NOTAS DE AULA - ÁLGEBRA LINEAR
ESPAÇOS VETORIAIS
TRANSFORMAÇÕES LINEARES
ISABEL C. C. LEITE
SALVADOR – BA
2007
Prof.ª Isabel Cristina C. Leite
Álgebra Linear
1
ESPAÇOS VETORIAIS
Definição:
Seja um conjunto V, não vazio, sobre o qual estão definidas as operações adição e multiplicação por
um escalar, ou seja,
∀u, v ∈ V, u + v ∈ V
∀α ∈ R, ∀u ∈ V, αu ∈ V.
O conjunto V com essas duas operações é chamado espaço vetorial real (ou espaço vetorial sobre
R) se as seguintes propriedades forem satisfeitas:
A) Em relação à adição: ∀u, v, w ∈ V
A1) (u + v) + w = u + (v + w)
A2) u + v = v + u
A3) ∃ 0 ∈ V tal que u + 0 = u
A4) ∃ –u ∈ V tal que u + (–u) = 0
M) Em relação à multiplicação por escalar: ∀u, v ∈ V e ∀α, β ∈ R
M1) (αβ) u = α (βu)
M2) (α + β) u = αu + βu
M3) α (u + v) = αu + αv
M4) 1u = u
Exemplos:
1. V = R² = {(x, y)/ x, y ∈ R} é um espaço vetorial com as operações usuais de adição e
multiplicação por escalar:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
α (x, y) = (αx, αy)
2. Os conjuntos R³, R4, ..., Rn são espaços vetoriais com as operações usuais de adição e
multiplicação por escalar.
3. V = M(m,n), o conjunto das matrizes reais m x n com a soma e o produto por escalar usuais.
Em particular:
3.1. V = M(n,n) o conjunto das matrizes quadradas de ordem n;
3.2. V = M(1,n) = {[a11, a12, ..., a1n]; aij ∈ R}, também identificado com V = Rn
são espaços vetoriais relativamente às mesmas operações.
4. O conjunto Pn = {a0 + a1x + a2x² + ... + anxn; ai ∈ R} dos polinômios com coeficientes reais de
grau ≤ n, em relação às operações usuais de adição de polinômios e multiplicação por
escalar.
Em particular, o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 2,
P2 = {a0 + a1x + a2x²; ai ∈ R} é um espaço vetorial relativamente às mesmas operações.
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Propriedades dos espaços vetoriais
Da definição de espaço vetorial V decorrem as seguintes propriedades:
i.
Existe um único vetor nulo em V (elemento neutro da adição).
ii.
Cada vetor u ∈ V admite apenas um simétrico (–u) ∈ V.
iii.
Para quaisquer u, v, w ∈ V, se u + v = u + w, então v = w.
iv.
Qualquer que seja v ∈ V, tem-se –(–v) = v.
v.
Quaisquer que sejam u, v ∈ V, existe um e somente um w ∈ V tal que u + w = v.
Esse vetor w será representado por w = v – u.
vi.
Qualquer que seja v ∈ V, tem-se 0v = 0.
vii.
Qualquer que seja λ ∈ R, tem-se λ0 = 0.
viii.
Se λv = 0, então λ = 0 ou v = 0.
ix.
Qualquer que seja v ∈ V, tem-se (–1)v = –v.
x.
Quaisquer que sejam u, v ∈ V e λ ∈ R, tem-se (–λ)v = λ(–v) = – (λv).
SUBESPAÇOS VETORIAIS
Definição
Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, é um subespaço vetorial de V se:
i.
Para quaisquer u, v ∈ W tem-se u + v ∈ W.
ii.
Para qualquer α ∈ R, u ∈ W, tem-se α u ∈ W.
Observações
1. As condições da definição garantem que ao operarmos em W não obteremos um vetor fora de
W. De modo que W é ele próprio um espaço vetorial.
2. Qualquer subespaço W de V precisa necessariamente conter o vetor nulo (condição (ii) para
α = 0 ).
3. Todo espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços (chamados subespaços triviais), o
conjunto formado somente pelo vetor nulo e o próprio espaço vetorial.
Exemplos
1. Sejam V = R² e W = {(x, 2x); x ∈ R}.
Evidentemente, W ≠ Φ, pois (0,0) ∈ W.
Verifiquemos as condições (i) e (ii).
Para u = (x1, 2x1) e v = (x2, 2x2) ∈ W, tem-se:
i.
u + v = (x1, 2x1) + (x2, 2x2) = (x1 + x2, 2x1 + 2x2) = (x1 + x2, 2(x1 +x2)) ∈ W, pois a segunda
componente de u + v é igual ao dobro da primeira.
ii.
αu = α(x1, 2x1) = (αx1, 2(αx1)) ∈ W, pois a segunda componente de αu é igual ao dobro da
primeira.
Portanto, W é um subespaço vetorial de R² que representa geometricamente uma reta que
passa pela origem.
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Observemos que ao tomarmos dois vetores u e v da reta que passa pela origem, o vetor soma
ainda é uma reta que passa pela origem. E se multiplicarmos um vetor u da reta por um
número real α, o vetor αu ainda estará nesta reta.
O mesmo não ocorre quando a reta não passa pela origem. Por exemplo, a reta
W = {(x, 4 – 2x); x ∈ R}
não é um subespaço vetorial do R².
Se escolhermos os vetores u = (1, 2) e v = (2, 0) de W, temos u + v = (3, 2) ∉ W.
Ainda αu ∉ W, para α ≠ 1.
Os exemplos destas duas retas sugerem, para qualquer subconjunto W de um espaço vetorial
V, que: sempre que 0 ∉ W, W não é subespaço de V. No entanto, se 0 ∈ W não nos
enganemos pensando de imediato que W seja subespaço de V, pois será necessário verificar
as propriedades (i) e (ii).
Para V = R², os subespaços triviais são {(0,0)} e o próprio R², enquanto que os outros
subespaços (subespaços próprios) são as retas que passam pela origem.
2. Sejam V = R4 e W = {(x,y,z,0); x,y,z ∈ R}.
(0,0,0,0) ∈ W
Para u = (x1, y1, z1, 0) e v = (x2, y2, z2, 0) ∈ W:
i.
u + v = (x1, y1, z1, 0) + (x2, y2, z2, 0) = (x1 + x2, y1 + y2, z1+ z2, 0) ∈ W, pois a quarta
componente é nula.
ii.
αu = α(x1, y1, z1, 0) = (αx1, αy1, αz1, 0) ∈ W, pois a quarta componente é nula.
Logo, W é subespaço vetorial de R4.
3.
Sejam V = M(3,1) e W o conjunto-solução de um sistema linear homogêneo a três variáveis.
Consideremos o sistema homogêneo
a11 x + a12 y + a13 z = 0

a 21 x + a 22 y + a 23 z = 0
a x + a y + a z = 0
32
33
 31
Fazendo:
 a11 a12 a13 
x
0 




A = a 21 a 22 a 23 , X =  y 
e 0 = 0 , o sistema, em notação matricial, será dado
a31 a32 a33 
 z 
0
por AX = 0, sendo X elemento do conjunto-solução W.
 x1 
 x2 


Se u = X 1 =  y1  e v = X 2 =  y 2  são soluções do sistema, então: AX1 = 0 e AX2 = 0.
 z1 
 z 2 
i.
ii.
Somando essas igualdades, vem: AX1 + AX2 = 0 ou A(X1 + X2) = 0 ⇒ X1 + X2 ∈ W, isto é,
a soma de duas soluções é ainda uma solução do sistema.
Multiplicando por α ∈ R a primeira igualdade, vem: α(AX1) = 0 ou A(αX1) = 0 ⇒ αX1 ∈ W,
isto é, o produto de uma constante por uma solução é ainda uma solução do sistema.
Logo, o conjunto-solução W do sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial de
M(3,1).
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Exercícios
1. Verifique se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais.
OBS: Os símbolos ⊕ e ⊗ , quando utilizados, são para indicar que a adição e a multiplicação
por escalar não são usuais.
a) V = {(x, x²); x∈R} com as operações definidas por:
(x1, x1²) ⊕ (x2, x2²) = (x1 + x2, (x1 + x2)²)
α ⊗ (x, x²) = (αx, α²x²)
b) V = R+* com as operações definidas por x ⊕ y = xy e α ⊗ x = xα, ∀ x, y ∈ V.
2. Verifique se os seguintes subconjuntos dos espaços vetoriais dados são subespaços vetoriais
destes.
{
}
a) W = ( x, y ) ∈ R 2 , y = x ⊂ R 2
a b

b) W = 
; a, b ∈ R  ⊂ M 2 ( R )

  0 0

INTERSECÇÃO DE SUBESPAÇOS VETORIAIS
Definição
Sejam W1 e W2 subespaços vetoriais de V.
W = W1 ∩ W2 = {v ∈ V; v ∈ W1 e v ∈ W2}
Teorema: A intersecção W de dois subespaços vetoriais W1 e W2 de V é também um subespaço
vetorial de V.
Exemplos:
 a b 

 a b 

1. V = M(2,2), W1 = 
; a = d − b, c = 0 e W2 = 
; a = c = d , b = 0 , ou seja,


 c d 

 c d 

 d − b b  
 a ' 0  
W1 =  
 e W2 =  


d 
 0
a' a' 
Para encontrarmos W1 ∩ W2, as condições de W1 e de W2 devem ser satisfeitas simultaneamente.
b = 0
a' = 0

