz
dh
= 4 cos z
dz
que pode ser reescrita como
dh = 4 cos z dz
e, integrando,
ou
Z
dh =
Z
4 cos z dz
h = 4 sen z + c
onde c é uma constante numérica, já que a integral é indefinida. Retornando em 1.56, ficamos com
f (x, y, z) = 2xy cos z − 3xy 2 + 4 sen z + c
(1.57)
que é a função escalar f associada a V~ por meio de ∇f = V~ . Note que ela fica completamente definida
a menos de uma constante numérica, que não depende das variáveis x, y ou z. Vejamos agora algumas
aplicações importantes associadas a campos vetoriais conservativos.
20
I
K. D. Machado
1. INTEGRAÇÃO ESCALAR E VETORIAL
Trabalho e Energia Potencial
W=
Z
~
r2
F~ · d~rC
~
r1
Apenas uso pessoal
Análise Vetorial
Intimimamente ligado à questão de campos vetoriais conservativos está a determinação do trabalho
realizado por uma força. Conforme adiantamos na seção ??, o trabalho realizado sobre uma partı́cula por
uma força que desloca essa partı́cula de uma posição ~r1 até uma posição ~r2 ao longo de uma curva ~rC é dado
pela equação ??, ou seja,
(1.58)
Naquele momento não sabı́amos ainda como efetuar tal integração, mas agora já temos ferramentas para
isso. podemos então considerar um exemplo de aplicação, para fundamentar melhor o assunto.
Exemplo 1.5. Considerando que uma força dada por
F~ = (2xy + z 3 )ı̂ + x2 ĵ + 3xz 2 k̂
(1.59)
aja sobre uma partı́cula de massa m, determine o trabalho realizado pela força para levar a partı́cula do ponto
A(1, −2, 1) ao ponto B(3, 1, 4) ao longo da trajetória descrita pela equação
3t2
h
5t i
k̂
− 2 ĵ + (t + 1)2 −
8
2
onde t é tempo, e as unidades utilizadas são do SI.
~r(t) = (t + 1)ı̂ +
(1.60)
Inicialmente vamos determinar a que instantes de tempo correspondem os pontos A e B. Considerando
que o valor das coordenadas ao longo da trajetória são dados por
x=t+1
y=
3t2
−2
8
z = (t + 1)2 −
5t
2
(1.61)
temos que, para o ponto A(1, −2, 1), devemos ter t = 0 s, enquanto que, para o ponto B(3, 1, 4), devemos
ter t = 2 s. Em seguida, vamos precisar calcular o vetor d~r ao longo da trajetória, que fica
ou
d~r = t dtı̂ +
d~r =
h
3t
5i
dt ĵ + 2(t + 1) −
dt k̂
4
2
h
5i
3t
k̂ dt
tı̂ + ĵ + 2(t + 1) −
4
2
(1.62)
Na sequência, o próximo passo é substituir as expressões para x, y e z dadas em 1.61 na força dada pela
equação 1.59, para que possamos efetuar o produto escalar F~ · d~r e obter o trabalho realizado. Para realizar
esses cálculos, vamos utilizar o Maple, introduzindo o comando LineInt, que calcular a integral de linha de
V~ · d~r ao longo de uma dada curva ou trajetória. O comando é
LineInt(V, curva, opç~
oes)
onde V é o campo vetorial V~ a ser integrado, curva corresponde à curva de integração, e opç~
oes são opções
que podem ser utilizadas na execução da integral de linha dada. O parâmetro curva pode ser
1. Uma circunferência, dada por
1.2. INTEGRAIS DE LINHA
K. D. Machado
21
Circle(centro, raio)
onde centro são as coordenadas do centro da circunferência, no formato <x,y,z>, e raio é o raio da
circunferência.
Line(p1, p2)
Apenas uso pessoal
2. Um segmento de reta, dado por
Análise Vetorial
onde p1 e p2 são as coordenadas dos pontos inicial e final do segmento de reta, no formato <x,y,z>.
3. Segmentos de reta indo de um ponto p1 até p2, de p2 até p3, e assim sucessivamente. Nesse caso o
comando é
LineSegments(p1, p2, ..., pn)
4. Uma curva propriamente dita, dada por uma equação de curva da forma ~r(u), sendo u um parâmetro.
Nesse caso temos
Path(r, faixa)
onde r é a equação vetorial da curva ou trajetória, ou seja, ~r(u), e faixa indica os valores inicial e
final para o parâmetro u, na forma u=u1..u2, onde u1 é o valor inicial e u2 é o valor final de u.
Quase todas as opç~
oes possı́veis estão associadas a recursos gráficos, visto que o comando LineInt
permite também visualizar o campo vetorial V~ , o caminho de integração e os vetores tangentes ao caminho
de integração. Em opç~
oes temos
output: define como será a saı́da do comando. Pode ser value (que é o padrão), apresentando o valor da
integral, plot, apresentando graficamente o campo vetorial V~ , a curva de integração e vetores tangentes
a ela, e integral, apresentando a integral de V~ · d~r, mas sem resolvê-la. Se value ou integral forem
utilizados, os outros comandos gráficos são ignorados.
fieldoptions: Lista de opções associadas ao campo vetorial V~ , como cor, tamanho das setas, etc. Usa-se
na forma fieldoptions = [opç~
ao1, opç~
ao2, ...].
pathoptions: Similar ao anterior, definindo parâmetros para a curva de integração. Usa-se na forma pathoptions
= [opç~
ao1, opç~
ao2, ...].
vectoroptions: Similar aos dois anteriores, define opções para os vetores tangentes à curva ~r(u). Usa-se na
forma vectoroptions = [opç~
ao1, opç~
ao2, ...].
title: Define um tı́tulo para o gráfico. A sintaxe é title = "nome
.
view: Já definido anteriormente (ver pág. ??).
Note que o comando LineInt faz parte tanto da biblioteca VectorCalculus quanto da Student[VectorCalculus].
A diferença é que só na segunda é que ele tem saı́das gráficas. Fazendo agora uso do comando LineInt, vamos
inicialmente visualizar o campo vetorial dado pela força F~ , a curva e um vetor tangente a ela. Iniciamos
chamando a biblioteca apropriada e definindo a força F~ , ou seja,
>
>
with(Student[VectorCalculus]):
F:=VectorField(<2*x*y+z**3,x**2,3*x*z**2>);
22
K. D. Machado
1. INTEGRAÇÃO ESCALAR E VETORIAL
F := (2 x y + z 3 ) êx + x2 êy + 3 x z 2 êz
Em seguida, definimos a curva dada em 1.60,
rc:=<t+1,(3*t**3/8) - 2, (t+1)**2 - 5*t/2>;
3
rc := (t + 1) êx + ( 38t − 2) êy + ((t + 1)2 −
5t
2 ) êz
Agora, usamos o comando LineInt,
LineInt(F,Path(rc,t=0..2), output=plot, axes=boxed,
vectoroptions=[color=red], fieldoptions=[arrows=THIN,
orientation=[268,67], color=black]);
Análise Vetorial
>
>
>
Apenas uso pessoal
>
e o resultado é apresentado na figura 1.6. Note que t vai de t = 0 a t = 2 na curva ~r. Agora, podemos montar
a integral necessária ao cálculo, mediante um comando similar, só que a opção output será outra, isto é,
>
>
>
Figura 1.6: Campo vetorial dado pela força F~ definida
em 1.59 e trajetória descrita pela expressão 1.60.
LineInt(F,Path(rc,t=0..2),output=integral,axes=boxed,
vectoroptions=[color=red],fieldoptions=[arrows=`3-D`,
orientation=[246,67],color=black]);
o que resulta em
Z
2
1
8
Z
5t
9 (t + 1)2 t2
3 t3
− 2) + ((t + 1)2 − )3 +
8
2
8
0
5
t
1
+3 (t + 1) ((t + 1)2 − )2 (2 t − )dt
2
2
ou, efetuando uma simplificação, usando o comando simplify,
>
2 (t + 1) (
simplify(%);
2
0
105 t4 + 4 t + 44 t3 − 36 + 56 t6 − 24 t5 + 24 t2 dt
Podemos agora calcular a integral, mediante,
>
LineInt(F,Path(rc,t=0..2),output=value);
1.2. INTEGRAIS DE LINHA
K. D. Machado
23
202
o que indica que o trabalho realizado vale 202 J.
W~r→~rref =
~
rref
Z
F~ · d~r
~
r
Apenas uso pessoal
Análise Vetorial
Considere agora um sistema simples formado por duas partı́culas, uma das quais pode mover-se sob a
força produzida pela outra. Eventualmente forças externas podem agir sobre essas partı́culas, mas tais forças,
por hipótese, não realizam trabalho durante o movimento da partı́cula, de modo que o sistema está isolado.
