Disciplina: Pesquisa Operacional
Teoria das filas
Primeiro semestre de 2012
Revisão da Poisson e da Exponencial
01. Suponha que o acesso a um servidor de web siga uma Poisson com taxas de quatro acessos por minuto.
(i) Encontre a probabilidade de que ocorram 10 acessos num período de dois minutos.
(ii) Se ocorrerem mais do que 10 acessos num dado minuto um servidor adicional deve entrar em
operação. Determine qual o percentual de vezes que o servidor adicional será acionado.
02. O número de falhas por dia em uma fábrica segue uma Poisson com parâmetro λ = 3. A empresa tem
recursos internos que lhe permitem reparar até três máquinas por dia. Quando as falhas ultrapassam
três em um só dia, é contratada assistência externa para executar os consertos excedentes.
(i) Qual a probabilidade de que, em um dado dia, se tenha que requisitar assistência externa?
(ii) Qual o número esperado de consertos diários realizados pela empresa?
(iii) Qual o número esperado de consertos diários realizados pela assistência externa?
03. O número de navios petroleiros que chegam à determinada refinaria por dia tem uma distribuição de
Poisson de parâmetro três. As instalações atuais do porto podem atender, no máximo, quatro navios
por dia. Os eventuais excedentes deverão seguir para outro porto.
(i) Num dia, qual a probabilidade de haver navios que não possam ser atendidos?
(ii) Qual o número esperado de navios que são atendidos diariamente na refinaria?
(iii) Qual o número esperado de navios que terão de se dirigir diariamente a outro porto?
(iv) De quanto deverão ser aumentadas às instalações atuais para permitir atender todos os navios em
aproximadamente 99,5% dos dias de serviço?
04. Suponha que a duração de uma chamada de celular (em minutos) é exponencialmente distribuída com
parâmetro de 0,4. Determine:
(i) O tempo médio e a variabilidade da duração das chamadas.
(ii) A probabilidade de que uma chamada dure entre 2 e 5 minutos.
(iii) A mediana, o primeiro, o terceiro e a amplitude interquartílica do tempo de chamada.
(iv) A probabilidade de que a duração supere o valor esperado.
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Teoria das filas
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05. O tempo de espera, numa parada, pela chegada de um ônibus é, em média, de 5 minutos. Admitindo que
esse tempo é uma variável exponencial, determine a probabilidade de que alguém:
(i) Espere mais de 15 minutos por ônibus.
(ii) Espere mais de 15 minutos por ônibus. Resolva utilizando a Poisson.
(iii) Pegue um ônibus no minuto imediatamente seguinte à chegada na parada.
(iv) Espere por mais de 10 minutos por um ônibus dado que já esperou 15 minutos.
O Modelo M/M/1 GD/∞/∞
01. Um lava rápido Automático funciona com somente uma baia. Os carros chegam conforme uma
distribuição de Poisson com uma média de 4 carros por hora e podem esperar no estacionamento
oferecido se a baia estiver ocupada. O tempo para lavar um carro segue uma distribuição exponencial,
com média de 10 minutos. Carros que não conseguem vaga no estacionamento podem esperar na rua
onde está situado o lava rápido. Isso significa que, de fato, na prática, não há limite para o tamanho do
sistema.
(i) Determine o percentual de utilização da baia de lavagem.
(ii) Determine a probabilidade de um carro que chega ter que esperar no estacionamento antes de
entrar na baia de lavagem.
(iii) Se houver cinco vagas no estacionamento, determine a probabilidade de que um carro que chega
achar uma vaga.
(iv) Quantas vagas devem ser oferecidas, no estacionamento, para que um carro que chega tenha menos
de 1% de probabilidade de não encontrar uma vaga.
(v) Quantos minutos, em média, podem ser gastos para lavar um carro se o tempo de espera na fila for
fixado em no máximo 15 minutos (resolva analiticamente).
02. Um restaurante de comida rápida tem um único guichê de atendimento para carros. Os carros chegam
de acordo com uma distribuição de Poisson a uma taxa de 2 carros a cada 5 minutos. O espaço na
frente do guichê comporta no máximo 10 carros (incluindo o que está sendo atendido). Outros carros
devem esperar fora do espaço (na rua) se for necessário. O tempo de atendimento de cada cliente
(carro) segue uma exponencial com média de 1,5 minutos. Determine:
(i) A probabilidade de o atendente estar ocioso.
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(ii) O número esperado de clientes para serem atendidos.
(iii) O tempo de espera de um cliente até chegar ao guichê de atendimento.
(iv) A probabilidade de que um cliente (carro) tenha que esperar na rua.
03. Suponha que proprietários de carros abasteçam quando o tanque está exatamente na metade. Uma
média de 7,5 clientes por hora chegam a um posto com uma única bomba. O frentista leva em média 4
minutos para atender cada carro. Assuma que os tempos envolvidos são exponenciais.