 0 0  

Assim temos: a' = d ⇒ d = 0 . Portanto W1 ∩ W2 = 
.
0 0 


d - b = a'
2. V = P2(R), espaço dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2.
V = {a + bx + cx²; a, b, c ∈ R}
W1 = {a + bx + cx²; a – 2b + c = 0} e W2 = {a + bx + cx²; a = 0}
W1 ∩ W2 = {a + bx + cx²; – 2b + c = 0, a = 0}
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SOMA DE SUBESPAÇOS VETORIAIS
Definição
Sejam W1 e W2 subespaços vetoriais de V.
W = W1 + W2 = {u + w ∈ V; u ∈ W1 e w ∈ W2}
Teorema: A soma W de dois subespaços vetoriais W1 e W2 de V é também um subespaço vetorial
de V.
Considerando os mesmos espaços e respectivos subespaços dos exemplos anteriores:
b 
d − b b  a ' 0  a '+ d − b
1. 
+
=


d  a ' a '  a '
a '+ d 
 0
 c − b b 

 x y 

W 1 + W2 =  
; a' , b, c ∈ R  ou W1 + W2 = 
; x = w − y


c
 a'

  z w

2
2
2. Sejam p = 2b – c + bx + cx ∈ W1 e q = b’x + c’x ∈ W2.
p + q = (2b – c) + (b + b’)x + (c + c’) x2. Como não existe nenhuma relação de dependência entre
os valores 2b – c, b + b’ e c + c’, W1 + W2 é um polinômio qualquer de P2(R).
W1 + W2 = P2(R).
SOMA DIRETA DE SUBESPAÇOS VETORIAIS
Definição
Sejam W1 e W2 subespaços vetoriais de V. Diz-se que V é soma direta de W1 e W2 , e se representa
por V = W1 ⊕ W2, se V = W1 + W2 e W1 ∩ W2 = {0}.
Teorema:
Se V é soma direta de W1 e W2 todo vetor v ∈ V se escreve de modo único na forma v = u + w, onde
u ∈ W 1 e w ∈ W 2.
Exemplo:
Sejam V = R3 , ou seja, V = {(a,b,c); a,b,c ∈ R} e os seus subespaços W1 = {(a, b, 0); a, b ∈ R} e
W2 = {(0,0,c); c ∈ R}.
R3 é soma direta de W1 e W2, pois W1 + W2 = {(a,b,c); a,b,c ∈ R}e W1 ∩ W2 = {(0,0,0)}.
Confirmando o teorema acima, ∀ v = (a,b,c) ∈ R3, (a, b, c) = (a, b, 0) + (0, 0, c), escrito de modo
único.
Exercício:
 a b 

 a b 

Sejam W1 = 
; a = d e b = c  e W2 =  
; a = c e b = d  subespaços de M2(R).


 c d 

 c d 

Determine W1 ∩ W2, W1 + W2 e verifique se M2(R) = W1 ⊕ W2.
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COMBINAÇÃO LINEAR
Sejam os vetores v1 , v2 ,K, vn do espaço vetorial V e os escalares a1 , a 2 ,K, a n . Qualquer vetor v ∈ V
da forma v = a 1 v 1 + a 2 v 2 + K + a n v n é uma combinação linear dos vetores v1 , v2 ,K, vn .
Exemplo: Em P2, o polinômio
p = 5t 2 − 5t + 7 é uma combinação linear dos polinômios
p1 = t 2 − 2t + 1, p2 = t + 2 e p3 = 2t 2 − t , pois p = 3 p1 + 2 p2 + p3 .
Exercícios
1) Escrever v = (4,3,−6) como combinação linear de v1 = (1,−3,2) e v2 = (2,4,−1) .
− 8 14
2 − 3
2) Para que valor de k a matriz A = 
é combinação linear de A1 = 

 e
0 k
0 2 
− 1 2 
A2 = 
?
 0 4
3) Mostrar que o vetor v = (3,4) ∈R² pode ser escrito de infinitas maneiras como combinação
linear dos vetores v1 = (1,0) , v2 = (0,1) e v3 = (2,−1) .
SUBESPAÇOS GERADOS
Sejam V um espaço vetorial e A = {v1 , v2 ,K, vn } ⊂ V, A ≠ Φ .
O conjunto W de todos os vetores de V que são combinação linear dos vetores de A é um subespaço
vetorial de V.
W = {v ∈ V; v = a1v1 + a 2 v2 + K + a n vn ; a1 , a 2 ,K, a n ∈ R} é dito subespaço gerado pelo conjunto A.
Notação: W = [ v1 , v2 , K , vn ] ou W = G(A).
Observações:
1) v1 , v2 , K , vn são ditos vetores geradores do subespaço W.
2) Por definição: A = Ф ⇔ [Ф] = {0}.
3) A ⊂ G(A), ou seja, {v1 , v2 ,K, vn } ⊂ [ v1 , v2 , K , vn ].
4) Todo subconjunto A de V gera um subespaço vetorial de V, podendo ocorrer G(A) = V.
Nesse caso, A é o conjunto gerador de V.
5) Seja W = [ v1 , v2 , K , vn ]. Ao acrescentarmos vetores de W ao conjunto dos geradores, os
novos conjuntos continuarão gerando o mesmo subespaço W.
6) A observação 5 nos permite concluir que um espaço vetorial pode ser gerado por uma
infinidade de vetores, mas existe um número mínimo de vetores para gerá-lo.
Exemplos:
1) i = (1,0) e j = (0,1) geram o R², pois (x,y) = x(1,0) + y(0,1), x, y ∈ R.
2) i = (1,0,0) e j = (0,1,0) geram o subespaço do R³: W = {(x,y,0)∈R³; x, y ∈ R} que
geometricamente representa o plano x0y.
3) i = (1,0,0), j = (0,1,0) e k = (0,0,1) geram o R³, pois (x,y,z) = x(1,0,0) + y(0,1,0)+z(0,0,1), x, y,
z ∈ R.
4) i = (1,0,0), j = (0,1,0) e v = (3,4,0) geram o subespaço do R³: W = {(x,y,0)∈R³; x, y ∈ R}.
5) u = (2,-1,3) e v = (0,-1,2) geram o subespaço do R³: W = {(x,y,z)∈R³; x - 4y -2z = 0}
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 − 1 2 3 − 1 
 x
6) A = 
,
gera
o
subespaço
de
M
(R):
W
=
2




− 2 3 1 1  
 − y
7

y 
;
x
,
y
∈
R
.
x + 2 y 

ESPAÇOS FINITAMENTE GERADOS
Um espaço vetorial V é finitamente gerado se existe um conjunto finito A, A ⊂ V, tal que V = G(A).
Todos os exemplos de espaços vetoriais vistos até agora são exemplos de espaços finitamente
gerados. Um exemplo de espaço vetorial não finitamente gerado é o espaço P de todos os
polinômios reais.
DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR
Sejam V um espaço vetorial, A = {v1 , v2 ,K, vn } ⊂ V e a1v1 + a 2 v2 + K + an vn = 0 .
O conjunto A diz-se linearmente independente (L.I.) ou os vetores v1 , v2 ,K, vn são ditos L.I., caso a
equação acima admita apenas a solução trivial a1 = 0, a 2 = 0, K, a n = 0 .
Se existirem soluções ai ≠ 0 para algum i = 1, 2, ..., n, diz-se que o conjunto é linearmente
dependente (L.D.)
Exemplos:
a) Em V = R³, os vetores u = (2,-1,3), v = (-1,0,-2) e w = (2,-3,1) são L.D., pois podemos escrever
a combinação linear 3u + 4v – w =0.
b) Em V = P3(R), os polinômios p1 = 2 + 2 x + 3 x 2 + 4 x 3 , p2 = 5 x − 3 x 2 + x 3 e p3 = 4 x 2 − 2 x 3 são
L.I., pois a1 p1 + a 2 p 2 + a3 p3 = 0 somente quando a1 = a 2 = a3 = 0.
c) Em V = R², i = (1,0) e j = (0,1) são L.I.
d) Em V = R², i = (1,0), j = (0,1) e v = (3,-2) são L.D., pois podemos escrever a combinação linear
–3i + 2j + v = 0.
Atenção: Faça os cálculos que conferem as afirmações acima.
Teorema
Um conjunto A = { v1 , v2 ,K, vn } é L.D. se, e somente se, pelo menos um desses vetores é combinação
linear dos outros.
Ou, equivalentemente, um conjunto A = { v1 , v2 ,K, vn } é L.I. se, e somente se, nenhum desses vetores
pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Do teorema acima podemos concluir que para o caso particular de dois vetores, temos que:
u e v são L.D. se, e somente se, um vetor é múltiplo escalar do outro.
Exemplo:
 1
2  3
6 
A = 
,

  ⊂ M2(R) é um conjunto L.D., pois podemos escrever a combinação
− 4 − 3 − 12 − 9 
2   3 6  0 0 
6
2
1
 3
1
−
=
. Notemos que 
= 3⋅ 
linear 3 ⋅ 




