E
Ellís Carvalho
Luiz Afonso

Nu(T) = {v ∈ V / T(v) = 0}

Im(T) = {w ∈ W / w = T(v), para algum v ∈ V}

Teorema: dim Nu(T) + dim Im(T) = dim V.
T(v) = T(u) -> v = u
Uma transformação é injetiva se e somente se
Nu(T) = {0}.
T: ℛ³→ℛ² T(x, y, z) = (x + y, x + z)
w ∈ W -> ∃ v ∈ V / T(v) = w
Uma transformação é sobrejetiva se e somente
se Im(T) = W ou dim Im(T) = dim W, onde W é
o contra-domínio da transformação.

Uma transformação é bijetiva se ela for
injetiva e sobrejetiva.
A isso, damos o nome de isomorfismo.

T é bijetiva -> dim V = dim W

A partir disso, verifique injetividade e
sobrejetividade para T, S, SoT e ToS.


Para uma transformação linear possuir
inversa, ela deve ser bijetiva.
Logo, dim V = dim W.



A matriz de uma transformação linear é uma
forma de representar a transformação.
Seu uso se deve à facilidade que ela oferece,
uma vez que a transformação “T(v) = u” pode
ser feita pela multiplicação de matrizes:
 [T]βα x [v]β = [u]α.
Onde [v]β é a representação do vetor ‘v’ na
base β, [u]α o vetor ‘u’ na base α e [T]βα a
matriz da transformação T de β para α.
α = { u1, u2, ... , um }
β = { v1, v2, ... vn }
u = x1.u1 + x2.u2 + ... + xm.um
v = y1.v1 + y2.v2 + ... + yn.vn
 x1 
x 
u 2
... 
 
 xm  
 y1 
y 
v   2
... 
 
 yn  


T 



a11 a12
a 21 a22
... ...
am1 am 2
... a1n
... a2 n
... ...
... amn







Como achar [T]βα?

Observe que quando v = v1

 x1 
x 
2 

E para esse v1, temos T (v1 )  u 
... 
 
 xm  
1 
0 
v 
...
 
0  

Como pode ter surgido T(v1) ?
 x1 
 a11
x 
 a
2 
21


T (v1 )  u 

... 
 ...
 

 xm   am1
a12
a22
...
am 2
x1 = 1.a11 + 0.a12 + ... + 0.a1n
x2 = 1.a21 + 0.a22 + ... + 0.a2n
...

... a1n  1 
... a2 n  0 
  
... ...  ...
  
... amn  0  






Dessa forma temos:
a11 = x1
a12 = x2
...
a1m = xm
Analogamente podemos fazer isso com os
vetores v2, v3 ... e vn

E chegamos a seguinte matriz da
transformação:


T  





 
 


 
 


 
 ... 
T (v1 ) T (v2 ) T (vn )


 
 

 
 








Uma forma rápida de encontrar uma T qualquer nas
bases canônicas:
α = { (1,0,...,0), (0,1,...,0) , ... , (0,0,...,1) } ou
{1,t,..,tm}


ou
  1 0  0 1  0 0  0 0  
 
,  0 0 ,  1 0 ,  0 1   etc...
0
0
 



 
Obs.: dim(α) pode ser diferente de dim(β)
Atenção: Nem todos os espaços podem ser escritos
na forma canônica. Exemplo: Se o domínio de T fosse
o plano x+y+z=0 do R3, esse método não poderia
ser aplicado.

Lembremos de 2 propriedades das
transformações lineares:

λ . T(v) = T(λ.v)

T(v) + T(u) = T(v+u)





Se temos:
T(x1,y1,...,z1) = (a1,b1,...,c1)
T(x2,y2,...,z2) = (a2,b2,...,c2)
T(x3,y3,...,z3) = (a3,b3,...,c3)
Atenção: (x1,y1,...,z1), (x2,y2,...,z2),
(x3,y3,...,z3) ... Devem formar um gerador do
domínio. Senão a transformação não será
definida.