A força interna ao sistema é, também por hipótese, uma força conservativa. Assim, ao passar de um dado
ponto para outro, a força interna conservativa realiza trabalho, com a caracterı́stica de que esse trabalho
independe do modo pelo qual a partı́cula passou de um ponto ao outro. Vamos definir, nesse sistema, uma
dada posição ~rref chamada de posição de referência. O trabalho realizado para a partı́cula passar de um
ponto qualquer ~r para o ponto de referência é
(1.63)
Esse trabalho depende apenas dos pontos inicial ~r e final ~rref da partı́cula, e não de como ela passa de um
ponto ao outro, por causa da hipótese de que a força é conservativa. A esse trabalho damos o nome de energia
potencial U do sistema, de modo que
U(~r; ~rref ) = W~r→~rref =
Z
~
rref
F~ · d~r
~
r
(1.64)
Assim, a energia potencial do sistema é uma função escalar bem definida, que depende da posição do
ponto considerado (~r ) e do ponto tomado como referência (~rref ). Note que a energia potencial está associada
à força conservativa F~ , de modo que só é possı́vel definir energias potenciais para forças conservativas. Se a
força for não-conservativa, ou dissipativa, então o trabalho realizado entre ~r e ~rref depende de como se vai
de um ponto a outro, e essa função perde a utilidade e o significado, pois existem infinitas trajetórias entre
os dois pontos.
Suponha agora que a partı́cula móvel de nosso sistema passe de uma posição ~r1 para uma posição
~r2 . Neste caso, o trabalho realizado durante esse deslocamento independe do trajeto seguido por ela, pois a
força é conservativa. Esse trabalho é
W~r1 →~r2 =
~
r2
Z
F~ · d~r
~
r1
(1.65)
Como o trabalho acima independe do caminho realizado pela partı́cula, podemos considerar que o caminho
descrito por ela é tal que ela sai de ~r1 , vai até a posição de referência ~rref e em seguida dirige-se para a
posição ~r2 . No trajeto de ~r1 a ~rref , o trabalho realizado vale
W~r1 →~rref =
~
rref
Z
F~ · d~r
~
r1
o que corresponde, pela equação 1.64, a
W~r1 →~rref = U(~r1 ; ~rref ) = U1
(1.66)
(1.67)
O trabalho realizado para ir de ~rref a ~r2 é dado por
W~rref →~r2 =
Z
~
r2
F~ · d~r
(1.68)
~
rref
Note que o trabalho total realizado para ir de ~r1 a ~r2 é dado pela soma das equações 1.66 e 1.68, ou seja,
24
K. D. Machado
W~r1 →~r2 =
Z
~
r2
F~ · d~r =
Z
~
rref
F~ · d~r +
~
r2
F~ · d~r
~
rref
~
r1
~
r1
Z
1. INTEGRAÇÃO ESCALAR E VETORIAL
W~r1 →~r2 = U1 (~r1 ; ~rref ) −
Análise Vetorial
Da equação 1.64 temos
W~r2 →~rref =
Z
~
rref
Z
~
rref
F~ · d~r
~
r2
F~ · d~r = U(~r2 ; ~rref ) = U2
~
r2
de modo que a equação 1.69 pode ser escrita como
ou
W~r1 →~r2 = U1 (~r1 ; ~rref ) − U2 (~r2 ; ~rref )
W~r1 →~r2 = −(U2 − U1 )
ou ainda,
W~r1 →~r2 = −∆U
Apenas uso pessoal
Utilizando a equação 1.67 e também trocando a ordem em que a integração é feita no segundo termo do lado
direito, temos
(1.69)
(1.70)
(1.71)
o que indica que, se conhecermos a energia potencial associada a um dado sistema, podemos determinar
o trabalho realizado pela força interna conservativa associada a essa energia potencial durante um dado
movimento por meio do negativo da variação da energia potencial do sistema nesse movimento. Isso indica
que, quando a força interna produz um trabalho positivo, a energia potencial do sistema diminui, ao passo
que, quando o trabalho realizado é negativo, a energia potencial aumenta.
Considere agora que os pontos ~r1 e ~r2 estejam muito próximos, de modo que ~r2 = ~r1 + d~r. Nesse caso,
o trabalho realizado para ir de um ponto ao outro é um trabalho infinitesimal, dado por
d̄W = F~ · d~r
(1.72)
Note o uso de um traço para representar a forma diferencial d̄W. Isso ocorre porque o trabalho é uma grandeza
que só tem sentido quando associada a um processo que envolve um deslocamento, ainda que infinitesimal.
Não podemos associar o trabalho a um dado ponto no espaço, e sim a um processo no qual a partı́cula
passa de um ponto a outro. Esse tipo de diferencial é chamado de diferencial inexata, e outro exemplo
corresponde ao fluxo de calor que passa de um objeto a outro durante algum processo termodinâmico. O
calor está associado a um processo de transferência de energia entre dois corpos e, se essa transferência for
infinitesimal, teremos uma diferencial inexata d̄Q. No caso da energia potencial, por outro lado, temos uma
grandeza que é bem definida para uma dada posição ~r, como mostra a equação 1.64. Assim, para dois pontos
~r1 e ~r1 + d~r, a diferença de energia potencial entre eles é dada por dU e, utilizando a equação 1.71, achamos
d̄W = −dU
(1.73)
ou, fazendo uso de 1.72,
F~ · d~r = −dU
(1.74)
dU = ∇U · d~r
(1.75)
Note que as relações 1.73 e 1.74 valem para quando a força F~ interna é conservativa e tem uma energia
potencial U associada definida pela expressão 1.64. Agora, da equação ??, temos
1.2. INTEGRAIS DE LINHA
K. D. Machado
25
Reunindo as equações 1.74 e 1.75, achamos
F~ · d~r = −∇U · d~r
ou
Como d~r é arbitrário, temos
F~ = −∇U
Apenas uso pessoal
(F~ + ∇U) · d~r = 0
Análise Vetorial
que é a equação ??, que já haviamos apresentado, sem demonstração, na seção ??. Portanto, a uma dada força
conservativa existe uma energia potencial associada de tal modo que a força corresponde ao gradiente negativo
da energia potencial correspondente. Esta relação é bastante importante, pois fornece um modo de obter a
energia potencial a partir da expressão conhecida para a força. Além disso, recordando a propriedade ??,
∇ × ∇f = 0
válida para uma função escalar f , vemos que uma força F~ é conservativa se for irrotacional, pois
∇ × F~ = ∇ × (−∇U) = −∇ × ∇U = 0
Reforçando, fisicamente uma força é conservativa quando o trabalho efetuado sobre uma partı́cula para ir da
posição ~r1 até ~r2 independe da trajetória executada pela partı́cula. Matematicamente, forças conservativas
são irrotacionais. Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1.6. Considere novamente o exemplo 1.5. Verifique se a força F~ é conservativa e, se for, calcule
o trabalho realizado por ela para ir de A(1, −2, 1) até B(3, 1, 4) por um método diferente do usado naquele
exemplo.
A força é dada pela equação 1.59,
F~ = (2xy + z 3 )ı̂ + x2 ĵ + 3xz 2 k̂
Vamos utilizar o Maple para verificar se ela é conservativa, calculando seu rotacional, ou seja,
>
>
>
with(Student[VectorCalculus]):
F:=VectorField(<2*x*y+z**3,x**2,3*x*z**2>);
F := (2 x y + z 3 ) êx + x2 êy + 3 x z 2 êz
Del &x F;
0 êx
e, de fato, a força é conservativa. Agora, podemos utilizar a relação F~ = −∇U, ou seja,
∂U
∂U
∂U
ı̂ +
ĵ +
k̂ = −(2xy + z 3 )ı̂ − x2 ĵ − 3xz 2 k̂
∂x
∂y
∂z
o que resulta nas equações
∂U
= −2xy − z 3
∂x
∂U
= −x2
∂y
∂U
= −3xz 2
∂z
26
1. INTEGRAÇÃO ESCALAR E VETORIAL
K. D. Machado
Resolvendo iterativamente essas equações diferenciais, obtemos a função U. Vamos deixar esse procedimento
como exercı́cio para o leitor, pois vamos ilustrar outro comando do Maple, chamado ScalarPotential, cuja
função é justamente achar uma função f tal que, sendo dado um campo vetorial V~ , tem-se ∇f = V~ . O
comando é
Apenas uso pessoal
ScalarPotential(V)
>
Análise Vetorial
onde V é um campo vetorial V~ conservativo. O resultado do comando será uma função escalar f tal que
∇f = V~ . Se V não for conservativo, um aviso de erro é apresentado. Cabe ressaltar aqui que, para o nosso
caso, queremos uma função tal que ∇U = −F~ , de modo que precisamos trocar o sinal do resultado fornecido
pelo comando ScalarPotential para que corresponde a nossa definição de energia potencial. Outra questão
importante é que a função obtida é a correta a menos de uma constante aditiva, que torna-se irrelevante se
apenas diferenças de energia forem relevantes, como é o caso em geral. Passando para o nosso caso especı́fico,
temos
U:=-ScalarPotential(F);
U := −x2 y − z 3 x
Portanto, a função energia potencial associada à força dada pela equação 1.59 é dada por
U = −x2 y − xz 3 + c
(1.76)
Note que incluı́mos uma constante aditiva, por completeza. Podemos verificar essa solução calculando o
gradiente de U, já que ∇U = −F~ ,
>
-Gradient(U);
(2 x y + z 3 ) êx + x2 êy + 3 x z 2 êz
que corresponde à força original. Agora, pela equação 1.71, vemos que o trabalho realizado para ir de A a B
é dado por
ou seja,
WA→B = −∆U = −[U(B) − U(A)] = U(A) − U(B)
WA→B = U(1, −2, 1) − U(3, 1, 4)
Usando o Maple, temos
>
W:= subs(x=1,y=-2,z=1,U) - subs(x=3,y=1,z=4,U);
W := 202
indicando que o trabalho vale 202 J. Note que obtivemos o mesmo resultado calculado no exemplo 1.5, como
deveria ser.