.
− 4 − 3 − 12 9 0 0
− 12 9
− 4 − 3
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Exercício: Verifique se são L.D. os seguintes conjuntos.
{
}
1) 1 + 2 x − x 2 ,2 − x + 3 x 2 ,3 − 4 x + 7 x 2 ⊂ P2(R)
2) {(2,−1), (1,3)} ⊂ R²
PROPRIEDADES DA DEPENDÊNCIA E DA INDEPENDÊNCIA LINEAR
Seja V um espaço vetorial.
1. Se A = {v} ⊂ V e v ≠ 0, então A é L.I.
2. Considera-se por definição que o conjunto vazio Ф é L.I.
3. Se um conjunto A ⊂ V contém o vetor nulo, então A é L.D.
4. Se uma parte de um conjunto A ⊂ V é L.D., então A é também L.D.
5. Se um conjunto A ⊂ V é L.I., então qualquer parte de A é também L.I.
Observemos que a recíproca desta afirmação não é verdadeira.
De fato, voltando ao exemplo (d), A = {(1,0), (0,1), (3,-2)} temos que qualquer subconjunto próprio
de A é L.I.
A1 = {(1,0)}, A2 = {(0,1)}, A3 ={(3,-2)}, A4 = {(1,0), (0,1)}, A5 = {(1,0), (3,-2)}, A6 = {(3,-2), (0,1)}
Porém verificamos que o conjunto A é LD.
6.
Se A = { v1 , v2 ,K, vn } é L.I e B = { v1 , v2 , K , vn , w} é L.D., então w é combinação linear dos
vetores v1 , v2 ,K, vn .
BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL
Um conjunto B = {v1 , v 2 ,K, v n } ⊂ V é uma base do espaço vetorial V se:
i)
B é LI;
ii)
B gera V.
Exemplos:
1) B = {(1, 1), (-1, 0)} é base do R2.
OBS: quaisquer dois vetores não colineares do R2, portanto LI formam uma base desse espaço.
2) B = {(1, 0), (0, 1)} é base do R2 , denominada base canônica.
3) B = { e1 , e2 , K , en } é base canônica do Rn, onde
e1 = (1,0,0, K,0 ), e2 = (0,1,0,K,0 ),K, en = (0,0,K,1) são vetores LI e
∀v ∈ R n pode ser escrito como v = x1e1 + x2 e2 + K + x n en .
1 0 0 1 0 0 0 0 
4) B = 
, 0 0, 1 0, 0 1  é base canônica de M2(R).
0
0

 
 
 


{
}
5) B = 1, t , t 2 , K , t n é base canônica do espaço vetorial Pn e tem n + 1 vetores.
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6) B = {(1,2), (-2, -4)} não é base do R2, pois é LD.
7) B = {(3, -1)} não é base do R2, pois não gera todo R2. Esse conjunto gera uma reta que passa pela
origem. W = [(3, -1)] = {(x, y) ∈ R2; x = -3y}
8) B = {(1,2,1), (-1,-3,0)} não é base do R3, pois não gera todo R3. B gera o subespaço do R3
W = ( x, y, z ) ∈ R 3 ;3 x − y − z = 0 e por ser LI é base de W.
{
}
OBS: Todo conjunto LI de um espaço vetorial V é base do subespaço por ele gerado.
Teorema: Se B = {v1 , v2 ,K, v n } for uma base de um espaço vetorial V, então
i) todo conjunto com mais de n vetores será LD;
ii) todo conjunto com menos de n vetores não gera V.
Corolário: Duas bases quaisquer de um mesmo espaço vetorial têm o mesmo número de vetores.
DIMENSÃO de um espaço vetorial: é o número de vetores da base de um espaço vetorial.
Exemplos:
1) dim R2 = 2
2) dim Rn = n
3) dim M2(R) = 4
4) dim M(m,n) = m⋅n
5) dim Pn = n + 1
6) dim {0} = 0 , pois {0} é gerado pelo conjunto vazio e portanto não possui base.
Observações:
1) dim V = n e W é subespaço de V ⇒ dim W ≤ n
No caso de dim W = n, então temos que W = V.
Ex: V = R3, dim V = 3. A dimensão de qualquer subespaço W do R3 só poderá ser 0, 1, 2 ou
3. Portanto temos:
a. dim W = 0, então W = {(0,0,0)} é a origem.
b. dim W = 1, então W é uma reta que passa pela origem.
c. dim W = 2, então W é um plano que passa pela origem.
d. dim W = 3, então W = R3.
2) Se dim V = n, então qualquer subconjunto de V com mais de n vetores é LD.
3) Se soubermos que a dim V = n, para obtermos uma base de V basta que apenas uma das
condições de base esteja satisfeita, pois a outra ocorrerá como conseqüência. Ou seja:
a. Se dim V = n, qualquer subconjunto de V com n vetores LI é uma base de V.
b. Se dim V = n, qualquer subconjunto de V com n vetores geradores de V é uma base de V.
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EXERCÍCIOS
1. Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços de V = ℜ 2 .
{
b) W = {( x, y ) ∈ ℜ ,
}
{
d) W = {( x, y ) ∈ ℜ ,
a) W = ( x, y ) ∈ ℜ 2 , y = ax, a constante real .
2
}
c) W = ( x, y ) ∈ ℜ 2 , y = x 3
y= x .
2
}
}
y = sen(x )
2. Dados os espaços vetoriais abaixo diga, em cada caso, se W é subespaço vetorial de V sobre ℜ .
c) V = P2 (ℜ ) .
a) V = ℜ 3 .
a.1) W = ( x, y, z ) ∈ ℜ 3 , x + y + z = 1 .
{
}
a.2) W = {( x, y, z ) ∈ ℜ , x = 2 y + z }.
a.3) W = {( x, y, z ) ∈ ℜ , x. y = 0}.
{
c.2) W = {at
}
c.1) W = at 2 + bt + c ∈ V , a − 2b + c = 0 .
3
2
}
+ bt + c ∈ V , c = 4 .
3
d) V = F (ℜ, ℜ ) . Espaço das funções contínuas de
b) V = M 2 (ℜ ) .
b.1) W = {A ∈ V , AT = TA, T fixada em V } . ℜ em ℜ .
d.1) W = { f ∈ V , f (− x ) = − f ( x )}.
b.2) W = A ∈ V , A 2 = A .
d.2) W = { f ∈ V , f (3) = 0} .
b.3) W = {A ∈ V , A é inversível} .
{
}
{
}
{
}
3. Seja V = M 2 (ℜ ) e sejam W1 = A ∈V , At = A e W2 = A ∈V , At = − A . Mostre que:
a) W1 e W2 são subespaços de V;
b) V = W1 + W2 ;
4. No exercício anterior, mostre que V = W1 ⊕ W2 .
5. Escreva, se possível, cada vetor v como combinação linear dos elementos de S, sendo:
 3 2   0 0   0 0   4 1 
 1 1
 e S = 
, 
, 
, 
 .
a) v = 
 0 1
 0 0   0 3   1 0   9 5 
b) v = (2,7 ) e S = {(1,0), (2,9)} .
c) v = (0,0,3) e S = {(2,0,0), (0,1,0)} .
{
}
d) d) v = p (t ) = t 3 + 4t 2 + t + 1 e S = 2, 3t , t 2 − 1, t 3 .
{
}
e) v = f (x ) = sen ( x ) e S = cos ( x ), 3 .
2
2
6. Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
{
}
a) W = ( x, y, z ) ∈ ℜ 3 , x + z = 0 e x − 2 y = 0 .
{
}
b) W = ( x, y, z ) ∈ ℜ 3 , x + 2 y − 3 z = 0 .
 a b 

 ∈ M 2 (ℜ ), a + c = 0 e d = 0 .
c) W = 
 c d 

{
}
d) W = at 3 + bt 2 + ct + d ∈ P3 (ℜ), b = c e a = 0
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11
7. Seja { u, v, w} um conjunto L.I. de vetores de um espaço vetorial V. Mostre que
{ u + v − 3w, u + 3v − w, w} é L.I. .
{
(
8. Determine k de modo que o conjunto (1,0, k ), (1,1, k ), 1, k , k 2
)} seja L.I. .
9. Mostre que os seguintes pares de vetores em V= F (ℜ, ℜ ) são L.I. .
b) x, x 2
a) 1, x
c) x.e x , e 2 x
d) sen( x ), cos( x )
10. Verifique quais dos seguintes conjuntos:
i) são L.I.
a)
b)
ii) geram os espaços V considerados.
iii) são bases dos espaços V considerados.
{(1,0,0,0), (1,1,0,0), (1,1,1,0), (1,1,1,1)} ⊂ V = ℜ 4 .
{(− 1,1), (1,1), (1,2)} ⊂ V = ℜ 2 .
1 − 1  − 1 1   1 − 1  1 1 
 , 
 , 
 , 
 ⊂ V = M 2 (ℜ ) .
c) 
1 − 1  1 − 1  0 0   − 1 − 1
 0 2 0   3 0 0   0 0 0 
 , 
 , 
 ⊂ V = M 2 x 3 (ℜ ) .
d) 
 2 0 0   0 0 0   0 1 0 
e)
f)
{t
{t
2
2
}
+ t, t, 1
⊂ V = P2 (ℜ ) .
}
, 5t 2 − 3, 1
⊂ V = P2 (ℜ ) .
11. Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços vetoriais:
a) W = [(1,0,0), (0,5,−2), (7,0,2), (3, π ,2)] em V = ℜ 3 .
b) W = [(1,3,0,1), (3,4,−7,2), (− 3,1,14,−1), (2,3,0,1)] em V = ℜ 4 .
{
c) W = A ∈ M 2 (ℜ), A = At
}
em V = M 2 (ℜ ) .
d) Os subespaços do exercício 6.
e) W = [sen(x ), cos( x )], V = F (ℜ, ℜ ) .
f) W = [e x , e 2 x , e 3 x ], V = F (ℜ, ℜ ) .
12. Encontre as equações lineares homogêneas que caracterizam os seguintes subespaços:
a) W = [(− 2,1,0), (3,0,1), (− 1,2,1)] em V = ℜ 3 .
b) W = [(2,1,−2), (4,−2,−4 )] em V = ℜ 3 .
c) W = [(1,1,1,1), (0,1,0,0), (0,0,0,1), (0,0,1,0)] em V = ℜ 4 .
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12
1 0   − 2 1   3 1 
, 
, 
 em V = M 2 (ℜ ) .
d) W = 
−
1
0
1
0
4
0







