RESOLUÇÃO DA SEGUNDA AVALIAÇÃO DE GEOMETRIA
9o ANO (ENSINO FUNDAMENTAL) TURMA - A
DATA: 10/08/2013
PROFESSOR: TÚLIO
QUESTÃO 01
Em um triângulo ABC, os lados medem AB = 4 cm, BC = 5 cm e AC = 6 cm. Considere um novo
triângulo, semelhante a ABC, possuindo perímetro medindo 20 cm.
Nessas condições, determine a medida do maior lado desse novo triângulo.
Esboço da resolução: O triângulo de perímetro 20 cm com vértices A′, B′ e C′ é tal que 4/a′ = 5/b′= 6/c′
(multiplique “em cruz” e terá relações entre as variáveis). Por outro lado, sabendo que a′ + b′ + c′ = 20,
ao substituirmos duas relações entre essas variáveis, deixando a igualdade anterior relativamente a
uma só variável, tem-se que a′ = 400/75 cm, b′ = 100/15 cm e c′ = 600/75 = 8 cm. Portanto, 8 cm é o
valor procurado.
QUESTÃO 02
A medida da hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles é 2 cm.
Qual a medida dos catetos?
Esboço da resolução: Denote por x a medida da hipotenusa e por y a medida dos catetos. Portanto,
pelo teorema de Pitágoras, temos que x2 = y2 + y2 = 2 y2. Logo, 4 = 2 y2 e então y = √2.
QUESTÃO 03
Em qualquer triângulo retângulo, a medida da mediana relativa à hipotenusa é igual à metade da
medida da hipotenusa. Em um triângulo retângulo, os catetos medem 7 cm e 24 cm.
Calcule a medida da mediana relativa à hipotenusa nesse triângulo.
 BC    AC    AB 
2
AM 
2
2
 x 2  72  242  x 2  49  576  x 2  625  x  25cm
1
25
BC  AM 
 AM  12,5cm
2
2
QUESTÃO 04
Considere um triângulo retângulo cujo comprimento de sua hipotenusa é de 15 cm e a diferença dos
comprimentos de seus catetos é de 3 cm.
Determine a medida dos catetos.
Esboço da resolução: Sejam a o comprimento da hipotenusa do triângulo, b e c o comprimento dos
catetos. Então temos que
b – c = 3  (b – c)2 = (3)2 b2 – 2bc + c2 = 9  b2 + c2 = 9 + 2bc(i)
a2 = b2 + c2(ii)
Substituindo (i) em (ii) obtemos
a2 = 9 + 2bc  225 = 9 + 2bc  bc = 108(iii)
Agora substituindo (i) em (iii) temos
(c + 3)c = 108  c2 + 3c – 108 = 0.
Resolvendo esta equação obtemos c = 9 e c = –12. Como c é a medida de um dos catetos segue que c
deve ser positivo. Desta forma, substituindo este valor em (i) obtemos b = 12.
QUESTÃO 05
Um pavão está sobre o topo de uma coluna de 12 m de altura, em cuja base há um buraco de cobra.
Vendo a cobra a 24 m de distância da coluna, o pavão avançou em linha reta alcançando-a antes que
ela chegasse à sua cova.
Se o pavão e a cobra percorreram distâncias iguais, a quantos metros da cova eles se encontraram?
(Exercício extraído do livro História da Matemática, de Carl Boyer, Editora Edgard Blücher, 1993.)
x 2  122   24  x   x 2  144  576  48 x  x 2  720  48 x  0  x  15m
2
24  x  9m
QUESTÃO 06
A
B
D
C
Na figura abaixo, o lado do quadrado ABCD é variável e sua medida é x. No
retângulo AEGB, o lado AE = 4 u.c. e o quadrilátero GHIF é um quadrado de
lado unitário.
A função que relaciona a medida de área sombreada, S, com o valor de x, é:
Esboço da resolução:
A área do retângulo AEGB é igual a 4x. A área da região sombreada é
obtida subtraindo da área do retângulo, a área do quadrado de lado x e a
área do quadrado GHIF, de lado unitário.
2
I
E
Assim, S(x) = 4x – (x + 1).
Ou seja, S(x) = –x2 + 4x – 1.
F
H
G
QUESTÃO 07
O antigo livro chinês Jiuzhang suanshu contém 246 problemas. Para a solução de alguns, é necessário
o uso do gou gu, ou seja, do Teorema de Pitágoras. Veja um desses problemas traduzido do Capítulo 9
do Jiuzhang. No alto de um bambu vertical está presa uma corda. A parte da corda em contato com o
solo mede 3 chih. Quando a corda é esticada, sua extremidade toca no solo a uma distância de 8 chih
do pé do bambu.
Que comprimento tem o bambu?
2
2
2
Se x é o comprimento do bambu temos: (x + 3) = x + 8 , o
55
que dá x =
 9,17 chih.
6
a
DESAFIO (Resolução Opcional) – OBM 2 Fase – Ano 2005
Quatro peças iguais, em forma de triângulo retângulo, foram dispostas de dois modos diferentes, como
mostram as figuras abaixo.
H
J
I
D
A
M
N
G
C
B
L
K
E
O
P
F
Os quadrados ABCD e EFGH têm lados respectivamente iguais a 3 cm e 9 cm. Determine a medida do
lado do quadrado IJKL.
Solução: Sejam x e y o maior e o menor catetos, respectivamente, do triângulo retângulo. Como o lado
do quadrado ABCD mede 3 cm, temos x – y = 3. Por outro lado, como o lado de EFGH mede 9 cm,
temos x + y = 9. Resolvendo o sistema, encontramos x = 6 e y = 3. Logo, o lado do quadrado IJKL, que
é a hipotenusa do triângulo retângulo, mede
62 + 32 = 45 = 3 5 cm.
Outra solução: O quadrado IJKL e o quadrado MNOP têm como lados as hipotenusas dos triângulos
retângulos dados, logo têm a mesma área s. Fazendo os dois quadrados coincidirem, concluímos que o
dobro da soma t das áreas dos quatro triângulos retângulos é a diferença entre as áreas dos quadrados
IJKL e EFGH, ou seja, 2t = 92 – 32 , o que fornece t = 36.
Assim, s = 9 + 36 = 81 – 36 = 45 cm2 e o lado do quadrado IJKL é 45 = 3 5 cm.