Prof. Lorí Viali, Dr.
[email protected]
http://www.pucrs.br/famat/viali/
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KKK
s
KKC
0
KCK
1
CCK
2
CKC
3
KCC
ℜ
CCC
S
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X(S )
FAMAT: Departamento de Estatística
O conjunto formado por
todos os valores “x”, isto é, a
imagem da variável aleatória X,
é denominado de conjunto de
valores de X.
X(S) = { x ∈ ℜ / X(s) = x }
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x = X(s)
X
CKK
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Uma função X que associa a
cada elemento de S (s ∈ S) um
número real x = X(s) é
denominada variável aleatória.
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Conforme o conjunto de
valores – X(S) – uma
variável aleatória poderá
ser discreta ou contínua.
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1
Se o conjunto de valores for
finito
ou
então
infinito
enumerável a variável é dita
discreta.
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Se o conjunto de valores
for infinito não enumerável
então a variável é dita
contínua.
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A função de probabilidade (fp) de
uma VAD é a função que associa a cada
xi ∈ X(S) o número f(xi ) = P(X = xi )
que satisfaz as seguintes propriedades:
f(xi ) ≥ 0, para todo “i”
∑f(xi ) = 1
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A coleção dos pares [xi, f(xi)]
para i = 1, 2, 3, ... é denominada
de distribuição de probabilidade
da VAD X.
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2
f
X
Suponha
que
uma
moeda
KKK
CKK
0
0
equilibrada é lançada três vezes.
KKC
1
0
Seja X = “número de caras”.
CCK
2
0
3
1
Então
a
distribuição
de
probabilidade de X é:
KCK
CKC
KCC
CCC
S
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x
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ℜ
[ 0;1]
f (x)
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f
X
KKK
CKK
0
1/8
KKC
1
3/8
Suponha que um par de dados é
2
3/8
3
lançado. Então X = “soma do par” é
1/8
KCK
CCK
CKC
KCC
CCC
S
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x
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ℜ
[ 0;1]
f (x)
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uma variável aleatória discreta com
o seguinte conjunto de valores:
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A função de probabilidade
Como X((a, b)) = a + b, o
f(x) = P(X = x), associa a cada
conjunto de valores de X é dado
x ∈ X(S), um número no
por:
intervalo [0; 1] dado por:
X(S) = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 10, 11, 12}
f(x) = P(X = x) = P(X(s) = x) =
= P([x ∈ X(S) / X(s) = x})
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3
Desta forma:
A distribuição de probabilidade
f(2) = P(X = 2) = P{(1,1)} = 1/36
f(3) = P(X = 3) = P{(1,2), (2, 1)} = 2/36
...............................................................
de X será então:
x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Σ
f(11) = P(X=11) = P{(6, 5), (5, 6)} = 2/36
f(12) = P(X = 12) = P{(6, 6)} = 1/36
f(x)
1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
1
A distribuição de probabilidade será:
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x
0
1
2
3
4
Σ
Seja X = “número
Através de:
de caras”, obtidas no
uma tabela
lançamento
uma expressão analítica (fórmula)
moedas honestas. Então
PUCRS –
dada ao lado.
FAMAT: Departamento de Estatística
Considere X = “soma do par”,
no lançamento de dois dados
equilibrados, então:
f : X(S) →
ℜ
x
→ (x - 1)/36 se x ≤ 7
(12 - x -1)/36 se x > 7
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4
a distribuição de X é a
um diagrama
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de
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f(x)
1/16
4/16
6/16
4/16
1/16
1
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0,18
0,16
0,14
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
0,00
2
3
4
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5
6
PUCRS –
7
8
9
10
11
12
FAMAT: Departamento de Estatística
4
(a) Expectância, valor esperado
Calcular o valor esperado e a
µ = E(X) = ∑ x.f (x ) = ∑ x.P( X = x)
variabilidade da variável
(b) Desvio padrão
“número de caras” no lançamento
2
σ = ∑ f ( x) (x − µ ) = ∑ x 2 f (x) − µ
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x
0
1
2
3
4
Σ
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f(x)
1/16
4/16
6/16
4/16
1/16
1
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de quatro moedas honestas.
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x.f(x)
0
4/16
12/16
12/16
4/16
32/16
x2f(x)
0
4/16
24/16
36/16
16/16
80/16
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(c) Moda
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(a) Expectância ou valor esperado
µ = E ( X ) = ∑ x .f ( x ) =
32
= 2 caras
16
(b) Desvio padrão
σ=
2
∑ x 2 f ( x) − µ =
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80
− 22 = 5 − 4 = 1
16
FAMAT: Departamento de Estatística
Bernoulli
mo = 2 caras
(d) Mediana
me = 2 caras
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2
X =
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Binomial Negativa
Binomial
Uniforme
Geométrica
Poisson
Hipergeométrica
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5
EXPERIMENTO
Qualquer um que corresponda a
apenas dois resultados. Estes
resultados são anotados por “0” ou
“fracasso” e “1” ou “sucesso”. A
probabilidade de ocorrência de
“sucesso é representada por “p” e a
de insucesso por “q = 1 – p”.
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Conjunto de Valores
X(S) = { 0, 1}
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A Função de Probabilidade (fp)
1,0
0,8
A Função de Probabilidade (fp)
1 − p se x = 0
f ( x ) = P( X = x ) = 
 p
se x = 1
0,6
0,4
0,2
0,0
0
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FAMAT: Departamento de Estatística
A Função de Distribuição (FD)
0 se x < 0