[
]
e) W = t 3 + t , t 2 − 2t , 1 em V = P3 (ℜ ) .
13. Em cada caso a seguir, determine os subespaços U ∩ W , U + W de V e uma base para cada um dos
subespaços encontrados:
a) V = ℜ 4
U = {(x, y, z , w) ∈ V , x + y = w − z = 0} e

W = {( x, y, z , w) ∈ V , z = 0 e w = 0}
b) V = ℜ 3
U = {( x, y, z ) ∈ V , x = 0} e

W = [(0,2,0 ), (1,2,3), (7,12,21), (− 1,−2,−3)]
c) V = M 2 (ℜ )

 x y 

 ∈ V , x + 2 y + w = 0, z = 0 e
U = 

 z w 


 x y 


W =  z w  ∈ V , y + 3z = 0, w = 0




d) V = ℜ 3
U = [(1,0,2 ), (0,1,1), (1,1,3)] e

W = [(0,−1,1), (0,1,−1 2 )]
14. Dados os vetores u = (2, − 1,4,0), v = (1,1,2,3) e t = (4,1,8,6) :
a) Encontre uma base para S = [u, v, t ] ;
b) Escreva as equações que caracterizam S;
c) Que relação deve existir entre a e b para que (0, a,0, b ) pertença a S ?
d) Seja Y = [(0,1,0,2)] . Determine Y ∩ S , dim(Y + S ) e uma base para Y + S .
15. Verifique se V = U ⊕ W nos seguintes casos:
a) V = M 2 x 3

 a b c 
 ∈ V , a = b =
U = 

 d e f 

 a b c 


W =  d e f  ∈ V , d = 0




b) V = ℜ 4
U = {( x, y, z , w) ∈ V , x + w = y = z + w = 0}

W = {( x, y, z , w) ∈ V , x = z = 0}

f

c) itens do exercício 13o
16. Determine uma base do ℜ 5 que contenha o conjunto {(1,1,0,0,0), (1,0,1,0,0)} . Justifique sua resposta.
17. Sendo W = [(1,−2,3), (− 3,5,1), (7,−12,1)] , encontre um subespaço U do ℜ 3 tal que ℜ 3 = U ⊕ W .
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18. Sejam W1 e W2 subespaços do ℜ 5 . Sabendo-se que:
• dim(W1 + W2 ) = 4 ;
•
•
{(1,2,1,0,0), (0,1,1,0,0)} é base de W1 ;
W1 ∩W2 = [(1,−1,1,0,0), (2,1,0,−1,1), (1,2,−1,−1,1)] .
Determine a dimensão de W2 . Justifique a sua resposta.
19. Sabendo que ℜ 4 = V ⊕ W e V = [(1,2,3,4), (3,6,9,12)] , determine a dimensão de W. Justifique.
20. Sejam V um espaço vetorial de dimensão igual a 6, U e W subespaços de V tais que:
a) dim(U ) = 4 e dim(W ) = 5 . Mostre que U ∩W ≠ {0} .
b) dim(U ) = dim(W ) = 4 . Encontre as possíveis dimensões para U ∩ W .
21. Dê, se possível, exemplos de:
a)
b)
c)
d)
Um conjunto L.I. de 3 vetores que não geram o ℜ 3 ;
Um conjunto L.D. de 3 vetores do M 2 (ℜ) ;
Um subespaço U de ℜ 4 tal que U ≠ ℜ 4 e dim(U ) = 4 ;
Dois subespaços W e U de ℜ 5 tais que dim(U ) = dim(W ) = 3 e U ⊕ W = ℜ 5 .
Caso seja impossível, justifique sua resposta.
22. Determine as coordenadas dos seguintes vetores em relação às bases indicadas:
a) (4, − 5, 3)
 B = {(1, 1, 1), (1, 2 , 0), (3, 1, 0)}

 B' = {(1, 2 , − 1), (0 , 3, 2 ), (1, 1, 4 )}
 1 2

b) 
 −1 0 

 1 1   1 0   0 0   0 0 
 , 
 , 
 , 

 B = 

 0 0   0 0   0 1   1 0 

 B' = base canônica de M 2 (ℜ )
c) 2t 3 + 5t 2 − 2t
 B = t 3 + t 2 , t 2 + t, t-2, 3

 B' = base canônica de P3 (ℜ )
{
}
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14
Respostas
1.
a) sim
b) não
c) não
2.
a.1) não
b.1) sim
a.2) sim
b.2) não
a.3) não
b.3) não
5.
a) 
d) não
c.1) sim
d.1) sim
c,2) não
d.2) sim
 1 1 3  3 2 2  0 0 9  0 0 1  4 1
= 
+ 
+ 
− 

 0 1 5  0 0 3  0 3 5  1 0 5  9 5
b) ( 2 ,7) =
4
7
(1,0) + ( 2,9)
9
9
c) não é possível.
d) t 3 + 4t 2 + t + 1 =
(
(
)
1
(3)
3
b)
{( − 2 ,1,0) , ( 3,0,1)}
e) sen2 x = −1 cos2 x +
{( 2 ,1,−2)}
6.
a)
8.
k ≠ 0 e k ≠1
10. a)
b)
c)
d)
e)
f)
i) L.I.
i) L.D.
i) LD.
i) L.I.
i) L.I.
i) L.D.
) ( )
5
1
( 2) + ( 3t ) + 4 t 2 − 1 + 1 t 3
2
3
ii) sim
ii) sim
ii) não
ii) não
ii) sim
ii) não
 1 0  0 1 
, 

 − 1 0  0 0 
d) {t 2 + t , 1}
c) 
iii) sim
iii) não
iii) não
iii) não
iii) sim
iii) não
11. a) B = {(1,0,0) , ( 0,5,−2) , ( 7 ,0,2)} outra base de W: B' = {(1,0,0) , ( 0,1,0) , ( 0,0,1)}, dim(W ) = 3
b) B = {(1,3,0,1) , ( 3,4 ,−7 ,2) , ( 2 ,30,1)}, dim(W ) = 3
 1 0  0 1  0 0 
, 
, 
 , dim(W ) = 3
 0 0  1 0  0 1 
c) B = 
d)
d.1) B = {( 2 ,1,−2)}, dim(W ) = 1
d.2) B = {( − 2 ,1,0) , ( 3,0,1)}, dim(W ) = 2
 1 0  0 1 
, 
 , dim(W ) = 2
 − 1 0  0 0 
d.3) B = 
d.4) B = {1, t 2 + t }, dim(W ) = 2
{
}
e) B = sen( x) , cos( x) , dim(W ) = 2
{
}
f) B = e x , e 2 x , e 3x , dim(W ) = 3
{
{
}
12. a) W = ( x , y , z) ∈ℜ 3 , x + 2 y − 3z = 0
}
b) W = (x, y, z ) ∈ ℜ 3 , x + z = 0
 x y 

 ∈ M 2 ( ℜ ) , x + y − z = 0 e w = 0
 z w

d) W = 
c) W = ℜ 4
e) W = {at 3 + bt 2 + ct + d ∈ P3 (ℜ), c = a − 2b}
{
U + W = {( x,y,z,w) ∈ℜ , w − z = 0}
}
13. a) U ∩ W = ( x,y,z,w) ∈ℜ 4 , x + y = 0, z = 0, w = 0
4
{
}
= {(1,0,0,0) , ( 0,1,0,0) , ( 0,0,11
, )}
BU ∩W = (1,−1,0,0)
BU +W
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13. b) U ∩ W = {( x,y,z) ∈ ℜ3 , x = z = 0}
{ }
= {(1,0,0) , ( 0,1,0) , ( 0,0,1)}
BU ∩W = ( 0,1,0)
U + W = ℜ3
BU +W
 0 0 

 0 0 
c) U ∩ W = 
não há base.
 1 0  0 1  0 0  0 0 
BU + W = 
, 
, 
, 

 0 0  0 0  1 0  0 1 
U + W = M 2 ( ℜ)
{
}
{ }
U +W = ℜ
B
= {(1,0,0) , ( 0,1,0) , ( 0,0,1)}
a) B = {(1,0,2 ,1) , ( 0,1,0,2)} , outra base: {( 2 ,−1,4 ,0) , (11
, ,2 ,3)} b) S = {( x , y , z , w) ∈ℜ , 4 y + z − 2 w = 0}
d) U ∩ W = ( x,y,z) ∈ℜ 3 , x = 0, z = y
BU ∩W = ( 0,11
,)
3
14.
15
U +W
4
d) Y ∩ S = Y , dim(Y + S ) = 2 , BY + S a mesma de S
c) b = 2a
15. a) não
b) sim
c) 13a) não 13b) não
13c) sim
13d) não
16. B = {(11
, ,0,0,0) , (1,0,1,0,0) , ( 0,0,1,0,0) , ( 0,0,0,1,0) , ( 0,0,0,0,1)}
17. U = [( 0,0,1) ], ou por exemplo, U = [( 0,1,0) ], ou U = [(1,0,0) ]
18. dim(W2 ) = 4
19. dim(W ) = 3
20. a) 2 < dim(U ∩ W ) < 5 ⇒ U ∩ W ≠ { 0}
21. a) impossível.
22. a) [( 4 ,−5,3) ] B
 1 0  3 0  0 1 
, 
, 
  , por exemplo.
 0 0  0 0  0 0 
b) 
 3
 