Considere agora que desejamos determinar a energia potencial associada a uma dada força. Podemos
utilizar diretamente a definição 1.64,
U(~r; ~rref ) = W~r→~rref
ou ainda, partir da equação 1.74,
dU = −F~ · d~r
1.2. INTEGRAIS DE LINHA
K. D. Machado
27
para obter a energia potencial desejada. Note que a posição de referência é arbitrária, bem como o valor da
energia potencial associada a essa referência. Vejamos alguns exemplos bastante relevantes.
~ = −mg k̂
F
Apenas uso pessoal
Exemplo 1.7. No exemplo ?? apresentamos a força gravitacional exercida pela Terra sobre um objeto de
massa m situado em suas proximidades pode ser escrita como sendo dada por ??,
Análise Vetorial
e verificamos que ela é conservativa. Ache agora a energia potencial associada, e verifique se a expressão ??
dada naquele exemplo,
U = mgz + k
corresponde à expressão correta para U.
~ conservativa, deve ocorrer F
~ = −∇U, ou, explicitamente,
Sendo F
ou seja,
h ∂U
∂U
∂U i
−mg k̂ = − ı̂
+ ĵ
+ k̂
∂x
∂y
∂z
∂U
=0
∂x
∂U
=0
∂y
∂U
= mg
∂z
Essas equações nos dizem que U = U(x, y, z) é uma função tal que sua derivada com relação a x é nula, bem
como sua derivada com relação a y, ou seja, U é constante com relação a essas duas coordenadas. Da última
equação, tiramos
∂U
= mg
∂z
de modo que, por meio de uma integração direta, temos
U = mgz + k
que é a equação ??, já vista anteriormente. Note que k é uma constante, que pode ser determinada se
utilizarmos uma posição de referência e um valor de referência para a energia potencial nessa posição.
Por exemplo, é comum utilizar como posição de referência o nı́vel do solo, em zref = 0, considerando
arbitrariamente que U(z = 0) = U(~rref ) = 0. Nesse caso, aplicando a equação ?? nesse ponto temos
U(z = 0) = k = 0
de modo que achamos
U = mgz ,
(~rref = 0, U(~rref ) = 0)
(1.77)
28
K. D. Machado
1. INTEGRAÇÃO ESCALAR E VETORIAL
Exemplo 1.8. No exemplo ?? vimos que a força gravitacional produzida por uma partı́cula de massa m1
sobre uma partı́cula de massa m2 situada a uma distância r de m1 é conservativa e é dada por ??,
Apenas uso pessoal
~ = − Gm1 m2 r̂
F
r2
onde G é a constante de gravitação universal e r̂ é um versor orientado de m1 para m2 . Obtenha a energia
potencial associada.
Análise Vetorial
Para obter a energia potencial associada, precisamos do gradiente em coordenadas esféricas, dado pela
equação ??,
∇f = r̂
∂f
θ̂ ∂f
φ̂ ∂f
+
+
∂r
r ∂θ
r sen θ ∂φ
Assim, comparando temos
ou
−
h ∂U
θ̂ ∂U
φ̂ ∂U i
Gm1 m2
r̂ = − r̂
+
+
2
r
∂r
r ∂θ
r sen θ ∂φ
Gm1 m2
∂U
=
∂r
r2
∂U
=0
∂θ
∂U
=0
∂φ
Dessas expressões vemos que U(r, θ, φ) na verdade não depende de θ ou φ, de modo que U = U(r). Temos,
então,
dU
Gm1 m2
=
dr
r2
ou, mediante uma integração direta,
Z
r
dU =
rref
Z
r
rref
Gm1 m2
dr
r2
onde rref refere-se à posição de referência. Assim, achamos
que fica
U(r) − U(rref ) = −
U(r) − U(rref ) = −
Gm1 m2 r
r
rref
Gm1 m2
Gm1 m2
+
r
rref
ou
U(r) = −
Gm1 m2
Gm1 m2
+ U(rref )
+
r
rref
Note que os dois últimos termos da expressão acima são constantes, de modo que a energia potencial
gravitacional acima corresponde à equação ?? obtida no exemplo ??. Usualmente define-se como posição de
referência um ponto onde a massa m2 esteja situada muito longe da massa m1 , isto é, onde ocorre rref → ∞.
Nesse ponto considera-se que a energia potencial do sistema se anula, ou seja, U(rref ) = U(r → ∞) → 0.
Utilizando essa referência, a energia potencial gravitacional pode ser escrita mediante
1.2. INTEGRAIS DE LINHA
K. D. Machado
U(r) = −
Gm1 m2
,
r
(rref → ∞, U(rref ) → 0)
29
(1.78)
1 qQ
r̂
4πε0 r2
Determine a energia potencial elétrica U associada a essa força.
Análise Vetorial
F~Q→q =
Apenas uso pessoal
Exemplo 1.9. Considere a força eletrostática produzida por uma carga pontual Q sobre uma carga q também
pontual, estando ambas situadas no vácuo, dada, no SI, pela expressão ??,
Vamos ilustrar a obtenção da energia potencial elétrica utilizando dois modos diferentes. O primeiro
emprega a equação 1.74,
dU = −F~ · d~r
e, para isso, vamos precisar do vetor d~r em coordenadas esféricas, dado por ??,
d~r = dr r̂ + rdθ θ̂ + r sen θ dφ φ̂
Utilizando d~r dado acima, a força dada em ?? e integrando a equação 1.74 de uma posição de referência até
uma posição qualquer, temos
Z
~
r
~
rref
dU = −
Z
~
r
~
rref
1 qQ
r̂ · (dr r̂ + rdθ θ̂ + r sen θ dφ φ̂)
4πε0 r2
que fica, efetuando algumas simplificações,
~r
U
~
rref
qQ
=−
4πε0
Z
~
r
~
rref
dr
r2
Note que a integral passa a ser na variável r, que corresponde à distância entre a origem e o ponto considerado,
sendo também o módulo do vetor ~r. Portanto, ficamos com
Z r
qQ
dr
U (~r ) − U (~rref ) = −
4πε0 rref r2
ou
e então,
U (~r ) − Uref =
qQ h 1 ir
4πε0 r rref
qQ h 1
1 i
(1.79)
−
4πε0 r
rref
Note que o primeiro e o último termo do lado direito da equação acima são constantes, de modo que
poderı́amos escrever
U (~r ) = Uref +
1 qQ
+k
(1.80)
4πε0 r
sendo k uma constante. Da mesma forma como acontece no caso gravitacional, no caso elétrico é comum
considerar que, quando as cargas estão muito afastadas uma da outra, ou seja, quando r = |~r | → ∞, a
energia potencial elétrica do sistema se anula, de modo que Uref = U (r → ∞) = 0. Com essa consideração,
a equação 1.79 torna-se
U (~r ) =
30
K. D. Machado
U (~r ) =
1 qQ
,
4πε0 r
1. INTEGRAÇÃO ESCALAR E VETORIAL
(rref → ∞, U (rref ) → 0)
(1.81)
Um resultado relevante obtido dessa equação é que podemos obter o trabalho realizado pela força elétrica quando o vetor
W~
r1 →~
r2 = −∆U
ou
que fica
ou
Análise Vetorial
Portanto, o trabalho fica
W~
r2 ) − U (~
r1 )] = U (~
r1 ) − U (~
r2 )
r1 →~
r2 = −[U (~
W~
r1 →~
r2 = Uref +
1 i
qQ h 1
−
−
4πε0 r1
rref
W~
r1 →~
r2 =
1 i
qQ h 1
−
Uref +
4πε0 r2
rref
1 i
qQ h 1
−
4πε0 r1
r2
W~
r1 →~
r2 = −
1 i
qQ h 1
−
4πε0 r2
r1
Apenas uso pessoal
posição-relativa entre as duas cargas varia de ~
r1 a ~
r2 , já que, pela equação 1.71,
(1.82)
Note que, quando r2 > r1 , o termo entre colchetes na equação 1.82 é negativo, e torna-se positivo quando r2 < r1 . Assim, quando
temos duas cargas de mesmo sinal, quando elas se afastam, ou seja, r2 > r1 , a força elétrica entre elas, que é repulsiva, produz um
trabalho positivo. Vamos supor que o sistema formado pelas duas cargas esteja isolado, e que as cargas esteja inicialmente fixas em dois
pontos do espaço, de modo que elas tem velocidade nula. Liberando uma das cargas, como a força entre elas é repulsiva, a carga que
pode se mover começará a se afastar da outra, aumentando progressivamente de velocidade. O trabalho realizado pela força elétrica,
que é interna ao sistema, é positivo, e a energia cinética da carga que se move aumenta. Uma pergunta relevante é de onde vem essa
energia cinética? A resposta é que inicialmente o sistema tinha energia potencial elétrica armazenada, que diminui do mesmo valor que
o trabalho realizado pela força elétrica, e é essa a interpretação fı́sica que pode ser dada à equação 1.71. Podemos repetir o argumento
para cargas de sinais diferentes, verificando que, como nesse caso a força elétrica é atrativa, o trabalho realizado é positivo quando as
cargas se aproximam, de modo que a energia potencial elétrica diminui quando as cargas de sinais opostos se aproximam.