 x1
 x
 2
 ...
Podemos fazer uma combinação linear das
transformações a fim de obter:
T(1,0,..,0), T(0,1,..,0),... e T(0,0,..,1)
A maneira mais prática de fazer isso é colocar
os vetores v e u “emparelhados” em uma
matriz e deixá-la na forma escada:
b1 ... c1 
 1 0 ... 0 r1 s1 ... t1 
 0 1 ... 0 r s ... t 
. L.
y2 ... z 2 a2 b2 ... c2  C

2
2
2 

 ... ... ... ... ... ... ... ... 
... ... ... ... ... ... ... 
y1 ... z1 a1

Observe que agora temos a matriz:
 1 0 ... 0 T (1,0,...0)
 0 1 ... 0 T (0,1,...0)

 ... ... ... ... ...





Então basta transpô-la e obtemos a matriz de
transformação:


T  





 
 


 
 


 
 ... 
T (v1 ) T (v2 ) T (vn )


 
 

 
 


















Ainda de:
 1 0 ... 0 T (1,0,...0)
 0 1 ... 0 T (0,1,...0)

 ... ... ... ... ...




Que representa na verdade:
T(1,0,...0) = (r1, s1, ..., t1)
T(0,1,...0) = (r2, s2, ..., t2)
...
Podemos fazer:
x.T(1,0,...0) = x.(r1, s1, ..., t1)
y.T(0,1,...0) = y.(r2, s2, ..., t2)
...
E somar:
T(x,y,...,z) = (x.r1 + y.r2 + ..., x.s1 + y.s2, ..., ... )


E dessa forma, podemos escrever facilmente
a matriz de transformação linear nas bases
canônicas a parti de sua representação de
costume:
Ex: T(x,y,z) = (x + y – z, y, -x+2z)
 1 1 1
T   0 1 0
  1 0 2





Questões:
3
Qual a matriz de
transformação T na
bases canônicas?






1
1
0
0
1
0
1
1
1 1
1 1
0 1
1 1
2
1
1
1
1 1 

1 0  C .L. 



0 1 


1 2 

1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0 3
0 1
0 2
1 0
0 3 
0  1 
1 3 

0 0 
1 2 0 
 3
T   0
0
1 0 
  3  1 3 0 

Nu(T) = v | T(v) = 0
x 
 1 1/ 3 0 0   
y



T   0 0 1 0 
0
z 
 0 0 0 0   
 w


T  

x 
3
1 2 0   
y


0
0
1 0 
0
z 
 3  1 3 0   
 w
Nu(T) = { (1,-3,0,0), (0,0,0,1) }

u = T.v
T-1.u = T-1.T.v
v = T-1.u

Inverte-se T:


 1 1/ 2 1/ 2
T 1   1  1 / 2  1 / 2
  1
1
0




T-1(x,y,z) = (x-½y+ ½ z,x- ½ y- ½ z,-x+y)


S( a0+a1t+a2t² ) = ( a1+a2, a0+2a1+4a2 )
α e β são as bases canônicas do P2 e R².
 0 1 1 
S

1
2
4



Exemplo:



1 
 3 1 4
 4 0 4
 0 1 1  4 
 2 3 4
ToS


SoT  

 1 0 1 1 
 0 0 0


4 
 0 1 1
Im( SoT ) = { (3,0,1,0), (1,-1,0,1),(4,-1,1,1),
(1,-4,-1,4) } = { (3,0,1,0), (0,3,1,-3) }
Im( ToS ) = { (4,2,0), (0,3,0), (-4,4,0) } =
{ (1,0,0), (0,1,0) }





Algumas “teóricas”:
Falso: contra-exemplo:
T(x,y) = (x,y,0)
S(x,y,z) = (y,z)
SoT(x,y) = (y,0)
(claramente não-isomorfismo)
Falso: contra-exemplo:
T(a,b,c,d,e,f,g) = (a,b,c,d,e,f)
S(a,b,c,d,e,f) = (a,b,c,d,e,f,0)
SoT(a,b,c,d,e,f,g) = (a,b,c,d,e,f,0)
Se a transformação tem uma inversa, essa
inversa tem uma inversa também que é a
própria transformação.
Como uma transformação tem inversa se e
somente se for um isomorfismo, a inversa
dessa transformação é isomorfismo.