=  − 5 e
 
 2
c) [2t 3 + 5t 2 − 2t ] B
b) 2 ,3,4
[( 4 ,−5,3)]
 2 


 3 
=
e
−5 


 − 10 3
B'
 2
 1
 
 
 1 2 
 1 2 
− 1

 2
b) 
  =   e 
 =  
 − 1 0  B  0 
 − 1 0  B'  − 1
 − 1
 0
 21 17 


=  − 58 17


 47 17 
[2t 3 + 5t 2 − 2t ] B'
c) impossível. d) impossível.
 0
 
 − 2
= 
5
 
 2
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16
TRANSFORMAÇÃO LINEAR
Sejam V e W espaços vetoriais. Uma aplicação T:V → W é chamada transformação linear de V em W
se satisfaz às seguintes condições:
I)
T(u + v) = T(u) + T(v)
II)
T (αu ) = αT (u )
∀u , v ∈ V e ∀α ∈ R .
• Em particular, uma transformação linear de V em V (ou seja, se W = V) é chamada operador
linear sobre V.
Exemplos:
1) A transformação nula (ou zero) é linear: T ≡ O
O: V → W
v a O (v ) = 0
De fato:
I) O(u + v) = 0 = 0 + 0 = O(u) + O(v)
II) O(αu) = 0 = α ⋅ 0 = α ⋅ O(u)
2) A transformação identidade é linear. T ≡ I
I :V → W
v a I (v ) = v
De fato:
I) I (u + v) = u + v = I (u ) +I (v)
II) I (α u ) = α u = α ⋅ I (u )
3) A transformação projeção de R3 em R2 é linear.
T : R3 → R2
( x, y , z ) a T ( x, y , z ) = ( x − y , 2 x + z )
De fato:
I) T (u + v) = T (( x1 , y1 , z1 ) + ( x 2 , y 2 , z 2 ) )
= T ( x1 + x 2 , y1 + y 2 , z1 + z 2 )
= (( x1 + x 2 ) − ( y1 + y 2 ), 2(x1 + x 2 ) + ( z1 + z 2 ))
= ( x1 − y1 + x 2 − y 2 , 2 x1 + z1 + 2 x 2 + z 2 )
= ( x1 − y1 , 2 x1 + z1 ) + ( x 2 − y 2 , 2 x 2 + z 2
)
= T (u ) + T (v)
II) T (α u ) = T (α x, α v, α z )
= (α x − α y, 2α x + α z )
= α (x − y, 2 x + z )
= α T (u )
4) A função real F: R→ R, tal que F(u) = u2 não é uma transformação linear.
2
De fato:
I) F (u + v ) = (u + v ) = u 2 + v 2 + 2uv ≠ F (u ) + F (v)
II) F (α u ) = (α u ) = α 2 v 2 ≠ α F (u )
2
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17
5) A transformação derivada T ≡ D é linear.
Pn(R) é o conjunto dos polinômios reais de grau n e f(t), g(t) são polinômios de Pn(R).
D : Pn ( R ) → Pn ( R )
f (t ) a D( f (t )) = f ' (t )
De fato:
I) D( f (t ) + g (t ) ) = ( f (t ) + g (t ) ) '
= f ' (t ) + g ' (t )
= D( f (t ) ) + D( g (t ) )
II) D(α f (t ) ) = (α f (t ) ) '
= α f ' (t )
= α D( f (t ) )
Exercício: Verifique se são lineares as seguintes aplicações.
a) T : R 3 → R 2 definida por T ( x, y, z ) = ( x − y, 2 x + z )
b) T : P2 ( R ) → R 3 definida por T (a0 + a1t + a2t 2 ) = ( a0 , a1 − 1, a2 − 2 )
Propriedades
1. Se T : V → W é uma transformação linear, então T (0V ) = 0W .
Equivalentemente, se T ( 0V ) ≠ 0W , então T : V → W não é uma transformação linear.
Podemos usar esta propriedade para justificar que a transformação do exercício (b) não é linear,
pois T ( 0 ) = ( 0, −1, −2 ) .
2. Se T : V → W é uma transformação linear, então
T (a1v1 + a 2 v 2 ) = a1T (v1 ) + a 2T (v 2 ), ∀v1 , v 2 ∈ V e ∀a1 , a 2 ∈ R.
Analogamente,
T (a1v1 + a 2 v 2 + K + a n v n ) = a1T (v1 ) + a 2T (v 2 ) + K + a nT (v n ), ∀v1 , K , v n ∈ V e ∀a1 , K , a n ∈ R.
Esta propriedade é muito útil, principalmente se os vetores v1 , v2 K , vn constituem uma base de
V, pois podemos encontrar a lei da transformação linear como vem exemplificado abaixo.
Exemplo: Sejam T : R 3 → R 2 uma transformação linear e B = {( 0,1, 0 ) , (1, 0,1) , (1,1, 0 )} uma base do
R³. Sabendo que T ( 0,1, 0 ) = (1, −2 ) , T (1,0,1) = ( 3,1) e T (1,1, 0 ) = ( 0, 2 ) , determine T ( x, y, z ) e
T ( 5,3, −2 ) .
Em primeiro lugar vamos expressar o vetor ( x, y, z ) como combinação linear dos vetores da base. No
caso, resolvendo o sistema, determinamos que
( x, y, z ) = ( y + z − x ) ⋅ ( 0,1, 0 ) + z ⋅ (1, 0,1) + ( x − z ) ⋅ (1,1, 0 )
Aplicando a transformação T e usando a propriedade (2), temos
T ( x, y, z ) = T ( y + z − x ) ⋅ ( 0,1, 0 ) + z ⋅ (1, 0,1) + ( x − z ) ⋅ (1,1, 0 ) 
= ( y + z − x ) ⋅ T ( 0,1, 0 ) + z ⋅ T (1, 0,1) + ( x − z ) ⋅ T (1,1, 0 )
= ( y + z − x ) ⋅ (1, −2 ) + z ⋅ ( 3,1) + ( x − z ) ⋅ ( 0, 2 )
Portanto, T ( x, y, z ) = ( − x + y + 4 z , 4 x − 2 y − 3 z ) e aplicando ao vetor dado, T ( 5,3, −2 ) = ( −10, 20 ) .
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18
Imagem de uma transformação linear
Chama-se imagem de uma transformação linear T : V → W ao conjunto dos vetores w ∈ W que são
imagem de vetores v ∈ V.
Im(T) = { w ∈ W / T(v) = w para algum v ∈ V} ⊂ W.
OBS: 1) Im(T ) ≠ ∅, pois no mínimo o conjunto imagem contém o vetor nulo.( 0W ∈ Im(T ) )
2) Se Im(T) = W , T diz-se transformação sobrejetora, isto é, ∀w ∈ W , ∃v ∈ V tal que T (v ) = w.
3) A imagem de uma transformação linear T : V → W é um subespaço vetorial de W.
Exemplo: Seja f : R 3 → R 3 , f ( x, y, z ) = ( x, y,0) a projeção ortogonal do R3 sobre o plano x0y. A
imagem de f é o próprio plano x0y.
Im(f) = { ( x, y,0) ∈ R 3 / x, y ∈ R }
Núcleo de uma transformação linear
Chama-se núcleo de uma transformação linear T : V → W ao conjunto de todos os vetores v ∈ V que
são transformados em 0 ∈ W. Indica-se este conjunto por N(T) ou ker(T).
N(T) = {v ∈ V/ T(v) = 0}
Exemplos:
1. No exemplo anterior o núcleo da transformação f é o eixo dos z, pois
x = 0
f ( x, y, z ) = (0,0,0) ⇔ ( x, y,0) = (0,0,0) ⇔ 
y = 0
Portanto, N ( f ) = {(0,0, z ) / z ∈ R}
2. Dada a transformação linear T : R 3 → R 2 , T ( x, y, z ) = ( x − y + 4 z , 3 x + y + 8 z ) , por definição
sabemos que (x, y, z) ∈ N(T) se, e somente, se
( x − y + 4 z , 3 x + y + 8 z ) = (0,0)
ou
x − y + 4z = 0