(i) Determine L e W para a situação.
(ii) Suponha que esteja faltando gasolina em alguns postos e os consumidores mais precavidos estão
abastecendo quando o tanque está agora ¾ cheio ainda. Cada carro está pondo menos combustível
em cada visita ao posto e então assumimos que o tempo gasto por cada carro no posto é agora de
3
1
minutos. Como a falta de gasolina afetou os valores de L e W.
3
04. Suponhamos que as chegadas de pessoas a uma cabine telefônica sigam uma Poisson, com ritmo de 15
chegadas por hora. A duração média de um telefonema é de 3 minutos e segue uma distribuição
exponencial negativa. Determine:
(i) Qual a probabilidade de uma pessoa chegar à cabine e não ter que esperar?
(ii) Qual o número médio de pessoas na fila?
(iii) Qual o número médio de pessoas no sistema?
(iv) Qual o número médio de clientes usando o telefone?
(v) Qual o tempo médio de fila?
(vi) Para que taxa de chegada o tempo médio de espera será de aproximadamente 3 minutos?
(vii) Qual a fração do dia durante a qual o telefone está em uso?
05. Carros chegam ao posto de pedágio automatizado de acordo com uma distribuição de Poisson, com uma
média de 90 carros por hora. O tempo para passar pelo posto de pedágio se distribui de acordo com
uma exponencial de média 36 segundos. Os motoristas têm reclamado do tempo de espera e a
concessionária da via está disposta a reduzir o tempo de médio de passagem pelo posto para 30
segundos instalando um novo dispositivo mais eficiente, mas bem mais caro. Para que os custos sejam
amortizados em um tempo razoável ela estabeleceu duas condições para efetuar a troca: (a) o número
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médio de carros na fila do sistema atual deve ser superior a 5 e (b) a probabilidade de um carro
esperar na fila mais do que um minuto deve ser maior do que 75%.
(i) Verifique se a troca de dispositivo deve ser feita. Justifique.
(ii) Se a troca for feita:
(a) Qual será o tempo médio de espera na fila?
(b) Qual será o tempo médio de espera na fila?
O Modelo M/M/s/GD/∞/∞
01. Estudantes chegam a um laboratório de computação de acordo com Poisson a uma taxa média de 15 por
hora. Cada estudante gasta em média 15 minutos no computador e assume-se que este tempo seja
exponencialmente distribuído. O laboratório tem atualmente 4 computadores e alguns alunos têm
reclamado que os tempos de espera são muito longos.
(i) Determine o tamanho médio da fila e o tempo médio de espera. Calcule a probabilidade de um aluno
chegar e encontrar um computador disponível.
(ii) Se o coordenador do laboratório colocar mais um computador, como ficam os valores do item (a)?
02. Um pequeno banco tem dois caixas que são igualmente eficientes e que são capazes de atender uma
média de 80 clientes por hora com tempos de serviço exponencialmente distribuídos. Um caixa demora
em média 1,2 minutos para atender um cliente. Considere que esse tempo exponencial. Determine:
(i) O número esperado de clientes no banco.
(ii) O tempo médio que um cliente gasta no banco.
(iii) A fração de tempo que um caixa está livre.
(iv) A probabilidade de que um consumidor gaste mais do que três minutos no banco.
(v) Determine o valor da fórmula C de Erlang para esse sistema.
03. Uma pequena cidade é atendida por duas empresas de tele-táxi, sendo que cada uma tem dois táxis e
dividem o mercado igualmente. Os telefonemas chegam a central de cada empresa, de acordo com uma
Poisson de média oito por hora. O tempo médio de cada corrida é de 12 minutos e segue um modelo
exponencial. Um investidor comprou as duas empresas e tem interesse em consolidá-las em uma única
central de atendimento.
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(i) Analise se a junção das duas empresas em uma só é vantajosa para o novo proprietário. Utilize como
critério o tempo médio que um cliente espera por um táxi nas duas situações.
(ii) Se o tempo médio por viagem fosse de 14,5 minutos (ao invés de 12 minutos), a união das duas
empresas seria recomendável?
04. Um trailer de Xis tem dois atendentes. Os clientes chegam de acordo com uma distribuição de Poisson
a cada 3 minutos e 12 segundos em média e são atendidos pelo primeiro servidor que estiver livre. O
tempo que um atendente leva para fazer um Xis “ no capricho” é, em média, de 5 minutos e 48
segundos. O trailer tem atualmente seis vagas para esperar sentado. Como o lanche é bom e o preço
também os clientes estão dispostos a fazer fila e esperar em pé caso necessário.
(i) Determine o número lugares que o trailer deve ter, de modo que a probabilidade de que um cliente
tenha que esperar em pé, seja de no máximo 0,05.
(ii) Qual a probabilidade de que um cliente tenha que esperar mais do 10 minutos na fila para ser
atendido.
05. Um centro que trabalha com pessoas em crise é gerenciado por uma equipe de voluntários treinados