Outro ponto importante, que deve ser notado, é que o trabalho realizado independe do ponto e do valor de energia potencial
considerados como referência, visto que ocorre uma subtração entre esses valores para os dois pontos, inicial e final, considerados.
Apenas diferenças na energia potencial tornam-se relevantes.
Exemplo 1.10. A força elástica produzida por uma mola ou elástico sobre um objeto pode ser modelada, de
forma aproximada, pela equação ??,
~F = −K (x − x0 )ı̂
A força elástica produzida pela mola, dada por ??, é uma força conservativa, e possui uma energia potencial
elástica associada. Obtenha essa energia potencial.
1.2. INTEGRAIS DE LINHA
K. D. Machado
31
Apenas uso pessoal
Inicialmente vamos verificar explicitamente que a força elástica ?? é conservativa, calculando seu
rotacional, por meio de
ı̂
ĵ
ĵ ∂
∂
∂ = 0
∇ × ~F = ∂x
∂y ∂z −K (x − x0 ) 0
0 Análise Vetorial
De fato, a força é conservativa. Agora, calculamos a energia potencial por meio de 1.74,
dU = −F~ · d~r
considerando que, nesse caso, d~r = dxı̂. Integrando essa equação, temos
Z
~
r
~
rref
dU = −
Z
~
r
−K (x − x0 )ı̂ · dxı̂
~
rref
ou, efetuando algumas simplificações, e tendo em conta que, nos limites de integração podemos escrever
~r = xı̂ e ~rref = xref ı̂, temos
ou
x
Ux
ref
=K
Z
xref
U(x) − U(xref ) = K
ou ainda, efetuando uma pequena manipulação,
que fica
ou
x
U(x) = U(xref ) +
U(x) = U(xref ) +
U(x) = U(xref ) +
(x − x0 ) dx
x2
2
− xx0
x
xref
K 2
(x − 2xx0 )xxref
2
K
K 2
(x − 2xx0 ) − (x2ref − 2xref x0 )
2
2
K 2
K
(x − 2xx0 + x20 − x20 ) − (x2ref − 2xref x0 + x20 − x20 )
2
2
que pode então ser escrita como
U(x) = U(xref ) +
K
Kx20
K
Kx20
(x − x0 )2 −
− (xref − x0 )2 +
2
2
2
2
ou
U(x) = U(xref ) +
K
K
(x − x0 )2 − (xref − x0 )2
2
2
(1.83)
que é a energia potencial elástica associada ao sistema formado pela mola e pelo objeto ligado na sua
extremidade livre. Note que o primeiro termo e o último do lado direito acima são constantes, de modo que
podemos escrever
U(x) =
K
(x − x0 )2 + k
2
(1.84)
32
K. D. Machado
1. INTEGRAÇÃO ESCALAR E VETORIAL
onde k é uma constante aditiva. É comum estabelecer que, quando a mola não está deformada, a energia
potencial elástica é nula, ou seja, quando xref = x0 , tem-se U(xref ) = U(x0 ) = 0. Nesse caso, a expressão 1.83
torna-se
K
(x − x0 )2
2
ou, definindo X = x − x0 como sendo a elongação da mola, temos
(1.85)
Análise Vetorial
U(X) =
KX 2
2
Apenas uso pessoal
U(x) =
(1.86)
Podemos generalizar a equação 1.86 para quando a mola move-se paralela à direção definida pelo versor r̂, ou seja, uma direção
qualquer no espaço. Nesse caso, temos
U(R) =
KR2
2
(1.87)
onde R representa o quando a mola foi deformada a partir de seu tamanho original r0 , ou seja, R = r − r0 . A força elástica fica, então,
~
F = −K (r − r0 ) r̂
onde usamos coordenadas esféricas.
(1.88)
Considerando ainda relações ligadas a forças conservativas, trabalho e energia potencial, podemos
obter uma expressão bastante relevante e útil para o tratamento de problemas fı́sicos envolvendo essas
grandezas. Considere que F~ seja a força resultante agindo sobre uma dada partı́cula de massa m constante,
vista num referencial inercial. Essa força é, por hipótese, uma força conservativa. O sistema fı́sico em questão
é um sistema fechado, e a partı́cula de massa m pertence ao sistema, e é o único constituinte que se move.
Assim, para a partı́cula podemos escrever a segunda lei de Newton na forma ??,
onde ~a =
2
d ~
r
dt2 .
F~ = m~a ,
(massa constante, referencial inercial)
Portanto, podemos escrever
2
d ~r
F~ = m 2
dt
Agora, vamos calcular o produto escalar F~ · ~v , onde ~v é a velocidade da partı́cula. Temos, então,
d~r d2~r
d~r
=m · 2
F~ · ~v = F~ ·
dt
dt dt
Na sequência, considere a derivada temporal de v 2 , ou seja,
ou
d 2
d~r d d~r d d~r 2
=2 ·
(v ) =
dt
dt dt
dt dt dt
d~r d2~r
d 2
(v ) = 2 · 2
dt
dt dt
de modo que a equação 1.89 pode ser reescrita como
(1.89)
1.2. INTEGRAIS DE LINHA
K. D. Machado
d~r
m d 2
F~ ·
=
(v )
dt
2 dt
Vamos multiplicar essa equação por dt, isto é,
33
(1.90)
e, realizando algumas simplificações,
Apenas uso pessoal
m d(v 2 )
d~r
dt =
dt
F~ ·
dt
2 dt
Análise Vetorial
m
F~ · d~r = d(v 2 )
(1.91)
2
Recordamos agora o fato de que a força é conservativa, de modo que, utilizando a relação ??, ou seja,
F~ = −∇U, temos
−∇U · d~r =
m
d(v 2 )
2
e, utilizando a equação ??,
df = ∇f · d~r
ficamos com
m
d(v 2 )
(1.92)
2
Vamos agora integrar a equação 1.92 considerando que a partı́cula estava numa posição inicial ~r1 , com
velocidade ~v1 num instante de tempo t1 , e passou a uma posição final ~r2 , com velocidade ~v2 , no instante t2 ,
isto é,
ou
−dU =
−
Z
2
dU =
1
−U21 =
m
2
Z
2
d(v 2 )
1
m 2 2
(v )1
2
ou ainda,
−U(2) + U(1) =
mv12
mv22
−
2
2
Rearranjando os termos, temos
mv22
mv12
+ U1 =
+ U2
2
2
Os termos que envolvem velocidade na expressão acima podem ser identificados com a energia cinética da
partı́cula, conforme a equação ??, de modo que
K1 + U1 = K2 + U2
(1.93)
ou seja, quando F~ é uma força conservativa interna a um dado sistema, temos que a soma da energia
cinética do sistema com a energia potencial do sistema é uma grandeza constante, e vale a energia mecânica
do sistema, dada por
E=K+U
A equação 1.93 pode ser escrita, nesse caso, como
34
K. D. Machado
1. INTEGRAÇÃO ESCALAR E VETORIAL
E1 = E2
(1.94)
Essa equação estabelece a conservação de energia mecânica para um sistema mecânico sujeito a forças
conservativas. Vejamos um exemplo simples de aplicação dessa equação.
1. Distância de separação de equilı́brio entre as cargas.
Apenas uso pessoal
Análise Vetorial
Exemplo 1.11. Suponha que duas cargas pontuais, de valores Q1 e Q2 , de mesmo sinal, estejam conectadas
por uma mola de constante elástica K. A carga Q1 está fixada numa certa posição, mas a carga Q2 pode se
mover sujeita à força elétrica e elástica. O sistema está isolado, está situado no vácuo e é observado num
referencial inercial. Desprezando a força gravitacional entre as cargas, determine
2. Num certo instante de tempo, a mola rompe-se, e a carga Q2 passa a se mover afastando-se de Q1 .
Determine o módulo de sua velocidade quando a distância de Q1 é o dobro da separação de equilı́brio
original.