3 x + y + 8 z = 0
sistema cuja solução é x = – 3z e y = z.
Logo, N (T ) = {(−3 z , z , z ) ∈ R 3 / z ∈ R} .
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19
OBS:
1) N(T) ≠ ∅, pois no mínimo o núcleo contém o vetor nulo.(Se T(0) = 0, 0V ∈ N (T ) )
2) Uma transformação linear é dita injetora, se e somente se, N(T) = {0}.
T : V → W é uma transformação injetora se ∀v1 , v 2 ∈ V , T (v1 ) = T (v 2 ) ⇒ v1 = v 2 .
3) O núcleo de uma transformação linear T : V → W é um subespaço vetorial de V.
Teorema do Núcleo e da Imagem
Se V é um espaço vetorial de dimensão finita e T : V → W uma transformação linear,
dim N (T ) + dim Im(T ) = dim V
Corolários: Seja T : V → W uma transformação linear.
1. Se dimV = dimW, então T é sobrejetora se, e somente se, T é injetora.
2. Se dimV = dimW e T é injetora, então T transforma base em base, isto é, se B = {v1 , v2 ,K , vn } é
base de V, então T ( B ) = {T ( v1 ) , T ( v2 ) ,K , T ( vn )} é base de W.
Se a transformação linear T não satisfaz a todas as condições do corolário 2, podemos usar um
resultado semelhante para gerar a imagem da transformação:
Se T : V → W é uma transformação linear e {v1 , v2 ,K , vn } gera V, então {T ( v1 ) , T ( v2 ) ,K , T ( vn )}
gera a Im(T).
Exercício: Determine o núcleo, a imagem, uma base para o núcleo, uma base para a imagem e a
dimensão de cada um deles para as seguintes transformações lineares.
1. T : R 3 → R 3 definida por T ( x, y, z ) = ( x + 2 y − z , y + 2 z , x + 3 y + z ) .
2. T : R 3 → P1 ( R ) definida por T ( x, y, z ) = ( x + y ) + zt .
3. T : R 3 → R 2 tal que T ( e1 ) = (1, 2 ) , T ( e2 ) = ( 0,1) e T ( e3 ) = ( −1,3) , sendo {e1 , e2 , e3 } a base
canônica do R³.
Isomorfismo
Chama-se isomorfismo do espaço vetorial V no espaço vetorial W a uma transformação linear
T : V → W bijetora (injetora e sobrejetora).
Neste caso, V e W são ditos espaços isomorfos.
Exemplo:
Mostremos que T : P2 ( R ) → R 3 , definida por T (a + bt + ct 2 ) = ( c, b + c, b − a ) , é um isomorfismo.
Determinando o N(T):
c = 0
c = 0


2
T (a + bt + ct ) = ( 0, 0, 0 ) ⇒ b + c = 0 ⇒ b = 0 ⇒ N (T ) = {0} ⇒ T é injetora.
b − a = 0 a = 0


Como T é injetora e dim P2 ( R ) = dim R³, pelo corolário 2 podemos afirmar que T também é
sobrejetora, provando o isomorfismo.
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20
Automorfismo
Chama-se automorfismo o operador linear T : V → V que é bijetor.
Proposição
Se T : V → W é um isomorfismo, então existe uma transformação inversa T −1 : W → V que é linear e
que também é um isomorfismo.
Exercício. Determine T −1 para o isomorfismo do exemplo anterior.
Matriz de uma transformação linear
Sejam T : V → W uma transformação linear, A = {v1 , v 2 , K , v n } uma base de V e B = {w1 , w2 ,K, wm }
uma base de W. Então T (v1 ), T (v2 ),K, T (vn ) são vetores de W e podemos escrevê-los como combinação
linear dos vetores da base B.
T (v1 ) = a11w1 + a21w2 + K + am1wm
T (v2 ) = a12 w1 + a22 w2 + K + am 2 wm
M
T (v n ) = a1n w1 + a 2 n w2 + K + a mn wm
A matriz
[T ]BA
 a11
a
=  21
 M

am1
a12
a22
M
am2
K a1n 
K a2n 
O M 

K amn 
é chamada matriz T da transformação em relação às bases A e B.
Como [T ]B depende das bases A e B, uma transformação linear poderá ter uma infinidade de matrizes
para representá-la. No entanto, uma vez fixadas as bases, a matriz é única.
A
Podemos representar a transformação linear pela operação entre matrizes: [T (v )]B = [T ]B ⋅ [v]A .
A
Exemplos:
1. Dada a transformação linear T : R 3 → R 2 , T ( x, y, z ) = ( x + y, y − z ) e considerando as bases
A = {(1,1,1) , ( 0,1,1) , ( 0, 0,1)} do R3 e B = {(1,1) , ( 0, 2 )} do R2, temos
T (1,1,1) = ( 2, 0 ) = a11 (1,1) + a21 ( 0, 2 )
T ( 0,1,1) = (1, 0 ) = a12 (1,1) + a22 ( 0, 2 )
T ( 0, 0,1) = ( 0, −1) = a13 (1,1) + a23 ( 0, 2 )
que gera os sistemas:
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a11 = 2
a12 = 1
, 

a11 + 2a21 = 0
a12 + 2a22 = 0
21
a13 = 0
e 
a13 + 2a23 = −1
1
1
cujas soluções são a11 = 2, a21 = −1, a12 = 1, a22 = − , a13 = 0, a23 = −
2
2
Logo,
1 0
 2
A
[T ]B =  −1 − 1 − 1 
2
2 

2. Considerando a mesma transformação do exemplo anterior com as bases canônicas
A ' = {(1, 0, 0 ) , ( 0,1, 0 ) , ( 0, 0,1)} do R3 e B ' = {(1, 0 ) , ( 0,1)} do R2 .
T (1, 0, 0 ) = (1, 0 ) = 1(1, 0 ) + 0 ( 0,1)
T ( 0,1, 0 ) = (1,1) = 1(1, 0 ) + 1( 0,1)
T ( 0, 0,1) = ( 0, −1) = 0 (1, 0 ) − 1( 0,1)
Logo,
1 1 0

 1 −1 
[T ]B ' =  0
A'
No caso de serem A’ e B’ bases canônicas, representa-se a matriz simplesmente por [T], que é chamada
matriz canônica de T.
Então tem-se: [T (v )] = [T ] ⋅ [v ]
Observemos que calcular T(v) pela matriz [T] é o mesmo que fazê-lo pela fórmula que define T.
T(2,1,3) = (2 + 1, 1 – 3) = (3, – 2)
ou
 2
1 1 0    3 
[T (v)] = 
 ⋅ 1  = 

 0 1 − 1   3  − 2 
 
3. Dadas as bases B = {(1,1) , ( 0,1)} do R2 e B ' = {( 0, 3, 0 ) , ( −1, 0, 0 ) , ( 0,1,1)} do R3, encontremos a
 0 2
transformação linear cuja matriz é [T ]B ' =  −1 0  .
 −1 3 
No caso, desejamos determinar a transformação T : R 2 → R 3 tal que T ( x, y ) = ( a, b, c ) . Pelo modo
B
como é determinada a matriz [T ]B ' sabemos que
B
T (1,1) = 0 ( 0, 3, 0 ) − 1( −1, 0, 0 ) − 1( 0,1,1) = (1, −1, −1)
T ( 0,1) = 2 ( 0,3, 0 ) + 0 ( −1, 0, 0 ) + 3 ( 0,1,1) = ( 0,9,3)
Escrevendo (x, y) como combinação linear dos vetores da base B, temos
( x, y ) = x (1,1) + ( y − x )( 0,1)
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22
Aplicando T :
T ( x, y ) = xT (1,1) + ( y − x ) T ( 0,1)
= x (1, −1, −1) + ( y − x )( 0,9,3)
= ( x, −10 x + 9 y, −4 x + 3 y )
Do exemplo acima, observamos que dada uma matriz e fixada duas bases em V e em W esta matriz
representa uma transformação linear. Esta mesma matriz numa outra dupla de bases representará uma
transformação linear diferente.
 0 2
4. Considerando que a matriz [T ] =  −1 0  é a matriz canônica da transformação, temos que
 −1 3 
T (1, 0 ) = 0 (1, 0, 0 ) − 1( 0,1, 0 ) − 1( 0, 0,1) = ( 0, −1, −1)
T ( 0,1) = 2 (1, 0, 0 ) + 0 ( 0,1, 0 ) + 3 ( 0, 0,1) = ( 2, 0,3)
e, portanto,
( x, y ) = x (1, 0 ) + y ( 0,1) ⇒ T ( x, y ) = xT (1, 0 ) + yT ( 0,1) ⇒ T ( x, y ) = x ( 0, −1, −1) + y ( 2, 0,3)
T ( x, y ) = ( 2 y , − x, − x + 3 y )
As matrizes das transformações lineares são importantes, pois:
• muitas vezes respostas a questões teóricas sobre a estrutura de uma transformação linear podem
ser obtidas estudando as características da matriz da transformação;
• estas matrizes tornam possível calcular as imagens de vetores usando a multiplicação matricial.
Estes cálculos podem ser efetuados rapidamente em computadores.
Teorema
Sejam T : V → W uma transformação linear e A e B bases de V e W, respectivamente. Então
dim Im(T ) = posto de [T ] A