que atendem telefonemas de pessoas depressivas. A experiência mostrou que à medida que o Natal se
aproxima eles devem estar preparados para atender uma demanda crescente que chega a uma taxa de
chamadas de uma a cada 10 minutos. Cada chamada requer aproximadamente 20 minutos de um
atendente para acalmar e convencer a pessoa que ligou a não tomar nenhuma atitude impensada. No
momento o centro está planejando ter 5 atendentes para dar conta da demanda de Natal.
(i) Analise a situação do centro determinando as suas estatísticas básicas1 e verificando se o número
mínimo de atendentes voluntários planejado é suficiente para que o tempo médio, de espera de uma
pessoa em crise que ligou, não supere 15 segundos.
(ii) Qual seria o tempo médio de espera se o centro contar com seis voluntários.
(iii) Se a taxa de chamadas aumentar para uma a cada 8 minutos, qual seria o número mínimo de
atendentes para que o tempo de espera seja inferior a 10 segundos?
06. Um sistema de filas funcionando a contento tem as seguintes características: 2 servidores com uma
taxa de atendimento de 3 clientes por minuto cada um, e uma taxa de chegada de 2 clientes por
1
L, Lq, Ls, W, Wq e Ws
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minuto. Suponha que a taxa de chegada aumenta, de repente, para 4 clientes por minuto. Quantos
servidores devem ser adicionados ao sistema para:
(i) manter o tempo de atendimento gasto no sistema próximo do atual?
(ii) manter o número médio de clientes no sistema próximo do atual?
07. Sabe-se que o tamanho médio de uma fila (dos que estão esperando para serem atendidos) de um
sistema com 2 servidores é de 3 clientes. Sabendo que a taxa de atendimento é de 3 clientes a cada 2
minutos, determinar a probabilidade de um cliente que chega ser imediatamente atendido (isto é, não
precisar esperar na fila).
O Modelo M/M/1/GD/c/∞
01. Uma estação de serviço é formada por um único servidor que pode atender uma média de dois
consumidores por hora. Uma média de três clientes por hora chega solicitando serviço. A capacidade
do sistema é de três clientes.
(i) Na média quantos clientes potenciais entram no sistema por hora?
(ii) Qual a probabilidade de que o servidor esteja ocupado?
02. Uma média de 30 carros por hora tenta utilizar o drive-in do restaurante Mic Rofone. Se um total de
mais do que quatro carros estão na fila (incluindo o carro sendo atendido) um cliente não entrará na
fila. Leva em média quatro minutos para que um cliente seja atendido.
(i) Qual é o número médio de carros esperando para serem atendidos por hora?
(ii) Na média quantos carros serão atendidos por hora?
(iii) Eu recém entrei na fila. Quanto tempo vai levar até receber minha comida?
03. Um lava rápido automático funciona com somente uma baia. Os carros chegam conforme uma
distribuição de Poisson com uma média de 4 carros por hora e podem esperar num estacionamento com
quatro vagas. Se o estacionamento estiver cheio os clientes que chegam desistem e procuram outro
lava rápido. O tempo para lavar e limpar um carro segue uma distribuição exponencial, com uma média
de 10 minutos. O proprietário quer determinar o impacto das vagas limitadas sobre a perda de clientes
para a concorrência. Considerando essa situação, determine:
(i) A probabilidade de que um carro que chega passe imediatamente à baia de lavagem.
(ii) Tempo de espera estimado até o início do serviço.
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(iii) Número esperado de vagas vazias no estacionamento.
(iv) A probabilidade de todas as vagas estarem ocupadas.
(v) A percentagem de redução de tempo médio de serviço que limitará o tempo médio no sistema a
aproximadamente 10 minutos (resolva por tentativa-e-erro).
04. Considere o lava rápido do exemplo anterior. Determine o número de vagas que deve existir no
estacionamento para que o percentual de carros perdidos para a concorrência seja inferior a 1%.
05. A montagem de geradores elétricos na Electro é realizada à taxa de 10 unidades por hora de acordo
com uma distribuição de Poisson. Em seguida, os geradores são transportados por uma esteira rolante
até o departamento de inspeção para um teste final. A esteira pode transportar no máximo sete
geradores. Um sensor eletrônico para automaticamente a esteira quando ela estiver cheia, o que
impede que o departamento de montagem final monte mais unidades até haver espaço disponível. O
tempo para inspecionar os geradores segue uma exponencial, com média de 15 minutos.
(i) Qual é a probabilidade de que o departamento de montagem final parar a produção?
(ii) Qual é o número médio de geradores na esteira transportadora?
(iii) O engenheiro de produção afirma que as interrupções no departamento de montagem poder ser
reduzidas, aumentando a capacidade da esteira. Na verdade, ele afirma que a capacidade pode ser