Vamos iniciar a resolução determinando a separação de equilı́brio, o que pode ser obtida levando em
conta que, nesse caso, devemos ter, sobre a carga Q2 , F~ + ~F = 0, onde F~ é dada por ??,
F~ =
1 Q1 Q2
r̂
4πε0 r2
e ~F é dada por ??,
~F = −K (x − x0 )ı̂
Considerando que as cargas estejam sobre o eixo x, com Q1 situada na origem, temos
F~ + ~F =
1 Q1 Q2
ı̂ − K (d − x0 )ı̂ = 0
4πε0 d2
lembrando que a carga Q2 está localizada em x = d, a posição de equilı́brio. Efetuando o produto escalar
com ı̂, temos
ou
1 Q1 Q2
− K (d − x0 ) = 0
4πε0 d2
1 Q1 Q2
= K (d − x0 )
4πε0 d2
(1.95)
Esta equação é exata, e gera uma equação cúbica para d, que irá necessitar de várias manipulações algébricas
para ser desenvolvida. Com o uso do Maple isso torna-se relativamente fácil mas, para obtermos uma expressão matemática mais facilmente tratável sem utilizar o Maple, vamos fazer a hipótese de que o comprimento
x0 da mola quando ela não está distendida seja muito menor que o valor de d, ou seja, d ≫ x0 . Nesse caso,
fazendo x0 → 0 na equação 1.95, ficamos com
1 Q1 Q2
≃ Kd
4πε0 d2
ou
1 Q1 Q2
≃ d3
4πε0 K
de modo que
1.2. INTEGRAIS DE LINHA
K. D. Machado
d≃
r
3
1 Q1 Q2
4πε0 K
35
(1.96)
E1 = E2
Apenas uso pessoal
Agora, queremos saber a velocidade da carga Q2 quando a distância entre ela e a carga Q1 vale
r2 = 2d. Como as forças consideradas são conservativas, podemos utilizar a equação 1.94, para a energia
mecânica total do sistema,
Análise Vetorial
lembrando que, no instante inicial, temos duas energias potenciais a considerar, a elétrica, dada por 1.81, e
a elástica, definida por 1.85, ou seja,
E1 = U (d) + U(d) =
1 Q1 Q2
Kd2
+
4πε0 d
2
(1.97)
No instante final, a mola já não contribui mais, mas ainda temos energia potencial elétrica, e agora a carga
Q2 tem uma velocidade ~v2 , de modo que
E2 = U (2d) + K =
mv22
1 Q1 Q2
+
4πε0 2d
2
Igualando as equações 1.97 e 1.98, temos
ou
de modo que
ou
Kd2
1 Q1 Q2
mv22
1 Q1 Q2
+
=
+
4πε0 d
2
4πε0 2d
2
mv22
1 Q1 Q2
Kd2
1 Q1 Q2
+ Kd3
=
+
=
2
4πε0 2d
2
2d 4πε0
v22 =
v2 =
2 1 Q1 Q2
+ Kd3
m 2d 4πε0
r
21
1 Q1 Q2
+ Kd3
md 4πε0
Substituindo o valor de d dado em 1.96 apenas no termo entre parênteses, temos
r
1 Q1 Q2 12
1 Q1 Q2
+K
v2 =
md 4πε0
4πε0 K
ou
r
1 Q1 Q2
v2 =
md 2πε0
ou
r
Q1 Q2 − 1
d 2
v2 =
2πε0 m
e, utilizando o valor de d,
v2 =
r
− 1
Q1 Q2 1 Q1 Q2 31 2
2πε0 m 4πε0 K
(1.98)
36
K. D. Machado
v2 =
s
ou ainda,
Q1 Q2 4πε0 K 31
2πε0 m Q1 Q2
v2 =
s
v2 =
r
Análise Vetorial
ou, finalmente,
1
2
2K 3 Q1 Q2 3
m
4πε0
2
m
s
3
√
Q1 Q2 K
4πε0
Apenas uso pessoal
ou
1. INTEGRAÇÃO ESCALAR E VETORIAL
Após estudarmos alguns problemas envolvendo forças, trabalho e energia, vamos partir para a análise
de sistemas fı́sicos envolvendo campos eletromagnéticos.
II
Potencial Elétrico
Outra aplicação relevante envolvendo campos conservativos envolve os campos eletrostáticos e a determinação dos potenciais elétricos correspondentes. Nesse caso, devemos lembrar que há uma relação entre
um campo eletrostático, que é conservativo, e o potencial eletrostático correspondente, dada por ??
E~ = −∇V
Efetuando o produto escalar dessa equação com um elemento de arco d~r, temos
∇V · d~r = −E~ · d~r
e, recordando ??,
temos
df = ∇f · d~r
dV = −E~ · d~r
(1.99)
Esta equação estabelece a diferença de potencial elétrico infinitesimal que existe entre dois pontos do espaço
cujas posições resultam numa posição relativa d~r também infinitesimal. A partir dessa expressão, podemos
obter a diferença de potencial entre dois pontos quaisquer do espaço, mediante uma integração de linha ao
longo de algum trajeto arbitrário de integração, ou seja,
Z
~
r2
~
r1
ou
dV = −
Z
~
r2
E~ · d~r
~
r1
V (~r2 ) − V (~r1 ) = −
Z
~
r2
E~ · d~r
(1.100)
~
r1
O lado esquerdo dessa expressão corresponde à diferença entre os potenciais dos pontos definidos pelas
posições ~r2 e ~r1 . É também chamada simplesmente de diferença de potencial, ou ddp. Para se obter uma
expressão geral para o potencial elétrico num ponto qualquer situando na posição ~r, é usual definir uma
1.2. INTEGRAIS DE LINHA
K. D. Machado
37
posição arbitrária de referência ~rref , e um valor arbitrário para o potencial elétrico nesse ponto, Vref = V (~rref ),
de modo que ficamos com
ou
V (~r ) = Vref −
Z
~
r
Z
E~ · d~r
~
rref
~
r
E~ · d~r
~
rref
Apenas uso pessoal
V (~r ) − V (~rref ) = −
(1.101)
Análise Vetorial
Note que o trajeto de integração utilizado para a determinação de potenciais elétricos e diferenças de potencial
elétrico é irrelevante, já que o campo eletrostático é conservativo. Uma consequência importante desse fato
é que, se o trajeto for fechado, teremos, partindo de 1.99,
I
I
E~ · d~r
(1.102)
dV = −
C
C
O lado esquerdo resulta num valor nulo, ou seja,
I
dV = 0
C
e pode ser escrito também de uma forma mais usual, mediante
X
∆Vi = 0
i
malha
(1.103)
(1.104)
ou seja, numa malha, que é um trajeto fechado definido num circuito elétrico, a soma das diferenças de
potencial elétrico ao longo de toda a malha resulta num valor nulo. As equações 1.103 e 1.104 são formas
matemáticas diferentes para a lei das malhas, ou segunda lei de Kirchhoff. Considerando agora o lado direito
de 1.102, temos
I
E~ · d~r = 0
(1.105)
C
que vale quando E~ é conservativo. Vejamos agora alguns exemplos interessantes.
Exemplo 1.12. No exemplo ?? vimos que o campo elétrico produzido por um fio retilı́neo muito longo e
fino imerso em vácuo e contendo cargas distribuı́das de forma homogênea ao longo de seu comprimento é
dado por ??,
E~ =
λ
ρ̂
2πε0 ρ
onde λ é a densidade linear de cargas no fio. Determine o potencial elétrico correspondente, e compare com
a expressão ??.
Para determinar o potencial elétrico, utilizamos a equação 1.101,
V (~r ) = Vref −
Z
~
r
E~ · d~r
~
rref
lembrando que d~r em coordenadas cilı́ndricas é dado por ??,
d~r = dρ ρ̂ + ρ dθ θ̂ + dz k̂
Assim, temos
38
K. D. Machado
ou
Z
~
r
~
rref
λ
ρ̂ · (dρ ρ̂ + ρ dθ θ̂ + dz k̂)
2πε0 ρ
V (~r ) = Vref −
Z
~
r
~
rref
λ
dρ
2πε0 ρ
Apenas uso pessoal
V (~r ) = Vref −
1. INTEGRAÇÃO ESCALAR E VETORIAL
ou
Análise Vetorial
Dada a simetria do campo elétrico, que não depende das coordenadas θ e z, vemos que a caracterização do
ponto de referência é dada pela coordenada ρref do mesmo. Da mesma forma, o ponto genérico do espaço
onde queremos o potencial pode ser caracterizado por sua coordenada ρ, de modo que ficamos com
Z ρ
dρ
λ
V (~r ) = Vref −
2πε0 ρref ρ
V (~r ) = Vref −
λ
ln ρ|ρρref
2πε0
V (~r ) = Vref −
ρ
λ
ln
2πε0 ρref
ou ainda,
que corresponde ao valor dado pela equação ??.
Exemplo 1.13. No exemplo ?? vimos que o campo eletrostático produzido por uma esfera de raio R contendo
uma carga pontual Q em repouso no vácuo é dado por ??
Q
r̂ ,
4πε0 r2
E~ =
r>R
para a região externa à esfera, isto é, para r > R, onde r é a distância de um ponto qualquer do espaço ao
centro da esfera. Lá verificamos que esse campo é conservativo. Determine o potencial elétrico associado.
Vamos utilizar o Maple para resolver esse exercı́cio. Note que aqui precisamos definir o sistema de
coordenadas esféricas. Assim, iniciamos com
>
>
with(VectorCalculus):
assume(r>= 0, 0<= theta, theta<=Pi,0<=phi,phi< 2*Pi);
AddCoordinates(esfericas[r,theta,phi],[r*sin(theta)*cos(phi),
r*sin(theta)*sin(phi),r*cos(theta)]);
>
esfericas
SetCoordinates(esfericas[r,theta,phi]);
>
>
esfericas r ˜, θ˜, φ˜
Em seguida, definimos o campo elétrico dado por ??,
>
E:=VectorField(<Q/(4*Pi*epsilon_0*r**2),0,0>);
E :=
Q
er
4 π epsilon 0 r ˜2
Podemos agora utilizar o comando ScalarPotential do Maple. Para o nosso caso, fazemos
1.2. INTEGRAIS DE LINHA
>
K. D. Machado
39
simplify(ScalarPotential(E));
−
Q
4 r ˜ π ǫ0
V (~r ) =
Q
,
4πε0 r
r>R
Apenas uso pessoal
Note que ScalarPotential(V) fornece f tal que ∇f = V~ . Como E~ = −∇V , o potencial elétrico é o negativo
do resultado acima, ou seja,
Análise Vetorial
Esse é o potencial elétrico gerado pela esfera (compare com a expressão ??), a menos de uma eventual
constante aditiva, conforme discutimos no exemplo ??.
