Mecânica I
Ficha 2
Equilı́brio de Forças
UNIVERSIDADE DO PORTO
Faculdade de Engenharia
Departamento de Engenharia Civil
1 Forças Complanares e Concorrentes
1. Decomponha, justificando, a força de 1500 N, segundo as direcções a–a e b–b.
b
1500 N
50o
a
50o
30o
a
b
2. Duas cordas estão amarradas entre si no ponto C. Se o esforço máximo admissı́vel em cada corda for de 500
N, determine a máxima força F que pode ser aplicada no ponto C.
F
α
C
50o
20o
A
B
3. Determine a intensidade da força F e o ângulo α, de modo que a resultante das três forças aplicadas em A,
seja uma força vertical, dirigida para cima, e de intensidade igual a 3 kN.
F
100 N
F
α
A
30o
4. Uma partı́cula A está em equilı́brio, sob a acção das quatro forças indicadas. Determine a intensidade,
direcção e sentido da força Q.
1.5 kN
4
500 N
25
3
o
Q
α
A
600 N
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2
5. Os pontos A e B, cujas cotas diferem de 4 m, pertencem a duas paredes separadas de 10 m. Estão ligados
por um fio de comprimento igual a 20 m. Abandonando num ponto qualquer uma roldana com um peso de
2 kN, determine:
(a) a configuração de equilı́brio do sistema;
(b) os esforços a que o fio fica submetido.
10 m
A
4m
B
P
6. Determine as reacções dos planos inclinados, sobre a esfera de 200 N de peso.
60o
30o
7. Duas rodas iguais, de peso P = 100 N cada uma, são suportadas por um plano inclinado e por uma parede
vertical. Supondo que as superfı́cies são perfeitamente lisas, determine as reacções nos pontos de apoio A,
B e C.
A
C
B
30o
8. Considere o sistema representado na figura. A barra AB tem a possibilidade de rodar em torno de um fulcro
C, podendo ser fixada em qualquer posição. O comprimento do fio AB é de 20 m.
(a) Determine os esforços a que ficas submetido o fio na configuração 1.
(b) Sendo dada uma rotação da barra AB em torno de C de 45o , determine a nova configuração de
equilı́brio e os esforços a que fica submetido o fio na configuração 2.
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6.0 m
3
6.0 m
B
A
1
2
500 N
2 Forças Complanares e Paralelas
1. Um binário M = F4L é aplicado num ponto da barra de comprimento L. Determine, para cada caso, as
reacções nos apoios.
B
B
M
A
B
M
A
B
M
A
A
C
M
L/2
2. A alavanca AB está submetida a uma força vertical V e a duas forças horizontais de intensidade T , exercidas
pelo cabo que passa, sem atrito, pelas roldanas de diâmetro desprezável. Supondo que as extremidades livres
do cabo permanecem horizontais:
(a) determine o valor de θ correspondente à configuração de equilı́brio;
(b) porque é que a expressão que permite obter θ não é função do parâmetro b ?
B
T
T
b
A
a
V
L
θ
3. Duas engrenagens, cujos diâmetros são d1 = 18 cm e d2 = 24 cm, engrenam-se com uma terceira. Aplicando na engrenagem superior um binário de momento M1 , qual deve ser o momento M2 do binário a ser
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aplicado na engrenagem inferior, para manter o equilı́brio ?
d1
M1
d2
3 Forças Complanares Quaisquer
1. Uma barra prismática AB, de peso P , apoia-se em A sobre um piso horizontal e em B contra uma parede
vertical, sendo sustida por um cabo OD. Desprezando o atrito nos pontos de apoio, determinar as reacções
em A e B e o esforço no cabo OD.
B
3.60 m
P
30o
A
2.70 m
2. Determine completamente a força que deve ser aplicada em C, para que a recta de suporte da resultante do
sistema passe pelos pontos B e D.
0.06 m
0.2 kN
A
0.06 m
B
0.5 kN
60o
C
0.06 m
D
0.06 m
O
E 0.4 kN
3. Dado o sistema hipoestático representado na figura, determine o ângulo α para que a configuração seja de
equilı́brio. Calcule as reacções.
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1m
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1m
2m
45o
√
α
2 kN
4 kN m
4. Calcule as reacções nos apoios da estrutura.
2 kN
2 kN
2 kN
45o
A
1m
B
1m
3 kN
1m
2m
2m
1m
5. Calcule as reacções nos apoios da estrutura.
2 kN
4 kN
3 kN
1 kN/m
60o
A
2m
2m
2m
1m
6. Calcule as reacções nos apoios da estrutura.
C
45o
2 kN
3 kN
1 kN
2 kN/m
2m
B
1m
A
1m 1m 1m
7. Calcule as reacções nos apoios da estrutura.
2 kN
A
3 kN m
1 kN/m
3m
B
1m
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2m
2m
2m
5
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8. Calcular as reacções em A e B, sabendo que CD e AD representam um cabo e o ponto D uma roldana.
D
D
1.5 m
C
A
1m
10 kN A
B
1m
2m
B
1m
1m
2m
10 kN
1m
1m
9. O sistema representado é constituido por duas rodas, uma de raio R, apoiada em A, e outra de raio r, apoiada
em B. As duas rodas encontram-se engrenadas e ligadas por um cabo CDE que passa por uma roldana no
ponto D. Determine a relação entre a força no cabo e o momento M aplicado em C, para que haja equilı́brio,
e as reacções em A.
R/2 R/2
B
C
r
E
45o
A
M
D
60o
4 Forças Quaisquer no Espaço
1. O corpo representado na figura tem três ligações simples ao exterior e está-lhe aplicado um sistema de 3
forças activas, F~1 , F~2 e F~3 . Sabendo que D ≡ (2, 3, −2), M ≡ (2, 2, 1) e que o corpo está em equilı́brio,
determine:
(a) as reacções nos apoios A, B e C;
(b) a equação cartesiana do eixo central do sistema de forças activas.
z
~3 = (Fx , Fy , Fz )
F
A
C
O
E
y
~1 = (0, −1, 0)
F
B
F
D
x
~2 = (0, 0, −1)
F
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2. Considere uma placa com 3 m de lado, colocada no plano OXY . Em pontos dessa placa é aplicado um
sistema de três forças, assim definido:
F~1 = (−1, 0, 1) A1 ≡ (1, 1, 0)
F~2 = (2, 2, 0)
A2 ≡ (1, 3, 0)
F~3 = (0, 0, 1)
A3 ≡ (2, 2, 0)
(a) Determine a equação cartesiana do eixo central e o ponto em que este eixo intercepta a placa.
(b) Supondo que a placa está suspensa no ponto B1 ≡ (3, 0, 0) por uma biela com a direcção do eixo OZ,
diga em que ponto da placa se deverá ligar uma outra biela e que direcção deverá ela ter, para que a
placa se encontre em equilı́brio. Determine as reacções nas bielas.
z
45o
F~3
F~1
A1
y
A2
A3
B1
45o
F~2
x
3. O sistema representado na figura suporta uma carga de 20 kN, é apoiado em A por uma articulação e por
dois cabos fixos em D ≡ (4, −3, 0) e E ≡ (−4, −3, 0). O sistema encontra-se num plano vertical que forma
um ângulo de 20o com o plano OY Z. Determine as reacções em A, D e E.
z
B
6m
6m
E
A
6m
20o
D
x
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C
20 kN
y