aumentada até o ponto em que o departamento de montagem poderá trabalhar 95% do tempo sem
interrupção. Essa afirmativa é justificável?
06. Uma lanchonete pode acomodar no máximo 10 pessoas sentadas. Os clientes chegam de acordo com
uma Poisson com uma taxa de 15 por hora e são atendidos (um de cada vez) à taxa de 12 por hora. Os
que não conseguem lugar vão procurar outro estabelecimento.
(a) Qual é a probabilidade de que um cliente não consiga sentar na lanchonete porque ela está cheia?
(b) Suponha que três amigos querem comer na lanchonete, mas só irão fazê-lo se todos puderem ser
acomodados. Qual é a probabilidade de que isto aconteça.
(c) Qual a probabilidade de a lanchonete estar com apenas metade da sua capacidade.
(d) Determine o número médio e o desvio padrão do número de clientes na lanchonete.
(e) Qual é o número esperado de lugares vagos na lanchonete?
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Teoria das filas
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07. Um serviço de engraxar sapatos em um aeroporto tem duas cadeiras e um único atendente. Um cliente
que chega e encontra uma cadeira livre e o atendente ocupado senta e espera pelo serviço. Os clientes
potenciais que encontram as duas cadeiras ocupadas procuram outro serviço ou desistem. Supondo que
a chegada dos clientes é de acordo a um processo de Poisson com uma taxa de 10 clientes por hora e
que o tempo necessário para engraxar um sapato é exponencialmente distribuído com média de 5
minutos, determine:
(i) O percentual de tempo que o atendente está ocupado e o número médio de clientes atendidos em um
dia de 8 horas de trabalho.
(ii) Qual o percentual de clientes que conseguem engraxar seus sapatos?
O Modelo M/M/R/GD/K/K
01. Uma pequena companhia de transporte rodoviário possui uma frota homogênea, tanto na capacidade de
transporte quanto na vida útil de seus oito caminhões. Observou-se que os caminhões quebram segundo
uma distribuição exponencial de média igual a 15 dias, devendo entrar em manutenção. Existe uma
única oficina para esse fim cuja equipe de 2 mecânicos gasta no conserto de cada veículo um tempo
exponencialmente distribuído com média de 4,5 dias. (i) Analise a eficiência da oficina, calculando as
suas características operacionais, entre elas a ociosidade dos mecânicos e o número médio de
caminhões operando. (ii) Cada caminhão fatura, em média, R$ 200,00 por dia líquido. Assim cada
caminhão parado pode ser entendido como um prejuízo diário desse valor. Determine se seria
conveniente contratar mais um mecânico com um salário mensal de R$2375,00 mais 60% de encargos
sociais. (iii) Até quanto seria viável pagar a um novo mecânico se for considerado os encargos sociais.
02. Um grupo de 5 máquinas é utilizado para realizar tarefas em uma fábrica. Cada máquina quebra
segundo um processo de Poisson de taxa de duas vezes a hora. As máquinas quebradas são consertadas
por três funcionários que realizam o conserto em tempos exponencialmente distribuídos com média de
45 minutos. (i) Avalie o funcionamento desse grupo de máquinas. (ii) Se a probabilidade de todas as
máquinas estarem quebradas a um mesmo tempo for superior a 10% então será necessário contratar
um novo mecânico. Justifique se isso é necessário, nessa situação. (iii) Faça um diagrama da
distribuição de probabilidade do número de máquinas operando e determine o número mediano de
máquinas operando. (iv) Determine o desvio padrão do número de máquinas em operação.
03. A Toolco opera uma oficina de usinagem com um total de 22 máquinas. Sabe-se que cada máquina
quebra uma vez a cada duas horas, em média. O conserto demora 12 minutos, em média. Tanto o tempo
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Teoria das filas
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entre quebras quanto o de conserto seguem uma exponencial. A Toolco quer determinar o número
ótimo de mecânicos de manutenção necessários para manter a oficina em funcionamento
confortavelmente. Analise a situação com uma investigação sobre a produtividade das máquinas em
função do número de mecânicos de manutenção. Tal medida é definida como:
Produtividade das máquinas = (Máq. disponíveis – Máq. quebradas)/Máq. Disponíveis.
Faça um gráfico da produtividade das máquinas com valores do número de mecânicos variando no
intervalo de 1 a 8. Qual seria a sua recomendação para a direção da empresa sobre o número ótimo de
mecânicos. Considere para isso o valor que proporciona
o maior aumento na produtividade das
máquinas.
04. Um operador cuida de 5 máquinas. Após cada tarefa a máquina deve ser reajustada antes de iniciar a
próxima. O tempo para processar uma tarefa se distribui de acordo com uma exponencial com média de
45 minutos. O tempo de preparação para a próxima tarefa segue uma exponencial com média de 8