Exemplo 1.14. Uma esfera de raio R contém cargas distribuı́das em seu interior de forma que a densidade
volumétrica de carga correspondente vale
̺(r) = kr ,
r6R
(1.106)
onde k é uma constante e r é a distância de um ponto da esfera ao seu centro. O campo elétrico gerado por
essa esfera é dado por
( 2
kr
r6R
0
(1.107)
E~ (~r ) = 4ε
kR4
r>R
4ε0 r 2
onde r é a distância de um ponto qualquer do espaço até o centro da esfera. Determine o potencial elétrico
correspondente nas duas regiões.
Para determinar o potencial elétrico, vamos utilizar o Maple, e vamos começar pela região externa à
esfera. Iniciamos com as definições necessárias para o sistema de coordenadas, isto é,
>
with(VectorCalculus):
assume(r>= 0, 0<= theta, theta<=Pi,0<=phi,phi< 2*Pi);
>
>
AddCoordinates(esfericas[r,theta,phi],[r*sin(theta)*cos(phi),r*sin(th
eta)*sin(phi),r*cos(theta)]);
>
>
esfericas
SetCoordinates(esfericas[r,theta,phi]);
esfericas r ˜, θ˜, φ˜
Em seguida, definimos o campo elétrico fora da esfera, mediante
>
E_f:=VectorField(<k*R**4/(4*epsilon_0*r**2),0,0>);
E f :=
k R4
êr
4 epsilon 0 r ˜2
Vamos verificar se é conservativo, por meio de
>
Curl(E_f);
0 êr
Agora, determinamos o potencial escalar correspondente, ou seja,
>
V_f:=simplify(-ScalarPotential(E_f));
40
K. D. Machado
V f :=
1. INTEGRAÇÃO ESCALAR E VETORIAL
k R4
4 r ˜ epsilon 0
Note o sinal negativo em ScalarPotential. Esse é o potencial escalar a menos de uma constante aditiva,
então para generalizar, vamos somar uma constante c ao potencial, isto é,
V_f:=V_f + c;
V f :=
k R4
+c
4 r ˜ epsilon 0
Análise Vetorial
o que resulta em
V (~r ) =
kR4
+ c,
4ε0 r
r>R
Apenas uso pessoal
>
(1.108)
Podemos agora determinar a constante c considerando uma posição de referência e um valor correspondente
para o potencial elétrico nessa posição. Usualmente considera-se como referência um ponto muito afastado
da esfera, com r → ∞, onde V (r → ∞) → 0. Assim, vamos introduzir o comando
limit(f, x = a, dir)
onde f é uma expressão algébrica, x é o nome de uma variável, a é o ponto onde queremos o limite e dir, que
é opcional, é a direção em que queremos o limite, que pode ser left (pela esquerda), right (pela direita),
real (plano real) ou complex (plano complexo). A forma inerte do comando é
Limit(f, x = a, dir)
e apresente o limite, sem calculá-lo. Utilizando o Maple, ficamos com
>
limit(V_f, r=infinity);
c
Como queremos que V (r → ∞) → 0, fazemos
>
c_0:=solve(%,c);
c 0 := 0
onde c0 é o valor de c que resolve a equação. Substituindo de volta na expressão para V , temos
>
V_f:=subs(c=c_0,V_f);
V f :=
k R4
4 r ˜ epsilon 0
de modo que 1.109 torna-se
V (~r ) =
kR4
,
4ε0 r
r>R
Vamos agora definir o campo elétrico no interior da esfera, ou seja,
>
E_d:=VectorField(<k*r^2/(4*epsilon_0),0,0>);
E d :=
Vamos verificar se é conservativo, mediante
>
Curl(E_d);
k r ˜2
êr
4 epsilon 0
(1.109)
1.2. INTEGRAIS DE LINHA
K. D. Machado
41
0 êr
Agora, podemos determinar o potencial dentro da esfera, usando ScalarPotential,
V_d:=simplify(-ScalarPotential(E_d));
V d := −
r ˜3 k
12 epsilon 0
Apenas uso pessoal
>
Para obter uma expressão geral, vamos somar uma constante c2 a este potencial, ou seja,
V_d:=V_d + c2;
Análise Vetorial
>
V d := −
r ˜3 k
+ c2
12 epsilon 0
Agora, para poder determinar essa constante, devemos igualar os potenciais obtidos para dentro e para fora
da esfera no ponto comum a ambos, ou seja, na superfı́cie da esfera, em r = R. Calculando o valor do
potencial em r = R utilizando a expressão acima, temos
>
V_dR:=limit(V_d,r=R);
V dR := −
R3 k
+ c2
12 epsilon 0
Em seguida, calculamos o potencial na superfı́cie da esfera utilizando a expressão para o potencial na região
r > R, o que fornece
>
V_fR:=limit(V_f,r=R);
V fR :=
R3 k
4 epsilon 0
Tendo os valores de Vd e Vf em r = R, igualamos um ao outro, e resolvemos para achar c2 , ou seja,
>
c2_0:=solve(V_dR=V_fR,c2);
c2 0 :=
R3 k
3 epsilon 0
Agora substituimos o valor de c20 em c2 , na equação para Vd , e ficamos com
>
V_d:=simplify(subs(c2=c2_0,V_d));
ou seja,
V d :=
Vd (~r ) =
k (−r ˜3 + 4 R3 )
12 epsilon 0
k(4R3 − r3 )
,
12ε0
r6R
(1.110)
que fornece o potencial elétrico num ponto situado numa posição ~r qualquer, dentro da esfera. Vejamos agora
alguns problemas envolvendo campos vetoriais não-conservativos.
42
1.2.3
K. D. Machado
1. INTEGRAÇÃO ESCALAR E VETORIAL
Campos Vetoriais Não-Conservativos
Trabalho de Forças Não-Conservativas
Apenas uso pessoal
I
Análise Vetorial
Na seção 1.2.2 estudamos várias aplicações e propriedades associadas a campos vetoriais conservativos.
Quando V~ é conservativo, algumas propriedades matemáticas relevantes podem ser utilizadas, e quando os
campos vetoriais considerados tem interpretação fı́sica, várias grandezas podem ser determinadas de forma
relativamente simples, como é o caso do trabalho, energiais potenciais e potenciais elétricos. Porém, uma
grande classe de campos vetoriais de grande importância fı́sica é não-conservativa, de modo que nesse caso
as ferramentas da seção 1.2.2 não podem ser utilizadas. Nesse caso, a determinação das integrais de linha que
surgem pode ser mais complicada, posto que elas devem ser efetivamente calculadas considerando o trajeto
especı́fico de integração. É importante notar que isso não diminui a importância das grandezas fı́sicas que
estão associadas a esses campos não-conservativos. Vejamos alguns exemplos de aplicação.
Quando as forças são não-conservativas, não podemos associar a elas uma energia potencial, de modo
que o cálculo do trabalho realizado por uma força F~ deve ser feito mediante uma integração direta. Vejamos
alguns exemplos desse procedimento.
Exemplo 1.15. Uma partı́cula é transportada do ponto A(0, 0, 0) até o ponto B(1, 1, 1) por uma força F~
dada por
F~ = 2xı̂ − 4x2 ĵ + 3yz k̂
(1.111)
Determine o trabalho realizado pela força F~ para levar a partı́cula de A a B ao longo das curvas abaixo.
Todas as unidades são do SI.