F(x) = P(X ≤ x) = q se 0 ≤ x < 1

1 se x ≥ 1
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1
PUCRS –
Função de Distribuição
1
p
q
1
0
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6
Características
Expectância ou Valor Esperado
E ( X ) = ∑ x .f ( x ) = 0 .q + 1 .p = p
Variância
V ( X ) = E ( X 2 ) - E(X)
2
=
= (0 2 . q + 1 2 . p ) − p 2 =
= p − p 2 = p ( 1 − p ) = pq
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FAMAT: Departamento de Estatística
Suponha que um circuito é
testado e que ele seja rejeitado com
probabilidade 0,10. Seja X = “o
número de circuitos rejeitados em
um teste”. Determine a distribuição
de X.
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Como se trata de um único teste,
a variável X é Bernoulli com p
=10%, assim a distribuição é:
0,9 se x = 0
f ( x ) = P( X = x ) = 
0,1 se x = 1
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EXPERIMENTO
Como existem apenas duas
situações: A ocorre e A não ocorre,
pode-se determinar a probabilidade de
A não ocorrer como sendo q = 1 – p.
A VAD definida por X = “número
de vezes que A ocorreu nas ‘n’
repetições de E” é denominada
BINOMIAL.
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Conjunto de Valores
X(S) = {0, 1, 2, 3, ..., n}
A Função de Probabilidade (fp)
n 
f (x ) = P(X = x ) =   p x q n − x
x
 
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7
A Função de Probabilidade (fp)
A Função de Distribuição (FD)
0,18
se x < 0
0

 x  n
F(x ) = P(X ≤ x) =  ∑   pk qn- k se 0 ≤ x ≤ n
 
k = 0  k 

se x > n
1
0,16
0,14
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
0,00
0
2
4
6
8
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10
PUCRS –
12
14
16
18
20
22
24
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FAMAT: Departamento de Estatística
Características
Função de Distribuição
Expectância ou Valor Esperado
n
E( X) = ∑ x.f ( x) = ∑ x.  p x qn − x = np
x
 