minutos. (a) Determine o número médio de máquinas que estão esperando ajuste ou sendo ajustadas.
(b) Calcule a probabilidade de todas as máquinas estarem funcionando. (c) Determine o tempo médio de
paralisação de uma máquina. (d) Determine a probabilidade de o mecânico estar ocupado.
05. Considere um cassino com 20 máquinas “caça-níqueis” que concedem prêmios segundo um processo de
Poisson de taxa de dois prêmios por hora. Cada vez que uma máquina concede um prêmio, fica travada
até que um atendente a coloque em funcionamento novamente. Existe no cassino um único atendente
para realizar esse serviço em um tempo exponencialmente distribuído com média de 2 minutos.
Determine: (a) a probabilidade de existirem mais do que 5 caça-níqueis travados em um dado instante
e (b) o número médio de caça-níqueis travados em um dado instante. (c) o tempo médio que um caçaníquel fica fora de serviço. (d) Determine o desvio padrão do número de caça-níqueis fora de serviço.
06. Suponha que um mecânico tem a responsabilidade de manter 3 máquinas. Para cada máquina, a
probabilidade de quebra é uma exponencial com média de 7,5 horas. O tempo de conserto é também
exponencial com média de 4,5 horas. (i) Determine o número esperado de máquinas que não estão
funcionando e a probabilidade de todas as máquinas estarem (a) funcionando (b) quebradas. (ii) Como
uma aproximação grosseira, pode ser assumido que a população de máquinas é infinita e que o processo
de quebra é uma Poisson com taxa de chegada de 3 a cada nove horas. Compare o resultado da parte (i)
com aquele que é obtido assumindo que temos um modelo (a) M/M/1 e (b) M/M/1/3
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Teoria das filas
Primeiro semestre de 2012
FORMULÁRIO DE TEORIA DAS FILAS (QUEUEING THEORY)
Na notação de Kendall uma fila é descrita por: A/B/C/Z/K/m
Ou mais resumidamente por A/B/C, onde é assumido que Z = FIFO, K = ∞ e m = ∞.
Valores de As mais comuns.
M: são iid tendo uma distribuição exponencial;
G: são iid tendo uma distribuição genérica;
D: são iid e determinísticos;
Ek: são iid com distribuição de Erlang de parâmetro k.
Valores de B mais comuns.
M: são iid tendo uma distribuição exponencial;
G: são iid tendo uma distribuição genérica;
D: são iid e determinísticos;
Ek: são iid com distribuição de Erlang de parâmetro k.
A terceira característica (C) representa o número de servidores que atuam em paralelo.
A quarta característica (Z) representa a disciplina da fila. As mais comuns são:
FIFO = First In, First Out ou FCFS = First Come, First Served;
LIFO = Last In, First Out ou LCFS = Last Come, First Served;
SIRO = Service In Random Order;
GD = Disciplina Genérica. Obs.: Z será omitido quando a disciplina for FIFO.
A quinta característica (K) é o número máximo de clientes permitidos no sistema. O número de
clientes inclui os que estão na fila e os em atendimento. Obs. K é omitido quando for infinito.
A sexta característica (m) é o tamanho da população ou fonte do sistema. A menos que o número
de clientes seja o mesmo que o de servidores a população é considerada infinita. A notação utilizada na
teoria das filas é variada, mas em geral, as seguintes são comuns:
λ = número médio de clientes que entram no sistema por unidade de tempo;
µ = número médio de clientes atendidos (que saem do sistema) por unidade de tempo;
R = Servidores (mecânicos) no sistema;
K = número de máquinas ou aparelhos no sistema;
L = número médio de clientes no sistema;
Lq = número médio de clientes na fila;
Ls = número médio de clientes sendo atendidos;
W = tempo médio que o cliente fica no sistema;
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Teoria das filas
Primeiro semestre de 2012
Wq = tempo médio que o cliente fica na fila;
Ws = tempo médio que um cliente leva para ser atendido;
W(t) = a probabilidade de que um cliente fique mais do que um tempo t no sistema;
Wq(t) = FDA do tempo de espera na fila;
wq(t) = fdp do tempo de espera na fila;
W(t) = FDA do tempo de permanência no sistema;
Tq = tempo gasto na fila e T = tempo gasto no sistema.
Assim se um sistema de filas está em estado estacionário, tem-se: (Leis de Little)
L = λW
Lq =λWq
Ls = λWs
Representando por pk a probabilidade de que o sistema contenha k membros (ou esteja no estado
∞
Ek ) em um momento t futuro, tem-se: ∑ pk = 1 .
k =0
Para que o sistema esteja em equilíbrio é necessário que em algum momento que o fluxo quede
Entrada, dado por: Ek = λk-1pk-1 + µk+1pk+1 seja igual ao Fluxo de Saída: Ek = (λk + µk)pk. Em equilíbrio os dois
fluxos devem ser iguais e então: λk-1pk-1 + µk+1pk+1 = (λk + µk)pk
λ
λ λ ... λk −1
p
A solução dessa equação fornece: p1 = 0 p0 e pk = 0 1
µ1
µ1 µ2 ... µk 0
k −1
λi
(Equação básica da TF) e p0 =
µ
i=0 i+1
Então: pk = p0 ∏
1
∞ k −1
1+ ∑ ∏
λi
k =1 i= 0 µi+1
Condição de estabilidade: ρ =
 ∞  λ k 
p0 = 1 + ∑   
 k =1  µ  


