Disciplina: Pesquisa Operacional Aplicada à Engenharia
Curso: Especialização em Engenharia de Processos e de Sistemas de Produção
Primeiro
− 1

4
01. Considerando a matriz 
2

0
semestre
de
2014
0

1 3 1
determine o seu determinante pelo método dos menores
2 − 1 1

0 1 0
0
2
principais. Mostre o cálculo na folha de resposta. Utilize o Excel para conferir a resposta.
1
e
−1
2π 
10 13 π 

 3




3
e/2
0
2
0
− 1 0,1 − 5 
02. Considerando as matrizes: A = 
e B = 
, e os

− 17 / 3 0
2
3
−e
0
2 − 1




5
0
0 − 1
cos( π / 4) − 1 sen( π / 4) 0 

escalares, a = φ e b =ln(2), determine:
02.1. aA + bB
02.2. (A2B)/(ab)
02.3. (AB)-1
02.4. det(AB) e det[(AB)-1]
03. Resolva o sistema: 2x +y + 5z + 6t = 25
x – 5y +4z – 7t = 20
x + 2y –z + 5t = 15
3x – y + 6z + t = 10
Utilizando o método matricial e o auxílio da planilha.
04. O diretor de projetos da Telefonia Celular PNL precisa determinar a localização de uma nova antena
para atender as cidades sedes de três municípios do estado. Em virtude da topografia da região a torre
não pode ficar a mais de 10 km do centro de cada uma das três cidades. A partir do mapa da região foi
determinado um ponto de referência arbitrário e os centros das três cidades estão localizados de
acordo com a tabela em relação a este ponto.
Município
xi
yj
Pangaré
2
1
Bombacha
10
5
Pala Véio
-5
10
Prof. Lorí Viali, Dr.
-
[email protected]
-
http://www.pucrs.br/famat/viali/
Disciplina: Pesquisa Operacional Aplicada à Engenharia
Curso: Especialização em Engenharia de Processos e de Sistemas de Produção
Primeiro
semestre
de
2014
Suponha que a torre deva estar localizada no ponto (a, b) equidistante das sedes dos três municípios
de forma a atender a restrição dada, determine as coordenadas da torre de modo a minimizar a
distância que ela estará da sede dos três municípios.
05. Determine a matriz Hessiana das seguintes funções:
(a) f(x) = 1/x2
(b) y = e4/x
(c) f(x, y) = 2x4y2
(d) f(x, y) = x0,3y0,7
06. Determine se as seguintes funções são côncavas ou convexas (justifique).
(a) f(x) = 3x2 – 3x + 3 para S = R
(b) f(x, y) = x3 +y2 + 3xy para S = R2
(c) f(x, y, z) = 0,5xy - x2 – y2 - 2z2 para S = R3
07. Para que valores de “a” e “b” e “c” a função ax2 + bxy + cy2 será convexa? Côncava?
08. O diretor de projetos da Telefonia Celular PNL precisa determinar a localização de uma nova antena
para atender as cidades sedes de três municípios do estado. Em virtude da topografia da região a
torre não pode ficar a mais de 10 km do centro de cada uma das três cidades. A partir do mapa da
região foi determinado um ponto de referência arbitrário e os centros das três cidades estão
localizados de acordo com a tabela em relação a este ponto.
Município
xi
yj
Pangaré
2
1
Bombacha
10
5
Pala Véio
-5
10
Suponha que a torre deva estar localizada no ponto (a, b) equidistante das sedes dos três municípios
de forma a atender a restrição dada, determine as coordenadas da torre de modo a minimizar a
distância que ela estará da sede dos três municípios.
Prof. Lorí Viali, Dr.
-
[email protected]
-
http://www.pucrs.br/famat/viali/
Disciplina: Pesquisa Operacional Aplicada à Engenharia
Curso: Especialização em Engenharia de Processos e de Sistemas de Produção
Primeiro
semestre
de
2014
09. f(x) = x4 – x2 s. a -2 ≤ x ≤ 2
(a) Encontre e classifique todos os pontos críticos da função no intervalo.