Variância
1,00
0,90
0,80
0,70
0,60
0,50
V( X ) = E( X 2 ) - E(X) 2
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
1
3
5
7
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9
11
13
PUCRS –
15
17
19
21
23
FAMAT: Departamento de Estatística
25
n 
E ( X2 ) = ∑ x 2 .  p x q n − x = n(n - 1) p2 + np
 x
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V( X ) = E ( X 2 ) - E(X)2 =
n ( n − 1) p 2 + np − ( np ) 2 =
= − n p 2 + np = np (1 − p) = npq
Assim:
E(X ) = np
σX = npq
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Suponha que um circuito é
testado e que ele seja rejeitado com
probabilidade 0,10. Seja X = “o
número de circuitos rejeitados em 10
testes”. Determine a distribuição de
X.
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8
Como se tratam de 10 testes a
variável X é Binomial com p =10%,
assim a distribuição é:
10 
x
10 − x
f (x ) = P(X = x) =   (0,1) . (0,9)
x
 
para x = 0, 1, 2, ..., 10
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EXPERIMENTO
A distribuição Geométrica, também,
está relacionada com o experimento de
Bernoulli. A diferença é que, agora, o
que é fixado é o primeiro sucesso e não o
número de tentativas, isto é, X = número
de tentativas realizadas até se conseguir
Conjunto de Valores
X(S) = {0, 1, 2, 3, ...}
A Função de Probabilidade (fp)
f (x ) = P(X = x ) = p q x−1
o primeiro sucesso.
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A Representação Gráfica
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A Função de Distribuição (FD)
0,40
0
F( x ) = P( X ≤ x ) =  x
1 - q
0,20
se x < 1
se x ≥ 1
0,00
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A distribuição G(0,4)
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FAMAT: Departamento de Estatística
9
A Função de Distribuição (FD)
Características
Expectância ou Valor Esperado
1,00
E( X ) = ∑ x.f ( x ) = ∑ x.p qx −1 =
0,80
0,60
Variância
0,40
1
p
V( X ) = E( X 2 ) - E(X) 2
0,20
2
0,00
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
V( X ) = ∑ x .p q
2
A distribuição acumulada da G(0,4)
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FAMAT: Departamento de Estatística
Suponha que um jogador de
futebol converta 3 de cada 4
penalidades cobradas. Determine a
probabilidade de ele errar 4
penalidades antes de converter a
primeira?
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x −1
q
 1
−   = 2
p
 p
FAMAT: Departamento de Estatística
Neste caso, tem-se: p = (3/4) =
75% e q = (1/4) = 25%
X = Número de tentativas antes do
primeiro sucesso, é, então, uma
G(0,75)
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f(x) = P(X = x) = 0,75.0,25x-1
para x = 1, 2, 3, …
Portanto:
f(4) = P(X = 4) = 0,75.0,253 =
= 1,17%
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10
EXPERIMENTO
CONDIÇÕES
A distribuição binomial negativa é
também conhecida como de Pascal ou de
Pólya. Ela fornece o número de falhas
até um número fixo de sucessos. Um
experimento
que
apresenta
uma
distribuição binomial negativa satisfaz as
seguintes condições:
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Cada tentativa apresenta apenas dois
resultados: sucesso ou fracasso;
O experimento consiste de uma
seqüência de tentativas independentes;
A
probabilidade
de
sucesso
permanece constante em todas as
tentativas;
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Conjunto de Valores
O experimento continua até que um
total de “r” sucessos sejam observados,
onde “r” é um valor inteiro maior do que
um, fixado de antemão.
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X(S) = {r, r + 1, r + 2,...}
A Função de Probabilidade (fp)
 x − 1 r x −r
 p q
f (x ) = P(X = x ) = 
r −1 
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A Representação Gráfica
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A Função de Distribuição (FD)
0,60
se x < r
0

F( x) =  x  k - 1 r k−r
se x ≥ r
k∑=r r - 1  p q

 
0,40
0,20
0,00
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A distribuição BN(0,4)
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11
A Função de Distribuição (FD)
Características
Expectância ou Valor Esperado
1,00
∞
∞  x − 1 r x − r
r
 p q =
E(X) = ∑ x.f (x ) = ∑ x.
p
x =r
x =r  r −1 
0,80
0,60
Variância
0,40
V( X ) = E( X 2 ) - E(X) 2
0,20
0,00
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A distribuição acumulada da BN(0,4)
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Suponha que um jogador de
basquete acerte 4 a cada 5 lances
livres. Seja X o número de erros
antes do terceiro acerto. Determine a
probabilidade que ele precise fazer 6
lances, isto é, P(X = 6).
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 x − 1 3 x − 3
 0,8 0,2
f (x ) = P (X = x ) = 
 r 
onde x = 3, 4, 5, 6, 7,…
 6 − 1 3
f (6) = P (X = 6) = 
 0,8 . 0,26−3 =
2