−1
λ
< 1 ou Condição de Ergodicidade: λ < µ.
µ
k
λ
e pk = p0   para k > 0
µ
Distribuição de Poisson
f(x) = P(X = x) =
e−λ λ x
para x = 0. 1, 2, ... µ = E(X) = σ2 = V(X) = λ
x!
Distribuição Exponencial
α. e αt
f( t ) = 
0
µ = E(X) = 1/α
se t ≥ 0
se t < 0
e
e
se t < 0
0
F( t ) = 
α
t
se t ≥ 0
1 - e
σ2 = V(X) = 1/α2. Portanto σ = 1/α.
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Teoria das filas
Primeiro semestre de 2012
Sistema M/M/1/GD/∞
∞/∞
∞
ρ=
L =N =
λ
µ
p0 = 1 −
ρ
λ
=
1−ρ µ−λ
W=
Lq =
λ
µ
Pk = ρk (1 − ρ)
ρ2
λ2
=
1 − ρ µ(µ − λ)
Ls = ρ
Lq
λ
Wq =
=
µ(µ − λ)
λ
1
µ−λ
ρ
σN =
1−ρ
Ws =
1
µ
P(T > t) = e-µ(1- ρ)t
P(N ≥ k) = ρk
P(Tq > t) = ρe-(µ – λ)t
O sistema M/M/s/GD/∞/∞
λ
ρ=
sµ
L = Lq +
Wq =
Lq
λ
=
λ
µ
s−1(sρ) i
(sρ) s 
P0 =  ∑
+