B

A
A
A
dim N (T ) = nulidade de [T ]B = nº de colunas de [T ]B − posto de [T ]B
Teorema
Sejam A e B bases dos espaços vetoriais V e W, respectivamente. Uma transformação linear
A
T : V → W é inversível se, e somente se, [T ]B é inversível. Além disso, se T é inversível, então
( )
A −1
T −1  = [T ]B
A
B
.
Corolário
Sejam A e B bases dos espaços vetoriais V e W, respectivamente e T : V → W uma transformação
A
linear. T é inversível se, e somente se, det [T ]B ≠ 0 .
3 4
Exercício. Seja T : R 2 → R 2 uma transformação linear dada pela matriz canônica [T ] = 
.
2 3
Verifique se T é inversível. Caso o seja, determine T-1(x, y).
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23
Autovalores (Valores Próprios) e Autovetores (Vetores Próprios)
Definição
Seja T : V → V um operador linear. Um vetor v ∈ V , v ≠ 0 , é um autovetor (ou vetor próprio) do
operador T se existe λ ∈ R tal que T ( v ) = λ v .
λ é denominado autovalor (ou valor próprio, valor característico, valor espectral) associado ao
autovetor v.
Exemplos:
1. Seja T : R 2 → R 2 tal que T ( x, y ) = λ ( x, y ) , λ ∈ R . Este operador tem λ como autovalor e
qualquer ( x, y ) ≠ ( 0, 0 ) como autovetor correspondente.
Se
i. λ < 0 , T inverte o sentido do vetor;
ii. λ > 1 , T dilata o vetor;
λ > 1 , T contrai o vetor;
iv. λ = 1 , T é a transformação identidade.
iii.
2. Seja T : R 2 → R 2 definida por T ( x, y ) = ( x, − y ) , a transformação reflexão no eixo x.
Os vetores da forma (0, y), são tais que T ( 0, y ) = ( 0, − y ) , ou seja,
y
u
v
T(v)
x
T(u)
T ( 0, y ) = −1( 0, y ) .
Assim, todo vetor (0, y), y ≠ 0 é autovetor de T com autovalor
λ = −1 .
Também para todo vetor (x, 0) temos que T ( x, 0 ) = ( x, 0 ) = 1( x, 0 ) .
Daí, dizemos que todo vetor (x, 0), x ≠ 0 é autovetor de T com
autovalor λ = 1 .
3. Seja T : R 2 → R 2 definida por T ( x, y ) = ( − y, x ) , a transformação rotação de 90°.
y
T(u)
Notemos que nenhum outro vetor diferente do vetor nulo é
levado por T num múltiplo de si mesmo. Logo, este operador
T não tem autovalores nem autovetores.
u
x
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24
Determinação dos autovalores e autovetores
Seja o operador T : R n → R n cuja matriz matriz canônica é
 a11

a
A =  21
 M

 an1
a12
a22
M
an 2
… a1n 

… a2 n 
O M  , ou seja, A =[T].

… ann 
Se v e λ são, respectivamente, autovetor e autovalor associado, temos:
A ⋅ v = λ v ⇔ A ⋅ v − λ v = 0 (v é a matriz coluna n x 1 e 0 é a matriz nula n x 1)
Tendo em vista que v = I ⋅ v , onde I é a matriz identidade de ordem n, podemos escrever
A⋅v − λI ⋅v = 0
( A − λI )⋅v = 0
 x  0
   
Para que o sistema homogêneo admita soluções não nulas, isto é v =  y  ≠  0  , este deve ser
 z  0
   
indeterminado e portanto, devemos ter det ( A − λ I ) = 0 .
 a11 − λ

a
det  21
 M

 an1
…
a1n 

a22 − λ … a2 n 
=0
M
O
M 

an 2
… ann − λ 
a12
A equação det ( A − λ I ) = 0 é denominada equação característica do operador T ou da matriz A e suas
raízes são os autovalores do operador T ou da matriz A.
O det ( A − λ I ) é um polinômio na variável λ denominado polinômio característico.
Determinamos os autovetores correspondentes substituindo os autovalores encontrados λ no sistema
homogêneo de equações lineares.
Exemplo: Determinar os autovalores e autovetores do operador linear T : R3 → R3 definido por
T ( x, y, z ) = ( 3x − 4 z ,3 y + 5 z , − z ) .
1) Matriz canônica de T:
0
3− λ

2) A − λ I =  0
3−λ
 0
0

 3 0 −4 


A = 0 3 5 
 0 0 −1 


−4 

5 
−1 − λ 
λ1 = 3
3) Equação característica: det ( A − λ I ) = 0 ⇒ ( 3 − λ ) ⋅ ( 3 − λ ) ⋅ ( −1 − λ ) = 0 ⇒ 
λ2 = −1
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25
4) Cálculo dos autovetores associados:
Para λ1 = 3 , temos o sistema
0
−4   x   0   −4 z = 0
3− 3

     
3−3
5  ⋅  y  =  0  ⇒ 5 z = 0 ⇒ ∀x, y ∈ R e z = 0
 0

0
−1 − 3   z   0  −4 z = 0
 0
Portanto temos os autovetores (x, y, 0) associados ao autovalor 3.
Verificação: T ( 2, 4,0 ) = ( 6,12, 0 ) = 3 ⋅ ( 2, 4, 0 ) .
Para λ2 = −1 , temos
 4 0 −4   x   0 
x = z

     4 x − 4 z = 0 
 0 4 5  ⋅  y  =  0  ⇒ 4 y + 5 z = 0 ⇒  y = − 5 z , ∀z ∈ R

0 0 0   z  0 
4

    
5


Portanto temos os autovetores  z , − z , z  associados ao autovalor −1 .
4


Verificação: T ( 4, −5, 4 ) = ( −4,5, −4 ) = −1⋅ ( 4, −5, 4 ) .
Teorema
Dado um operador linear T: V → V, o conjunto formado pelos autovetores associados a um autovalor
λ e o vetor nulo é subespaço vetorial de V, isto é, Vλ = {v ∈ V ; T ( v ) = λ v} é subespaço de V.
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26
EXERCÍCIOS
1. Verifique quais das seguintes aplicações são lineares:
a) T:ℜ 3 → ℜ 2
definida por
b) T:ℜ → ℜ
definida por
2
c) T:ℜ → ℜ
definida por
T ( x , y , z) = ( x , y)
T ( x , y) = x. y
T ( x) = x
definida por
T ( x , y , z ) = ( 2 x , 3y − z)
e) T :ℜ 2 → M 2 ( ℜ)
definida por
 x + 2y
T ( x , y) = 
 0
f) T : M 2 x 3 ( ℜ) → ℜ 2
definida por
a b
T
d e
g) T : ℜ → ℜ
definida por
T (x ) = sen(x )
d) T:ℜ → ℜ
3
2
0

y
c
 = ( a + e, c + f )
f
2. Determine a transformação linear para cada uma das aplicações abaixo:
tal que T (1,2) = ( 3,−15
, ) e T ( 0,1) = ( 2 ,1,−4)
a) T:ℜ 2 → ℜ 3
tal que T (1,0,0) = ( 2 ,0) , T ( 0,1,0) = (11
, ) e T ( 0,0,1) = ( 0,−1)
b) T:ℜ 3 → ℜ 2
c) T:ℜ → ℜ
d) T : P2 (ℜ) → ℜ 2
3
3
tal que T (1,2 ,1) = (1,2 ,3) , T ( 0,1,0) = ( 2 ,15
, ) e T ( 0,4 ,1) = ( 0,3,2)
tal que T (1) = ( 0,1) , T ( x ) = ( 0,5) e T ( x 2 ) = ( 5,7)
 1 0 0
2 0 0 
 0 0 1
 , T ( 0,1,2) = 
 e T 0,0,1 3 = 

 3 4 5
 6 8 10
 0 0 5
e) T :ℜ 3 → M 2 x 3 (ℜ) tal que T (1,0,0) = 
(
)
3. a) Qual a transformação linear T:ℜ 2 → ℜ 3 tal que T (11
, ) = ( 3,2 ,1) e T ( 0,−2) = ( 0,1,0) ?
b) Determine T (1,0) e T ( 0,1) , usando o item (a).
c) Qual a transformação linear S:ℜ 3 → ℜ 2 tal que S ( 3,2 ,1) = (11
, ) , S ( 0,1,0) = ( 0,−2) e S ( 0,0,1) = ( 0,0) ?
2
2
d) Determine a transformação linear composta SoT:ℜ → ℜ , usando os itens (a) e (c).
4. Determine a dimensão do núcleo e da imagem e suas respectivas bases da aplicação linear T do:
a) exercício 1, itens (a), (d) e (e).
b) exercício 2, itens (b), (d) e (e).
5. Sendo T:ℜ 3 → ℜ 5 definida por T ( x , y , z ) = ( x + y , 2 x − y + z , 0, 3x + z , 0) , determine uma base de N(T) e
Im(T).
6. Determine uma transformação linear:
{(1,2 ,3) , ( 4 ,5,6)} .
tal que N (T ) = [(1,0,0) , ( 0,2 ,0) ] e Im(T ) = [( 2 ,4) ] , considere β = {(1,0,0),(0,2 ,0),(0,0,1)} base do ℜ .
tal que Im(T ) = [(11
, ,2 ,1) , ( 2 ,1,0,1) ] .
a) T:ℜ 3 → ℜ 3 cuja imagem seja gerada por
b) T:ℜ 3 → ℜ 2
c) T:ℜ 3 → ℜ 4
7. Dê, se possível, os exemplos pedidos abaixo. Caso não existam, justifique.
a) Uma aplicação linear injetora T:ℜ 3 → ℜ 2 .
b) Uma aplicação linear sobrejetora T:ℜ 2 → ℜ 3 .
c) Uma aplicação linear T:ℜ 2 → ℜ 2 , tal que {T ( 0,1) , T (1,0)} seja uma base para ℜ 2 .
3
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27
d) Uma aplicação linear T :V → W tal que Im(T ) = {0} .
e) Uma aplicação linear T:ℜ 5 → ℜ 5 , tal que seja injetora, mas não seja sobrejetora.
8. Seja T :V → V uma transformação linear. Sabendo-se que dim(V ) = 5 e dim( N (T ) ∩ Im(T )) = 2 .
a) Determine, justificando, a dim( N (T ) + Im(T )) .
b) T pode ser injetora ? Justifique.
9. Mostre que a aplicação T :ℜ 2 → P1 (ℜ) , definida por T ( x , y ) = ( x + y ).t + x .1 é um isomorfismo.
{
}
10. Determine a transformação linear T : ℜ3 → ℜ 4 tal que N (T ) = ( x , y , z ) ∈ℜ 3 ; z = x − y e T ( 0,0,1) = ( 0,0,0,1) .
11. Consideremos a transformação linear T : ℜ 3 → ℜ 2 definida por T (x, y, z ) = (2 x + y − z, x + 2 y ) e as bases
A = {(1,0,0 ), (2,−1,0 ), (0,1,1)} do ℜ 3 e B = {(− 1,1), (0,1)} do ℜ 2 . Determine a matriz [T ]B .
A
12. Seja a transformação linear T : ℜ 2 → ℜ 3 , T ( x, y ) = (2 x − y , x + 3 y ,−2 y ) e as bases A = {(− 1,1), (2,1)} e
[ ]BA . Qual a matriz [T ]CA , onde C é a base canônica do ℜ
B = {(0,0,1), (0,1,−1), (1,1,0)} . Determine T
3
?
13. Sabendo que a matriz de uma transformação linear T:ℜ 2 → ℜ 3 nas bases A = {(− 1,1), (1,0)} do ℜ 2 e
B = {(1,1,−1), (2,1,0), (3,0,1)} do ℜ é [T ]
3
A
B
3 1 
= 2 5  , encontre a expressão de T (x, y ) e a matriz [T ] .
1 − 1
 1 − 2
14. Seja [T ] =  2 0  a matriz canônica de uma transformação linear T:ℜ 2 → ℜ 3 . Se T (v ) = (2,4,−2) , calcule
− 1 3 
v.
2 − 1
1

