RESOLUÇÃO DA SEGUNDA AVALIAÇÃO DE GEOMETRIA 9o ANO (ENSINO FUNDAMENTAL) TURMA - A DATA: 10/08/2013 PROFESSOR: TÚLIO QUESTÃO 01 Em um triângulo ABC, os lados medem AB = 4 cm, BC = 5 cm e AC = 6 cm. Considere um novo triângulo, semelhante a ABC, possuindo perímetro medindo 20 cm. Nessas condições, determine a medida do maior lado desse novo triângulo. Esboço da resolução: O triângulo de perímetro 20 cm com vértices A′, B′ e C′ é tal que 4/a′ = 5/b′= 6/c′ (multiplique “em cruz” e terá relações entre as variáveis). Por outro lado, sabendo que a′ + b′ + c′ = 20, ao substituirmos duas relações entre essas variáveis, deixando a igualdade anterior relativamente a uma só variável, tem-se que a′ = 400/75 cm, b′ = 100/15 cm e c′ = 600/75 = 8 cm. Portanto, 8 cm é o valor procurado. QUESTÃO 02 A medida da hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles é 2 cm. Qual a medida dos catetos? Esboço da resolução: Denote por x a medida da hipotenusa e por y a medida dos catetos. Portanto, pelo teorema de Pitágoras, temos que x2 = y2 + y2 = 2 y2. Logo, 4 = 2 y2 e então y = √2. QUESTÃO 03 Em qualquer triângulo retângulo, a medida da mediana relativa à hipotenusa é igual à metade da medida da hipotenusa. Em um triângulo retângulo, os catetos medem 7 cm e 24 cm. Calcule a medida da mediana relativa à hipotenusa nesse triângulo. BC AC AB 2 AM 2 2 x 2 72 242 x 2 49 576 x 2 625 x 25cm 1 25 BC AM AM 12,5cm 2 2 QUESTÃO 04 Considere um triângulo retângulo cujo comprimento de sua hipotenusa é de 15 cm e a diferença dos comprimentos de seus catetos é de 3 cm. Determine a medida dos catetos. Esboço da resolução: Sejam a o comprimento da hipotenusa do triângulo, b e c o comprimento dos catetos. Então temos que b – c = 3 (b – c)2 = (3)2 b2 – 2bc + c2 = 9 b2 + c2 = 9 + 2bc(i) a2 = b2 + c2(ii) Substituindo (i) em (ii) obtemos a2 = 9 + 2bc 225 = 9 + 2bc bc = 108(iii) Agora substituindo (i) em (iii) temos (c + 3)c = 108 c2 + 3c – 108 = 0. Resolvendo esta equação obtemos c = 9 e c = –12. Como c é a medida de um dos catetos segue que c deve ser positivo. Desta forma, substituindo este valor em (i) obtemos b = 12. QUESTÃO 05 Um pavão está sobre o topo de uma coluna de 12 m de altura, em cuja base há um buraco de cobra. Vendo a cobra a 24 m de distância da coluna, o pavão avançou em linha reta alcançando-a antes que ela chegasse à sua cova. Se o pavão e a cobra percorreram distâncias iguais, a quantos metros da cova eles se encontraram? (Exercício extraído do livro História da Matemática, de Carl Boyer, Editora Edgard Blücher, 1993.) x 2 122 24 x x 2 144 576 48 x x 2 720 48 x 0 x 15m 2 24 x 9m QUESTÃO 06 A B D C Na figura abaixo, o lado do quadrado ABCD é variável e sua medida é x. No retângulo AEGB, o lado AE = 4 u.c. e o quadrilátero GHIF é um quadrado de lado unitário. A função que relaciona a medida de área sombreada, S, com o valor de x, é: Esboço da resolução: A área do retângulo AEGB é igual a 4x. A área da região sombreada é obtida subtraindo da área do retângulo, a área do quadrado de lado x e a área do quadrado GHIF, de lado unitário. 2 I E Assim, S(x) = 4x – (x + 1). Ou seja, S(x) = –x2 + 4x – 1. F H G QUESTÃO 07 O antigo livro chinês Jiuzhang suanshu contém 246 problemas. Para a solução de alguns, é necessário o uso do gou gu, ou seja, do Teorema de Pitágoras. Veja um desses problemas traduzido do Capítulo 9 do Jiuzhang. No alto de um bambu vertical está presa uma corda. A parte da corda em contato com o solo mede 3 chih. Quando a corda é esticada, sua extremidade toca no solo a uma distância de 8 chih do pé do bambu. Que comprimento tem o bambu? 2 2 2 Se x é o comprimento do bambu temos: (x + 3) = x + 8 , o 55 que dá x = 9,17 chih. 6 a DESAFIO (Resolução Opcional) – OBM 2 Fase – Ano 2005 Quatro peças iguais, em forma de triângulo retângulo, foram dispostas de dois modos diferentes, como mostram as figuras abaixo. H J I D A M N G C B L K E O P F Os quadrados ABCD e EFGH têm lados respectivamente iguais a 3 cm e 9 cm. Determine a medida do lado do quadrado IJKL. Solução: Sejam x e y o maior e o menor catetos, respectivamente, do triângulo retângulo. Como o lado do quadrado ABCD mede 3 cm, temos x – y = 3. Por outro lado, como o lado de EFGH mede 9 cm, temos x + y = 9. Resolvendo o sistema, encontramos x = 6 e y = 3. Logo, o lado do quadrado IJKL, que é a hipotenusa do triângulo retângulo, mede 62 + 32 = 45 = 3 5 cm. Outra solução: O quadrado IJKL e o quadrado MNOP têm como lados as hipotenusas dos triângulos retângulos dados, logo têm a mesma área s. Fazendo os dois quadrados coincidirem, concluímos que o dobro da soma t das áreas dos quatro triângulos retângulos é a diferença entre as áreas dos quadrados IJKL e EFGH, ou seja, 2t = 92 – 32 , o que fornece t = 36. Assim, s = 9 + 36 = 81 – 36 = 45 cm2 e o lado do quadrado IJKL é 45 = 3 5 cm.