Base
S  u1, u2 , ..., un   V
Teorema: Seja
um
sistema de geradores do espaço
vetorial V . Então dentre os vetores de
S existe uma base para V .
Teorema: Seja V um espaço vetorial
gerado por um conjunto finito de
vetores S  u1, u2 , ..., un   V . Então
qualquer conjunto com mais do que n
vetores é necessariamente linearmente
dependente (L.D.).
Dimensão
Corolário: Qualquer base de um espaço
vetorial V tem sempre o mesmo número
de elementos.
Definição: Dado um espaço vetorial
finitamente
gerado,
denominamos
dimensão de V ao número de vetores
de uma base de V .
Base e Dimensão
Teorema: Qualquer conjunto L.I. de
vetores de um espaço vetorial V de
dimensão finita pode ser completado de
modo a se tornar uma base para V .
Corolário: Se dim  V   n , qualquer
conjunto com n vetores L.I. formam
uma base de V .
Dimensão - Exemplos
dim  R2   2
dim  R3   3
dim  P2  R    3
dim  M 2  R    4
dim  Rn   n
dim  Pn  R    n  1
dim  M 2 x 3  R    6
dim  M mxn  R    m.n
Exercício
Exercício 01: Obtenha bases e
dimensões
para
os
subespaços
vetoriais abaixo relacionados:
3
W

x
,
y
,
z

R
2 x  y  3z  0


1.
2.
W   x, y, z, t   R4 2 x  y  0, t  3z
3.
W  ax 2  bx  c  P2  R  a  b  c  0
 a b 

 M2  R  3a  b  0  c  d 
4. W  

 c d 

Processo Prático: Base
 
n
A permuta de dois vetores, dentre os
geradores, não altera o subespaço
gerado.
A substituição de um vetor por uma
combinação linear dele com outros do
conjunto, não altera o subespaço gerado.
Vetores geradores na forma escalonada
formam um conjunto L.I.
Exercícios
Exercício 02: Determinar uma base e a
dimensão para W, U e U  W , sendo:
W   2,1,1,0  , 1,0,1, 2  ,  0, 1,1, 4  
U   x, y, z, t   R 4
x  2 y , z  t
Exercícios
Exercício 03: Considere o sistema
linear e determine uma base e a
dimensão para o subespaço das
soluções:
 2x  y  2z  t  0

S :  x  2 y  3z  2t  0
 3x  y  z  t
 0

Teorema da Dimensão
Teorema: Sejam U e W dois subespaços
vetoriais de um dado espaço vetorial com
dimensão finita, então:
dim  U   dim  V 
dim  W  dim  V 
dim  U  W  dim  U  dim  W  dim  U  W
Proposição: Se W é um subespaço
vetorial de V ,  ,  tal que
dim  W  dim  V 
então
WV
Exercícios
Exercício 04: Determinar uma base e a
dimensão para W, U , U  W e U  W ,
sendo:
W   2,1,1,0  , 1, 1,0, 2  ,  0, 1,1, 4  
U   2,0,0,1 , 1,0,0, 2  , 1,1,1,1 ,  0, 2, 2,1 