15. Seja T o operador linear dado pela matriz 2 0 1  . Determine:
1 − 2 2 
a. N(T) e dim N(T)
b. Im(T) e dim Im(T).
AUTOVALORES E AUTOVETORES
1. Verifique, utilizando a definição, se os vetores dados são autovetores das correspondentes matrizes:
2 2 
a) v = (-2,1), 

1 3 
1 − 1 0 
b) v = (-2,1,3), 2 3 2
1 2 1
2. Determine os autovalores e os autovetores dos seguintes operadores lineares:
a) T : ℜ 2 → ℜ 2 ; T(x,y) = (x + 2y, – x + 4y);
b) T : ℜ 2 → ℜ 2 ; T ( x, y ) = (2x + 2 y, x + 3 y)
c) T : ℜ 2 → ℜ 2 ; T(x,y) = (5x – y, x + 3y);
d) T : ℜ 2 → ℜ 2 ; T(x,y) = (y, – x);
e) T : ℜ 3 → ℜ 3 ; T (x, y, z ) = (x + y + z,2 y + z ,2 y + 3z )
f)
T : ℜ 3 → ℜ 3 ; T ( x, y, z ) = ( x,−2 x − y,2 x + y + 2 z )
g) T : ℜ 3 → ℜ 3 ; T (x, y, z ) = (x + y, y, z )
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3. Os vetores v1 = (1,1) e v2 = (2,−1) são autovetores de um operador linear T : ℜ 2 → ℜ 2 , associados a λ1 = 5 e
λ 2 = −1 , respectivamente. Determine a imagem do vetor v = ( 4,1) por esse operador.
4.
a) Determine o operador linear T : ℜ 2 → ℜ 2 cujos autovalores são λ1 = 1 e λ 2 = 3 associados aos autovetores
v1 = ( y,− y ) e v 2 = (0, y ) , respectivamente.
b) Mesmo enunciado para λ1 = 3, λ 2 = −2 e v1 = (x,2 x ), v 2 = (− x,0) .
5. Se λ1 = 4 e λ2 = 2 , são autovalores de T : ℜ 2 → ℜ 2 , associados aos autovetores u = (2,1) e v = (–1,3),
respectivamente, determine T(3u – v).
6. Seja um operador linear T : ℜ 2 → ℜ 2 , tal que T(u) = u e T(v) = 1 v para algum vetor u ( e v) ∈ ℜ 2 .
2
Determine T(w) se u = (0,2), v = (2,6) e w = (3,7).
Respostas
1.
São lineares as funções dos itens (a), (d), (e), (f).
2.
a) T ( x,y ) = ( − x + 2 y, − 3x + y, 13x − 4 y )
b) T ( x,y,z ) = ( 2 x + y, y − z )
c) T ( x,y,z ) = ( 5x + 2 y − 8z, x + y − z, 11x + 5 y − 18z)
d) T (a + bx + cx 2 ) = ( 5c, a+5b+7c)
0
3z − 6 y 
 x + 2y
e) T ( x , y , z ) = 

 3x + 6 y 4 x + 8 y 5x − 20 y + 15z
3.
4.
a) T ( x,y ) = (3x, ( 5x − y ) 2 , x )
b) T (1,0) = ( 3, 5 2 , 1) e T ( 0,1) = ( 0, − 1 2 , 0)
c) S ( x,y,z) = ( x 3 , ( 5x − 6 y ) 3)
d) SoT ( x,y ) = ( x, y )
a)
b)
1.a) β N ( T ) = {( 0,0,1)}
β Im( T ) = {(1,0) ,( 0,1)}
1.d) β N ( T ) = {( 0,1,3)}
β Im( T ) = {(1,0) ,( 0,1)}
1.e) β N ( T ) = {( 0,0)}
 1 0  2 0 
β Im( T ) = 
 ,

 0 0  0 1 
2.b) β N ( T ) = {( − 1,2 ,2)}
β Im( T ) = {(1,0) ,( 0,1)}
2.d) β N ( T ) = { x − 5}
β Im( T ) = {(1,0) ,( 0,1)}
2.e) β N ( T ) = {( − 2 ,1,2)}
 0 0 3   1 0 0 
β Im( T ) = 
 ,

 0 0 15  3 4 5 
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5.
β N ( T ) = {( − 11
, ,3)}
6.
a) T ( x,y ) = ( x + 4 y, 2 x + 5 y, 3x + 6 y )
e
β Im( T ) = {(1,2 ,0,3,0) ,(1,−1,0,0,0)}
b) T ( x,y,z ) = ( 2 z, 4 z)
c) T ( x,y,z ) = ( x + 2 y, x + y, 2 x , x + y )
7.
8.
a) Impossível.
b) Impossível.
d) A aplicação nula.
e) Não existe.
a) dim( N ( T ) + Im( T ) ) = 3
c) Qualquer aplicação injetiva (ou sobrejetiva).
b) Não. dim( N ( T ) ) ≠ 0
10. T ( x,y,z ) = ( 0, 0, 0, z − x + y )
− 2 − 3 0
3 2 
11. 
 3
3
 3 0  − 3



12.  5 2 e  2
5 
− 3 3 − 2 − 2
13. T (x, y ) = (8 x + 18 y ,6 x + 11y,−2 x − 4 y )
 8 18 
e [T ] =  6 11 
− 2 − 4
14. v = (2,0)
15.
a ) N (T ) = {(2 z ,−3z ,−4 z ); z ∈ ℜ}, dim N (T ) = 1
{
}
b) Im(T ) = (x, y, z ) ∈ ℜ 3 ; x − y + z = 0 , dim Im(T ) = 2
Autovalores e autovetores
1. a) Sim
b) Não
2. a) λ1 = 3, v1 = ( y, y ); λ 2 = 2, v 2 = (2 y, y )
b) λ1 = 1, v1 = (−2 y, y ); λ 2 = 4, v 2 = ( y, y )
c) λ1 = λ 2 = 4, v = ( x, x)
d) Não existem.
e) λ1 = λ 2 = 1, v = ( x, y ,− y ); λ 3 = 4, v 3 = ( x, x,2 x)
f) λ1 = 1, v1 = z (3,−3,1); λ 2 = −1, v 2 = z (0,−3,1); λ 3 = 2, v 3 = z (0,0,1)
g) λ1 = λ 2 = λ 3 = 1, v = ( x,0, z ) , x e z não simultaneamente nulos.
3. (8,11)
4. a) T ( x, y ) = (x,2 x + 3 y )


b) T ( x, y ) =  − 2 x +
5. (26,6)
6.
3 5
 , 
2 2
5

y,3 y 
2

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Álgebra Linear
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
• STEINBRUCH, A., WINTERLE, P. Álgebra Linear. Editora Makron Books. 1987
• CALLIOLI, Carlos A., DOMINGUES, Hygino H., COSTA, Roberto C. F. Álgebra linear e
aplicações. 6a edição. Atual Editora. 1998.
• ANTON Howard. & RORRES Chris. Álgebra Linear com Aplicações. Ed. Bookman. 8a Edição.
• BOLDRINI, J. L. Álgebra Linear. Harbra. 1984.
• LIPSCHUTZ, S. Álgebra Linear. 3a edição. Coleção Schaum. Editora Makron Books.
• SANTOS, REGINALDO J. Álgebra Linear e Aplicações. Belo Horizonte, Imprensa Universitária
da UFMG, 2006. Livro disponível para download no site www.mat.ufmg.br/~regi