Instituto Politécnico de Viseu
Escola Superior de Tecnologia
Métodos Matemáticos I
Departamento: Matemática
Curso: Tecnologias e Design de Multimédia
Ano: 1o
Prova: Frequência
Ano Lectivo: 2006/2007
Duração: 2 hora e 30 minutos
Semestre: 1o
05/01/2007 - 9h30m
todas as respostas!
Justifique convenientemente
1) O seguinte limite representa a derivada f ′ (c) da função f no ponto x = c.
(0.85)
(1 + h)2 − 12
h→0
h
lim
Determine a função f e o ponto c.
2) Determine a equação da recta tangente ao gráfico da função f (x) = cos(π − 2x) no ponto
x = π4 .
(1.20)
3) Considere que x e y estão definidos em função de t.
(1.00)
dy
.
dx
dy
dx
Sabendo que
> 0, ∀t ∈ R determine se
é sempre posidt
dt
tivo ou sempre negativo ∀t ∈ R.
O gráfico da figura ao lado representa a função
10
1 2 3
−3−2−1
4) Considere a circunferência de equação x2 + y 2 = 4.
4.1) Represente graficamente esta equação e diga se o gráfico pode representar uma função.
√ √
4.2) Obtenha o declive da recta tangente ao gráfico da circunferência no ponto P = ( 2, 2).
(0.85)
5) Tendo como base o gráfico da função f (x) associe as funções descritas abaixo com o respectivo
gráfico.
(0.80)
(A) y = f (x + 2)
g(x)
1
(B) y = − f (x) − 3
2
−4
f (x)
10
2
−2
−10
4
6
h(x)
6) Considere os gráficos das três funções g1 , g2 , g3 .
Para cada condição dada para a função f , qual dos
gráficos poderia ser o gráfico de f ?
6.1) Existe lim f (x).
(0.60)
6.2) f é contı́nua em 2.
(0.60)
6.3) lim− f (x) = 2
(0.60)
x→2
x→2
Página 1 de 2
g1 (x)
g2 (x)
3
2
1
−2−1
g3 (x)
2
(1.00)
Instituto Politécnico de Viseu Escola Superior de Tecnologia
Prova: Frequência
Ano Lectivo: 2006/2007
Disciplina: Métodos Matemáticos I
05/01/2007 - 9h30m
7) Seja f (x) = 2x2 + ex .
Z
7.1) Calcule
f (x)dx.
Z
ex
2
7.2) Calcule
f (x) x +
dx usando primitivação por substituição.
4
7.3) Estabeleça o integral que permite calcular o comprimento das curva dada no intervalo
[1,5].Não calcule o integral!
x = 3 − 2y 2
8) Calcule a área da região representada a
sombreado no gráfico.
(1.60)
(1.25)
(1.75)
(1.00)
x = y2
9) Determine se a seguinte série é convergente e, em caso afirmativo, calcule a sua soma:
n +∞ n
X
1
1
4
+2
5
2
n=0
.
10) Determine o intervalo de convergência da seguinte série:
(1.50)
(1.75)
+∞
X
xn
n2n
n=0
.
11) A figura ao lado representa uma quádrica.
11.1) Identifique a quádrica representada e
indique qual das três equações
seguintes pode ser a sua equação:
(A) z −
x2 y 2
−
=0
2
2
(B) y −
x2 z 2
−
=0
2
2
(1.25)
y2 z2
−
=0
2
2
11.2) Considerando a equação usada como resposta da alı́nea anterior determine as equações
do plano tangente e da recta normal à quádrica no ponto P = (1, 1, 1).
(C) x −
(1.60)
Observação: Se não respondeu à alı́nea anterior considere a equação (A).
12) Calcule as coordenadas cartesianas do ponto cujas coordenadas polares são 2, π3
BOM TRABALHO!
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(0.80)