(b) Faça um gráfico da função nesta região.
10. f(x) = x3 – 3x2 + 2x + 1 s. a -2 ≤ x ≤ 4
(a) Encontre e classifique todos os pontos críticos da função no intervalo.
(b) Faça um gráfico da função nesta região.
11. Resolva o seguinte PPNL de uma variável irrestrita, apontando o ponto mínimo e também o valor
mínimo.
Min f(x) = (x - 4)2 - 3 s. a 3 ≤ x ≤ 6
12. Uma empresa de refrigeração tem um custo variável de R$ 100,00 para produzir um aparelho de ar
condicionado mais um custo fixo de R$ 5000,00 se algum aparelho for produzido. Se a empresa gasta
x reais em publicidade ela pode vender x1/2 a um preço de R$ 300,00 cada. Quantos aparelhos a
empresa deve produzir para obter o lucro máximo? Se o custo fixo de produzir os aparelhos fosse
R$ 20000,00 quantos aparelhos a empresa deveria produzir? Justifique.
Formule o problema e use o Solver para achar a solução ótima, caso a função seja convexa (côncava).
13. Considere a seguinte função: f(x, y, z) = 2xyz – 4xz - 2yz + x2 + y2 + z2 – 2x – 4y + 4z.
(a) Verifique se (0, 3, 1), (0, 1, -1), (1, 2, 0), (2, 1, 1) e (2, 3, -1) são pontos estacionários da função.
(b) Para os que forem identifique se são de máximo, de mínimo ou de sela.
14. Uma Cia consegue vender tudo o que produz de um determinado produto por R$ 5,00 a unidade. O
produto é produzido pela combinação de duas matérias primas. Se q1 unidades da MP1 e q2 unidades de
MP2 são utilizadas, a Cia pode produzir q11 / 3 + q22 / 3 unidades do produto. (a) Se o custo de q1 é R$1,00
e o custo de q2 é R$ 1,50, determine quantas unidades de q1 e q2 devem ser utilizadas para que o lucro
seja máximo? (b) Quantas unidades serão produzidas e qual será o lucro? (c) Se o preço do produto no
mercado for de R$ 8,00 como ficam os valores em (a) e (b)? (d) Se o preço das matérias primas
Prof. Lorí Viali, Dr.
-
[email protected]
-
http://www.pucrs.br/famat/viali/
Disciplina: Pesquisa Operacional Aplicada à Engenharia
Curso: Especialização em Engenharia de Processos e de Sistemas de Produção
Primeiro
semestre
de
2014
sofresse um reajuste de 40% como ficariam os valores em (a) e (b), se o preço de mercado fosse de
R$ 10,00? (e) Você acha que os valores encontrados anteriormente são ótimos? Por quê?
Obs.: Arredonde os resultados para valores inteiros quando for o caso.
15. Uma Cia produz dois produtos. Se ela cobra um preço pi pelo produto i, ela pode vender qi unidades
desse produto, onde q1 = 60 – 3p1 + p2 e q2 = 80 + p1 – 2p2. Custa R$ 18,00 pra produzir uma unidade do
produto 1 e R$ 12,00 para produzir uma unidade do produto dois. O custo fixo de produção é de 300
unidades monetárias. (a) Quanto ela deve cobrar por cada produto para maximizar o lucro? (b)
Quantas unidades de cada produto a companhia deve produzir para maximizar o lucro?
Principais derivadas que podem ser úteis.
FUNÇÃO
DERIVADA
Y=c
y’ = 0
Y = xn
y'= nxn-1
y = f(x) ± g(x)
y'= f’(x) ± g’(x)
y = f(x)g(x)
y' = f’(x)g(x) + f(x)g’(x)
Y = f(x)/g(x)
y' = [f’(x)g(x) - f(x)g’(x)]/g(x)2
y = f(g(x))
y' = f’[g(x)]g’(x)
y = au
y' = auln(a)u’
y = eu
y' = u’eu
y= logau
y' = u’/[uln(a)]
y = ln(u)
y' = u’/u
Se y = f(u), u = g(x), e as derivadas dy/du e du/dx existem,
Regra da Cadeia
então a função composta definida por y = f(g(x)) tem derivada
dada por:
Prof. Lorí Viali, Dr.
-
dy
dx
=
dy du
= f'(u)g'(x) = f'[g(x)] g'(x)
du dx
[email protected]
-
http://www.pucrs.br/famat/viali/