1. Reta dada por ~r = tı̂ + t ĵ + t k̂.
2. Curva dada por y = x2 , z = x3 , de x = 0 a x = 1.
3. Segmentos de reta de (0, 0, 0) a (1, 0, 0), depois a (1, 1, 0) até chegar em (1, 1, 1).
Inicialmente vamos verificar se a força considerada é conservativa ou não. Podemos verificar explicitamente esse fato, calculando o rotacional de F~ . Utilizando o Maple para isso, ficamos com
> with(Student[VectorCalculus]):
>
F:=VectorField(<2*x,-4*x**2,3*y*z>);
F := 2 x êx − 4 x2 êy + 3 y z êz
o que define a função vetorial e, calculando o rotacional, temos
>
Del &x F;
3 z êx − 8 x êz
ou seja, obtivemos que
∇ × F~ = 3zı̂ − 8x k̂
o que mostra que a força possui um rotacional não-nulo, indicando que ela é não-conservativa. Agora,
partimos para o cálculo dos trabalhos pedidos. Vamos iniciar o problema considerando a reta ~r = tı̂+t ĵ+t k̂,
de modo que temos x = t, y = t e z = t, na forma paramétrica. Façamos agora a substituição desses valores
na força dada em 1.111, de modo que temos
F~ = 2tı̂ − 4t2 ĵ + 3t2 k̂
(1.112)
1.2. INTEGRAIS DE LINHA
K. D. Machado
43
Além disso, recordando que um deslocamento infinitesimal é dado pela equação ??,
d~r = dxı̂ + dy ĵ + dz k̂
temos, para a reta considerada,
(1.113)
ou
Análise Vetorial
Efetuando o produto escalar entre as equações 1.112 e 1.113 obtemos
F~ · d~r = (2tı̂ − 4t2 ĵ + 3t2 k̂) · (dtı̂ + dt ĵ + dt k̂)
F~ · d~r = (2t − 4t2 + 3t2 )dt = (2t − t2 ) dt
Apenas uso pessoal
d~r = dtı̂ + dt ĵ + dt k̂
(1.114)
Utilizando agora essa expressão para o cálculo do trabalho, dado pela equação 1.58, temos
W=
Z
~
r2
~
r1
(2t − t2 ) dt
Note que as posições ~r1 e ~r2 correspondem aos pontos A(0, 0, 0) e B(1, 1, 1), de modo que, em função de t,
temos t = 0, para A, e t = 1, para B. Portanto, ficamos com
W=
Z
0
1
1
2
t3 1
=1− = J
(2t − t2 ) dt = t2 −
3 0
3
3
(1.115)
Para a segunda curva, que é dada por y = x2 , z = x3 , de x = 0 a x = 1, temos
dz = 3x2 dx
dy = 2x dx
de modo que d~r, ao longo dessa curva, fica
d~r = dxı̂ + 2x dx ĵ + 3x2 dx k̂
enquanto a força dada em 1.111 torna-se
e o produto escalar de F~ e d~r fica
ou
F~ = 2xı̂ − 4x2 ĵ + 3x5 k̂
F~ · d~r = (2xı̂ − 4x2 ĵ + 3x5 k̂) · (dxı̂ + 2x dx ĵ + 3x2 dx k̂)
F~ · d~r = (2x − 8x3 + 9x7 ) dx
Usando agora a equação 1.58 para calcular o trabalho realizado, temos
W=
Z
~
r2
~
r1
(2x − 8x3 + 9x7 ) dx
ou, como devemos ir de x = 0 a x = 1, obtemos
W=
Z
0
1
1
9
9x8 1
=1−2+ = J
(2x − 8x3 + 9x7 ) dx = x2 − 2x4 +
8 0
8
8
(1.116)
44
1. INTEGRAÇÃO ESCALAR E VETORIAL
K. D. Machado
Por fim, vamos utilizar o caminho dado pelos segmentos de reta de (0, 0, 0) a (1, 0, 0), depois a (1, 1, 0)
até chegar em (1, 1, 1). No primeiro segmento, tanto y quanto z são constantes, de modo que dy = 0 e dz = 0.
Nesse caso, temos d~r = dxı̂, e a força 1.111 fica
F~ = 2xı̂ − 4x2 ĵ
Assim, o produto escalar necessário é, usando a equação 1.117,
Análise Vetorial
F~ · d~r = (2xı̂ − 4x2 ĵ) · dxı̂ = 2x dx
Portanto, nesse segmento do trajeto o trabalho vale
W1 =
~
r2
Z
Z
2x dx =
x=1
x=0
~
r1
2x dx = x2 |10 = 1 J
Apenas uso pessoal
(1.117)
(1.118)
No segmento seguinte, temos x = 1 e z = 0, de modo que dx = dz = 0. Nesse segmento, d~r = dy ĵ, e a força
fica
F~ = 2ı̂ − 4 ĵ
Consequentemente,
F~ · d~r = (2ı̂ − 4 ĵ) · dy ĵ = −4 dy
e o trabalho nesse segmento torna-se
W2 =
Z
~
r2
−4 dy =
~
r1
y=1
Z
y=0
−4 dy = −4y|10 = −4 J
(1.119)
(1.120)
Por último, no terceiro segmento, que tem x = 1 e y = 1, com dx = dy = 0, achamos d~r = dz k̂ e a força
vale, nesse trajeto,
F~ = 2ı̂ − 4 ĵ + 3z k̂
o que resulta em
F~ · d~r = (2ı̂ − 4 ĵ + 3z k̂) · dz ĵ = 3z dz
O trabalho realizado nesse segmento é, então,
W3 =
Z
~
r2
~
r1
3z dz =
Z
z=1
3z dz =
z=0
3
3z 2 1
= J
2 0
2
(1.121)
(1.122)
Portanto, o trabalho total realizado no trajeto é dado pela soma dos trabalhos obtidos em cada segmento,
dados pelas equações 1.118, 1.120 e 1.122, ou seja,
W = W1 + W2 + W3 = 1 − 4 +
3
3
=− J
2
2
(1.123)
É interessante ressaltar que, de fato, para a força considerada, o trabalho realizado depende do caminho,
pois os resultados para trajetos diferentes são claramente diferentes, conforme mostram as equações 1.115,
1.116 e 1.123. Vejamos um outro exemplo.
1.2. INTEGRAIS DE LINHA
K. D. Machado
45
Exemplo 1.16. Uma força dada por
F~ = −2yı̂ + 3x ĵ + z k̂
é aplicada sobre uma partı́cula de massa m constante. Determine o trabalho realizado por essa força quando
a partı́cula executa uma volta completa numa elipse descrita por
onde a e b são constantes positivas.
Apenas uso pessoal
~r(t) = a cos tı̂ + b sen t ĵ
>
>
Análise Vetorial
Para resolver esse problema vamos utilizar o Maple, porque podemos inclusive aproveitar para visualizar o campo vetorial e o caminho de integração. Iniciamos definindo a força, ou seja,
with(Student[VectorCalculus]):
F:=VectorField(<-2*y,3*x,z>);
F := −2 y êx + 3 x êy + z êz
Em seguida, calculamos seu rotacional, para verificar que ela é não-conservativa, por meio de
>
Curl(F);
5 êz
Agora definimos a curva de integração, ou seja,
>
rc:=<a*cos(t),b*sin(t),0>;
rc := a cos(t) êx + b sin(t) êy
O próximo passo consiste em montar a integral para o cálculo do trabalho, e aqui usamos o comando LineInt,
que fica
>
LineInt(F,Path(rc,t=0..2*Pi), output=integral);
Z 2π
2 b sin(t)2 a + 3 a cos(t)2 b dt
0
Note a opção output=integral, que apresenta a integral sem calcular. Utilizando agora a opção value,
temos
>
LineInt(F,Path(rc,t=0..2*Pi), output=value);
5πba
de modo que o trabalho realizado, ao dar uma volta completa na elipse, vale
W = 5πab
Podemos agora visualizar o campo vetorial e o caminho de integração, usando novamente LineInt, só que
agora com a opção output = plot, ou seja,
>
>
>
>
LineInt(F,Path(subs(a=1,b=2,rc),t=0..2*Pi), output = plot,
axes = boxed, vectoroptions = [color=blue],
fieldoptions= [color=black, arrows=THIN, orientation=[32,70]],
pathoptions=[color=red]);
o que resulta na figura 1.7.
Vejamos agora alguns exemplos envolvendo o Eletromagnetismo.
46
Apenas uso pessoal
Análise Vetorial
II
K. D. Machado
1. INTEGRAÇÃO ESCALAR E VETORIAL
Figura 1.7: Gráfico vetorial da força e do caminho de integração
para o cálculo do trabalho do exemplo 1.16.
Força Eletromotriz
Associado a um campo elétrico conservativo temos uma grandeza fı́sica escalar, o potencial elétrico.
A um campo elétrico não-conservativo podemos associar uma grandeza escalar chamada força eletromotriz,
ou fem 1 E, dada por
I
(1.124)
E~ · d~ℓ
E=
C
onde C é um percurso fechado e E é a circuitação de E~ ao longo desse trajeto. Note que, quando E~ é
conservativo, então, recordando 1.105, a qual é válida nesse caso, temos
E = 0,
campo elétrico conservativo
(1.125)
Porém, quando E~ é não-conservativo, há uma fem ao longo de um dado trajeto fechado C, e essa fem pode
produzir efeitos interessantes se o trajeto for um trajeto fı́sico real formado por condutores, pois, neste caso,
haverá circulação de corrente elétrica por eles. Esse fenômeno está ligado à indução eletromagnética, e foi
investigado por Faraday. Vejamos agora alguns exemplos.
Exemplo 1.17. Um campo elétrico dado por
E~ = xyı̂ − 3xz ĵ + 4y 3 z 2 k̂
existe numa certa região, situada no vácuo. Todas as unidades são do SI. Determine
1. Densidade volumétrica de carga na região.
2. Verifique se o campo elétrico é não-conservativo.
3. Calcule a fem produzida num circuito fechado formado pelos segmentos de retas definidos entre os
pontos da figura 1.8 abaixo.
1
O nome força eletromotriz tem razões históricas, mas essa grandeza não é uma força.
1.2. INTEGRAIS DE LINHA
K. D. Machado
47
z
B (0,0,2)
C2
C (0,3,0)
C3
Análise Vetorial
C1
A (4,0,0)
x
Figura 1.8: Circuito fechado para o cálculo de uma fem.