s ! (1 − ρ) 
i=0 i!
Lq =
P( j ≥ s)ρ
Ws =
sµ − λ
S −1
S −2
1
p0 +
p +
p ... + pS−1
S 1
S 2
S
W(t ) = e
Ls =
1−ρ
P( j ≥ s)



−µt 1 +
−1
pj =
pj =
λ
µ
1
µ
(sρ)s p0 [1 − e−µt (s −1−sρ)] 

s! (1 − ρ)(s − 1 − sρ) 

( sρ) j p0
j!
(sρ) j P0
s! s j− s
W=
j = 1, 2, ..., s
j = s, s + 1, s + 2, ...
L P( j ≥ s) 1
=
+
λ
sµ − λ
µ
P( j ≥ s) =
Wq (t) =
( sρ) s P0
s! (1 − ρ)
(sρ)s p0
s! (1 − ρ)
e−sµt (1−ρ)
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Teoria das filas
Primeiro semestre de 2012
Sistema M/M/1/GD/c/∞
λC = λ(1 – pC)
ρS = λCWS
L=
ρ[1 − (c + 1) ρc + c ρc + 1]
(1 − ρc + 1)(1 − ρ)
W=
L
λ(1 − pc)
Se λ = µ
p0 =
1−ρ
p j = ρ j p0
1 − ρc +1
Ls = 1 − p0
Lq = L − Ls
Wq =
Lq
Ws =
λ(1 − pc)
pj =
L = c/2
L − Lq
λ(1 − pc)
1
c+1
=
1
µ
j = 0, 1, ..., c
Sistema M/M/R/GD/K/K (Oficina de Manutenção)
µ j = jµ se j = 0,1, .., R
µ j = Rµ se j = R + 1, R + 2, ..., K

K  j 
  ρ j! 

K
R K
1 K j 
j


L = ∑ j p j = p0 ∑ j  ρ +
∑ j
j−R 

j
R!
R
j =0
j =0  
j=R + 1




K
L q = ∑ ( j − R) pj
j=R
p0 +
R −1
R−2
1
p1 +
p2 ... + pR −1
R
R
R
−1
λ = λ(K − L)

K j
  j!ρ 

R K
K  j 

j

P0 =  ∑   ρ + ∑
j−R 
j =0  j 
j= R +1 R! R




Ls = L − Lq
k  j
P j =   ρ p0 se j = 0 ,1, .., R
j 
L
L
W= =
λ λ(K − L )
k  j
  ρ j! p0
j 
 
=
se j = R + 1, R + 2, ..., K
Pj
R! R j−R
Wq =
Lq
λ
=
Lq
λ(K − L )
Ws =
Ls
LS
=
λ λ(K − L )
Obs. O valor ρ é denominado de taxa de ocupação do sistema.
Prof. Lorí Viali, Dr. - http://www.pucrs.br/famat/viali/ - Especialização em Engenharia