5
=   0,83 . 0,23 = 0,0410 = 4,10%
2
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2
 x − 1 r x − r  r  rq
V(X ) = ∑ x .
 p q −   = 2
x=r
 p p
 r −1 
∞
2
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Neste caso, tem-se:
r = 3, p = (4/5) = 80% e q = 20%
X = Número de tentativas antes do
terceiro acerto é, então, uma BN(3; 0,8)
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OBSERVAÇÕES:
Existe
uma
relação
entre
a
Binomial e a Pascal (Binomial
Negativa). Na Binomial fixa-se o
tamanho da amostra (número de provas
de Bernoulli) e observa-se o número de
sucessos.
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12
Na Binomial Negativa fixa-se o
número de sucessos e observa-se o
tamanho da amostra (número de provas
de Bernoulli) necessário para obter o
número fixado de sucessos.
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EXPERIMENTO
A distribuição Binomial é
deduzida com base em “n”
repetições de um experimento de
maneira independente (isto é, p =
constante), ou retiradas com
reposição de uma população finita.
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EXPERIMENTO
Neste caso a variável aleatória
X = “número de objetos com a
característica r em uma amostra de
tamanho n”, terá uma distribuição
denominada de Hipergeométrica.
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EXPERIMENTO
Se a experiência consistir na
seleção de objetos, sem reposição, de
uma população finita, de tamanho
“N”, onde “r” apresentam uma
característica “N – r” não apresentam
esta característica, então existirá
dependência entre as repetições.
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Conjunto de Valores
x : máx{0, n–N+r)}, ..., mín{r, n}
A Função de Probabilidade (fp)
 r  N − r 
 

 x  n − r 

f ( x ) = P ( X = x ) =  
 N
 
n 
 
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13
A Função de Probabilidade (fp)
A Função de Distribuição (FD)
se x < j
0

  r  N − r 

   

 k  x  n − x 
F (x ) = P (X ≤ x ) =  ∑
se j ≤ x ≤ k
N
x= j
 

n 
 

1
se x > k

H(20; 15; 50)
0,3
0,2
0,2
0,1
0,1
onde
0,0
0
1
2
3
4
5
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6
7
PUCRS –
8
9
10 11 12 13 14 15
FAMAT: Departamento de Estatística
j = máx{0, n - N + r}
k = mín{r, n}
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Função de Distribuição
PUCRS –
FAMAT: Departamento de Estatística
Características
H(20; 15; 50)
Expectância ou Valor Esperado
E( X) = np
1,00
0,90
0,80
0,70
Desvio Padrão
0,60
0,50
0,40
σ X = npq
0,30
0,20
0,10
0,00
0
1
2
3
4
5
Prof. Lorí Viali, Dr. –
6
PUCRS –
7
8
9
10
11
12
13
14
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peças das quais cinco são defeituosas.
Suponhamos que a fábrica aceite todas as 100
peças se não houver nenhuma defeituosa em
uma amostra aleatória de 10 peças
selecionadas para inspeção. Determinar a
probabilidade de o lote ser aceito.
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Onde p =
r
N
15
Uma fábrica recebe um lote de 100
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N−n
N −1
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Pela Hipergeométrica:
N = 100, r = 5, n = 10
 5   95
 . 
 0   10 
f (0) = P ( X = 0) =     = 58,38%
100 


 10 


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14
Pela Binomial:
n = 10 e p = 5/100 = 5%
10
f (0) = P(X = 0) =  . (0,5)0 .(0,95)10 =
0
 
