UniposRio-FÍSICA
Exame Unificado de Acesso às Pós-Graduações em
Fı́sica do Rio de Janeiro
17 de junho de 2011
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• Leia atentamente as questões a seguir e responda nas
folhas de resposta fornecidas.
• As questões 1 a 4 são obrigatórias.
• Das outras quatro questões (questões 5 a 8) você deve
escolher e resolver apenas duas (2).
• A prova é individual e sem consulta.
• A duração total da prova é de 4 horas.
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1a Questão
Uma haste rı́gida, homogênea, delgada, de massa m e comprimento l
pode girar livremente em torno de um eixo que passa por uma de suas
extremidades (ponto O na figura). O eixo de rotação é horizontal e
perpendicular à haste.
(a) Mostre que o momento de inércia da haste em relação ao eixo de
rotação é I = ml2 /3.
A haste é liberada a partir do repouso na posição horizontal.
(b) Determine a velocidade angular da haste quando passa pela posição
vertical.
(c) Determine a força exercida pelo eixo sobre a haste no mesmo instante do item anterior.
(d) Encontre uma expressão formal para o tempo transcorrido entre a
liberação da haste e sua primeira passagem pela posição vertical.
2a Questão
Um mol de um gás ideal diatômico sofre um processo cı́clico como
mostrado no diagrama P versus V da figura. Os processos ab e cd são
isocóricos, enquanto que o processo da é isotérmico. O processo bc é
irreversı́vel e o tracejado na figura apenas mostra que as pressões de b
e c são iguais. A constante dos gases é dada por R = 8, 31J/ K.mol.
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Os seguintes valores se aplicam ao problema: Va = 1, 0 m3 , Vc =
3, 0 m3 , Pa = 9, 0 × 105 Pa, Pb = 18, 0 × 105 Pa.
a) Encontre as temperaturas de a, b, c e d.
b) Complete a tabela abaixo para o gás.
c) Suponha que uma máquina funcione baseada no ciclo de gás acima.
Calcule seu rendimento ηirrev .
d) Se o processo bc fosse adiabático, qual seria o rendimento ηrev dessa
nova máquina?
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3a Questão
Duas cascas esféricas de metal concêntricas de raios a e b (b > a)
estão separadas por um material de condutividade elétrica σ (figura).
No instante t = 0 a casca esférica interna de raio a possui uma carga Q.
a) Determine o campo elétrico como função do tempo nas regiões r < a,
a < r < b e r > b.
b) Qual é a corrente elétrica total que flui no material entre as esferas
como função do tempo?
c) Calcule a potência dissipada por unidade de volume no material
devido à passagem da corrente como função do tempo. Mostre que a
energia total dissipada é igual a energia eletrostática do material em
t = 0.
4a Questão
Um observador inercial O descreve um determinado experimento de
absorção de radiação da seguinte maneira:
“Um corpo em repouso, de massa M0 , absorve dois fótons, de mesma
energia E = hν. Os fótons propagam-se sobre o eixo x em sentidos
contrários (x̂ e - x̂). Após a absorção, o corpo continua em repouso,
com massa M0 + ∆M0 .”
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O mesmo processo é observado por outro observador inercial, O0 , que
se move com velocidade uniforme vx̂ em relação ao referencial de O.
O observador O0 produz, por sua vez, o seguinte relato:
“Um corpo de massa M que se desloca com velocidade −vx̂ absorve
dois fótons de energias E1 = hν1 e E2 = hν2 que se propagam ao
longo de x̂ e −x̂, respectivamente. Após a absorção o corpo tem massa
M + ∆M e continua a se deslocar com velocidade −vx̂.”
(i) Determine, através de argumentos relativı́sticos, as frequências ν1
e ν2 como funções de ν e β ≡ v/c.
(ii) Usando os dados de massa e energia contidos no relato de O, escreva
a equação de conservação do momento linear no referencial de O0 .
(iii) Mostre que a expressão para a conservação do momento formulada
em (ii) implica que 2E/c2 = ∆M0 .
5a Questão
Considere uma partı́cula livre de massa m em um cubo de aresta L e
volume V = L3 . Escreva a função de onda normalizada da partı́cula,
aplicando as seguintes condições de contorno periódicas:
ψ(x + L, y, z) = ψ(x, y, z)
ψ(x, y + L, z) = ψ(x, y, z)
ψ(x, y, z + L) = ψ(x, y, z)
e mostre que as autoenergias são quantizadas e dadas por:
2π 2 ~2 2
(n + n2y + n2z ),
En =
mL2 x
onde nx , ny e nz são inteiros. Qual a energia do estado fundamental e
a degenerescência do primeiro estado excitado?
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6a Questão
Uma partı́cula atravessa uma região no espaço realizando um movimento unidimensional, com energia constante, E. Durante esta trajetória a partı́cula atravessa uma barreira de potencial constante (V >
E) como mostrado na figura. Faça um esboço da função de onda Ψ(x),
e também de |Ψ(x)|2 , explicando a forma destas funções em x < 0,
0 < x < a e x > a.
7a Questão
Uma partı́cula se encontra confinada em uma região unidimensional
do espaço (−b < x < b), e seu estado quântico é definido pela seguinte
função de onda
ψ(x, t) = C b2 − x2 e−iEt/~ .
Determine
(a) a constante de normalização C,
(b) o valor esperado da posição e
(c) do momento linear.
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8a Questão
Um sistema quântico de dois nı́veis possui seu operador Hamiltoniano
descrito por:
ω0 −iω1
H=}
iω1 −ω0
(a) Encontre os autovalores de H, sabendo que ω0 e ω1 são números
reais.
(b) Escreva o Hamiltoniano na base em que este é diagonal.
(c) Supondo que em t = 0 o sistema se encontra no autoestado de
menor energia, calcule a função de onda em um instante t posterior.