UFV - Universidade Federal de Viçosa
CCE - Departamento de Matemática
2a Prova de MAT 141 - Cálculo Diferencial e Integral I - Data 16/05/2012
Nome:
Matrı́cula:
1a Questão (25 pontos) Resolva o que se pede:
√
0
a) (10 pontos) Determine f (x) se f (x) = cos2 (e2x + x) + ln(tg x).
b) (15 pontos) Seja
2
x − 1, se x > 2
f (x) =
2 + 4x, se x ≤ 2
0
0
Usando a definição de derivadas laterais, verifique se existem f+ (2) e f− (2).
Podemos dizer que f é derivável em 2? Justifique.
0
Determine a função f (x).
3
2a Questão (30 pontos) a) (10 pontos) Encontre o valor de c tal que a reta y = x + 6 seja
2
√
tangente à curva y = c x.
b) (10 pontos) Seja r a reta tangente à curva x2 −xy +y 2 = 3 no ponto P = (−1, 1), e considere s a
reta tangente à curva 3x2 − y 2 + 4x = 2 no mesmo ponto P . Verifique se r e s são perpendiculares,
justificando sua resposta.
c) (10 pontos) Derive a função f (x) = (3 cos x + 1)sec(3x) e encontre a equação da reta tangente à
curva em x = 0.
3a Questão (20 pontos) Escolha um dos itens abaixo para resolver.
a) Uma caixa sem tampa deve ser construı́da a partir de uma pedaço quadrado de papelão, com 3
metros de largura, cortando fora um quadrado de cada um dos quatro cantos e dobrando os lados
para cima. Encontre o maior volume que esta caixa poderá ter.
b) Se dois resistores R1 e R2 , estão conectados em paralelo, então a resitência total R, medida em
ohms (Ω), é dada por
1
1
1
=
+
.
R
R1 R2
Se R1 e R2 estão crescendo a taxas de 0, 3 Ω/s e 0, 2 Ω/s, respectivamente, quão rápido está
variando R quando R1 = 80 Ω e R2 = 100 Ω?
x2 + 12
.
x−2
a) (2 pontos) Determine o domı́nio de f e determine os pontos de interseção com os eixos x e y,
caso existam.
b) (5 pontos) Determine todas as assı́ntotas do gráfico da função, justificando sua resposta.
0
c) (5 pontos) Mostre que f (x) = (x2 − 4x − 12) /(x − 2)2 . Determine os números crı́ticos e os
intervalos onde a função é crescente e onde a função é decrescente.
d) (2 pontos) Determine os extremos relativos da função.
00
e) (5 pontos) Mostre que f (x) = 32/(x − 2)3 . Encontre os intervalos onde o gráfico da função é
côncavo para cima e onde é côncavo para baixo.
f) (6 pontos) Esboce o gráfico da função e determine a imagem de f .
4a Questão (25 pontos) Considere f (x) =
1