Apenas uso pessoal
y
Vamos iniciar determinando a densidade volumétrica de carga presente na região, dado pela equação ??,
̺
∇ · E~ =
ǫ
que é a lei de Gauss elétrica, de modo que temos
̺ = ε0 ∇ · E~ = ε0
∂E
x
∂x
+
∂Ey
∂Ez +
∂y
∂z
onde usamos a equação ?? para o divergente de E~ . Temos então,
̺ = ε0 (y + 8y 3 z)
que estabelece a densidade volumétrica de carga na região. Em seguida, determinamos se o campo é conservativo calculando seu rotacional, mediante a equação ??,
ou
ı̂
∂
~
∇× E = ∂x
xy
ĵ
∂
∂y
−3xz
k̂ ∂ = (12y 2 z 2 + 3x)ı̂ + (−3z − x) k̂
∂z 4y 3 z 2 ∇ × E~ = 3(x + 4y 2 z 2 )ı̂ − (x + 3z) k̂
Como o campo elétrico tem um rotacional diferente de zero, não é conservativo. Vamos agora determinar a
fem no circuito mostrado na figura 1.8. Inicialmente vamos precisar das equações das retas que compõem o
circuito. Para a reta C1 , temos, já que é uma reta no plano xy, de forma que podemos aplicar a equação ??,
y − yA =
ou
y−0=
ou ainda,
yC − yA
(x − xA )
xC − xA
3−0
3
(x − 4) = − (x − 4)
0−4
4
48
K. D. Machado
3x
+ 3,
4
Para a reta C2 , efetuamos um procedimento similar, isto é,
y=−
z − zC =
ou
Análise Vetorial
z−0=
ou então,
z=0
zB − zC
(y − yC )
yB − yC
2−0
2
(y − 3) = − (y − 3)
0−3
3
C2 :
z=−
2y
+2,
3
x=0
Por fim, para a reta C3 temos
ou
ou seja,
x − xB =
x−0=
xA − xB
(z − zB )
zA − zB
4−0
(z − 2) = −2(z − 2)
0−2
C3 :
x = −2z + 4 ,
y=0
A fem no circuito fechado é dada por 1.124,
ou
E=
I
E~ · d~ℓ
C
E=
Z
E~ · d~ℓ1 +
Z
C2
C1
(1.126)
E~ · d~ℓ2 +
Z
E~ · d~ℓ3
C3
Apenas uso pessoal
C1 :
1. INTEGRAÇÃO ESCALAR E VETORIAL
(1.127)
(1.128)
Vamos efetuar cada integral separadamente. Na reta C1 , temos
Z
Z
~
~
(xyı̂ − 3xz ĵ + 4y 3 z 2 k̂) · (dxı̂ + dy ĵ + dz k̂)
E · dℓ1 =
C1
C1
Como z = 0 e dz = 0, ficamos com
Z
E~ · d~ℓ1 =
Z
0
xy dx =
4
C1
Z
4
0
Z 0
3x
3x2
−
+ 3 dx =
+ 3x dx
x −
4
4
4
onde usamos a equação 1.126. Achamos assim
Z
x3
3x2 0
E~ · d~ℓ1 = − +
= (16 − 24) = −8 V
4
2 4
C1
Na reta C2 , temos
Z
E~ · d~ℓ2 =
C2
Como x = 0 e dx = 0, obtemos
Z
C2
(xyı̂ − 3xz ĵ + 4y 3 z 2 k̂) · (dxı̂ + dy ĵ + dz k̂)
(1.129)
1.2. INTEGRAIS DE LINHA
49
K. D. Machado
Z
E~ · d~ℓ2 =
Z
4y 3 z 2 dz
C2
C2
A equação 1.127 estabelece que
2y
+2
3
Reescrevendo essa equação, temos
Análise Vetorial
y=
3
3z
(z − 2) =
−3
2
2
e então, ficamos com
Z
C2
ou
E~ · d~ℓ2 =
Z
0
2
3
2
Apenas uso pessoal
z=−
27
(z − 2)3 z 2 dz
2
0 8
Z
Z
27 2 3
27 2 5
2
2
=
(z − 6z + 12z − 8)z dz =
(z − 6z 4 + 12z 3 − 8z 2 ) dz
2 0
2 0
12z 4 8z 3 2
27 z 6 6z 5
−
+
−
=
2 6
5
4
3 0
4
3z
−3
z 2 dz = 4
Z
16 96
27 25
6 × 25
8 × 23 32 = 27
E~ · d~ℓ2 =
−
+ 3 × 24 −
−
+ 24 −
2 3
5
3
3
5
3
C2
16 96
−80 − 288 + 360 72
= 27 − −
= − V (1.130)
+ 24 = 27
3
5
15
5
Z
Agora, considerando a reta C3 , temos
Z
Z
~
~
(xyı̂ − 3xz ĵ + 4y 3 z 2 k̂) · (dxı̂ + dy ĵ + dz k̂)
E · dℓ3 =
C3
C3
Como y = 0 e dy = 0, obtemos
Z
E~ · d~ℓ3 =
C3
Z
0=0
C3
Consequentemente, a fem vale, usando as equações 1.129–1.131,
E = −8 −
112
72
+0=−
V
5
5
(1.131)
Exemplo 1.18. Um campo elétrico numa dada região cilı́ndrica é dado, em coordenadas cilı́ndricas, por
5
E~ = θ̂
ρ
(1.132)
onde ρ 6 10 e −4 6 z 6 4. Existe na região um circuito quadrado cujos vértices estão situados no plano
xy nas coordenadas retangulares A(1, 1, 0), B(−1, 1, 0), C(−1, −1, 0) e D(1, −1, 0). Este circuito é formado
por fios condutores que formam as arestas, sendo que cada aresta tem uma resistência elétrica R = 5 Ω.
Determine a potência elétrica dissipada pelo circuito quando o campo elétrico dado por 1.132 é ligado.
50
K. D. Machado
1. INTEGRAÇÃO ESCALAR E VETORIAL
Inicialmente vamos verificar se o campo em questão é ou não conservativo, calculando seu rotacional.
Vamos utilizar o Maple para isso, mediante,
>
>
with(Student[VectorCalculus]):
SetCoordinates(cylindrical);
cylindrical r, θ, z
E:=VectorField(<0,5/r**2,0>);
E :=
Curl(E);
Análise Vetorial
>
5
êθ
r2
−
5
êz
r3
Apenas uso pessoal
>
Como o rotacional de E~ é não-nulo, temos um campo não conservativo. Agora, usamos o comando
LineInt para o cálculo da fem E, dada por 1.124,
I
E~ · d~ℓ
E=
C
Como o caminho é descrito em coordenadas retangulares, inicialmente mudamos o sistema de coordenadas
para esse sistema, ou seja,
>
SetCoordinates(cartesian[x,y,z]);
cartesian x, y, z
Em seguida, calculamos o valor da fem mediante
LineInt(E,LineSegments(<1,1,0>,<-1,1,0>,<-1,-1,0>,<1,-1,0>,
<1,1,0>), output=value);
√
20 2
√
de modo que temos E = 20 2 V. Para visualizar a integral efetuada, utilizando a opção integral em
output, resultando em
>
>
>
>
LineInt(E,LineSegments(<1,1,0>,<-1,1,0>,<-1,-1,0>,<1,-1,0>,
<1,1,0>),output=integral);
R1
R1
10
10
2 0
3 dt + 2
3 dt
0
2
2
((1−2t) +1) 2
((−1+2t) +1) 2
e, por fim, para visualizarmos o campo elétrico e o circuito, utilizamos a opção plot, como em
>
>
>
>
LineInt(E,LineSegments(<1,1,0>,<-1,1,0>,<-1,-1,0>,<1,-1,0>,
<1,1,0>),output=plot,axes=boxed,vectoroptions=[color=blue],
fieldoptions=[color=black,arrows=‘THIN‘],
pathoptions=[color=red]);
o que resulta na figura 1.9,
Agora que temos a fem, utilizamos a relação
E2
R
para determinar a potência dissipada no circuito. Achamos, portanto,
P =
P =
(1.133)
800
= 160 W
5
K. D. Machado
Figura 1.9: Campo elétrico e circuito para o
cálculo da fem do exemplo 1.18.
Apenas uso pessoal
Análise Vetorial
1.2. INTEGRAIS DE LINHA
51
A circuitação do campo elétrico ao longo de um circuito C nos fornece a fem que surge nesse circuito
e, sendo o circuito formado por condutores, neles haverá a produção de corrente elétrica. Vejamos agora o
que ocorre no caso magnético.
III
Circuitação de Campo Magnético
~ podemos determinar sua circuitação ζ ao longo de um dado trajeto C
Dado um campo magnético B,
por meio de
I
~ · d~ℓ
B
(1.134)
ζ=
C
Aqui é instrutivo calcularmos a circuitação ao longo de curvas diferentes para um mesmo campo magnético.
Em particular, vamos considerar um fio muito longo, fino e retilı́neo, percorrido por uma corrente i. Definindo
o eixo z paralelo ao fio e orientado no mesmo sentido em que a corrente passa por ele, o campo magnético
a uma distância ρ medida a partir do fio é dado por
~ = µ0 i θ̂
B
2πρ
(1.135)
Considere inicialmente uma curva C1 dada por uma circunferência de raio ρ centrada no fio e situada num
plano perpendicular a ele, como mostra a figura 1.10.
Neste caso, podemos usar o elemento d~ℓ em coordenadas polares, dado por d~ℓ = ρ dθ θ̂, visto que ρ é
constante e dρ = 0. Portanto, a circuitação 1.134 torna-se
I
I
I
µ0 i
µ0 i
µ0 i
~ · d~ℓ =
B
ζ=
θ̂ · ρ dθ θ̂ =
2π = µ0 i
dθ =
2π C
2π
C 2πρ
C
52
B
dl
i
r
C1
Apenas uso pessoal
Análise Vetorial
K. D. Machado
1. INTEGRAÇÃO ESCALAR E VETORIAL
Figura 1.10: Curva C1 para o cálculo da circuitação do campo
magnético gerado por um fio retilı́neo muito longo e fino.