= 59,87%
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EXPERIMENTO
A distribuição uniforme é a mais
simples das variáveis discretas. A
variável assume os valores: x1, x2, ..., xn
sempre com igual probabilidade.
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DEFINIÇÃO
Uma variável aleatória X que
assume os valores x1, x2, ..., x n é dita
uniforme discreta se todos os valores
ocorrem com a mesma probabilidade,
isto é, f(xi) = 1/n.
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A Representação Gráfica
Conjunto de Valores
0,10
X(S) = {x1, x2,..., xn}
A Função de Probabilidade (fp)
f (xi) = P(X = xi) = 1 / n
0,05
0,00
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A distribuição U(10)
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A Função de Distribuição (FD)
A Função de Distribuição (FD)
1,00
0

F( x i ) = P( ≤ x i ) =  i

n
se x < x1
0,80
se x ≥ x i
0,40
0,60
0,20
0,00
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A distribuição acumulada da U(10)
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Características
Expectância ou Valor Esperado
n
E(X ) = ∑ xi .f ( xi) =
i =1
Variância
1 n
∑ xi
n i=1
Suponha que um dado honesto é
lançado. Seja X = valor da face
voltada para cima. Determinar a
distribuição de X.
V( X ) = E ( X 2) - E(X) 2
2
1
2 (∑ x i )
V(X ) = [∑ xi −
]
n
n
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x
1
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2
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3
4
5
6
f(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
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Σ
1
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EXPERIMENTO
Na
Binomial
a
EXPERIMENTO
variável
que
interessa é o número de sucessos em um
intervalo discreto (n repetições de um
experimento). Muitas vezes, entretanto,
o interesse é o número de sucessos em
um intervalo contínuo, como o tempo,
área, superfície, etc.
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EXPERIMENTO
(iii) Em intervalos muito pequenos
probabilidade de mais de um sucesso
desprezível;
(iv) Em intervalos muito pequenos
probabilidade de um sucesso
proporcional ao tamanho do intervalo.
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Para determinar a f(x) de uma
distribuição deste tipo, será suposto que:
(i) Eventos definidos em intervalos não
sobrepostos
são
independentes;
(ii) Em intervalos de mesmo tamanho as
probabilidades de um mesmo número de
sucessos são iguais
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Definição:
a
é
Se uma variável satisfaz estas
quatro propriedades ela é dita VAD de
POISSON.
a
é
Se X é uma VAD de POISSON,
então a função de probabilidade de X é
dada por:
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A Função de Probabilidade (fp)
e−λ . λ x
f ( x ) = P(X = x ) =
x!
para x = 0, 1, 2, ...
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A Função de Probabilidade (fp)
P(10)
0,15
0,12
0,09
0,06
“λ” é denominada de taxa de sucessos
0,03
0,00
0
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2
4
6
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8
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10
12
14
16
18
20
22
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17
Função de Distribuição
A Função de Distribuição (FD)
P(10)
1,00
0

F( x ) = P ( X ≤ x ) =  x -λ . k
e λ
∑
 k = 0 k!
se x < 0
0,90
0,80
0,70
se x ≥ 0
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
0
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2
4
6
8
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10
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12
14
16
18
20
22
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Características
Expectância ou Valor Esperado
E( X ) = λ
Desvio Padrão
σX = λ
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A taxa de consultas é de “seis”
em “dez” segundos em “cinco ”
segundos teremos uma taxa de
λ = 3 consultas. Então:
-3 3
e .0
f (0) = P ( X = 0) =
=
0!
= e-3 = 4,98%
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O número de consultas a uma base
de dados computacional é uma VAD de
Poisson com λ = 6 em um intervalo de
dez segundos. Qual é a probabilidade
de que num intervalo de 5 segundos
nenhum acesso se verifique?
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Considerando o exemplo dado
na Hipergeométrica, que foi
resolvido, também, pela Binomial, é
possível ainda utilizar a Poisson.
Para isto deve-se fazer λ = np.
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Então:
λ = 10.0,05 = 0,5.
f ( 0 ) = P ( X = 0) =
e
-0,5
.0
=
0!
= e-0,5 = 60 ,65 %
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