Curso: Engenharia de Produção
Vamos
admitir
que
o
tempo
de
atendimento (tempo de serviço) de clientes
diferentes
são
variáveis
aleatórias
independentes e que o atendimento de cada
consumidor é dado por uma variável S tendo
função densidade s(t).
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Por esse motivo µ será denominada de taxa
Vamos denominar 1/µ o tempo médio de
de serviço. Por exemplo µ = 5, significa que se
atendimento de um cliente. Tem-se, então que:
1 ∞
= ∫ ts( t )dt
µ 0
A variável 1/µ será medida em horas por
sempre existirem clientes, o atendente poderá
atender a 5 clientes por hora, em média, e o
tempo médio de serviço (atendimento) para
cliente, de modo que µ será medida em
cada consumidor será de 1/5 hora.
clientes por hora.
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Na notação de Kendall, uma fila é descrita
por:
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David George Kendall (1918
-
2007)
estatístico
britânico
professor das universidades de
A/B/C/Z/K/m
Ou mais resumidamente por A/B/C, onde
é assumido que Z = FIFO, K = ∞, m = ∞.
Oxford e Cambridge. Foi um dos
maiores
especialistas
Probabilidade
e
Análise
em
de
Dados.
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Valores de A mais comuns.
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Valores de B mais comuns.
Os tempos de serviço:
Os tempos entre chegadas:
M: são iid tendo uma distribuição exponencial;
M: são iid tendo uma distribuição exponencial;
G: são iid tendo uma distribuição genérica;
G: são iid tendo uma distribuição genérica;
D: são iid e determinísticos;
D: são iid e determinísticos;
Er,k: são iid com distribuição de Erlang de
Er,k: são iid com distribuição de Erlang de
parâmetros: r e k.
parâmetros: r e k.
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A/B/C/Z/K/m
A/B/C/Z/K/m
Z será omitido quando
Número de
servidores
A terceira característica (C) representa o
número de servidores que atuam em
paralelo.
Disciplina
do serviço.
FIFO = First In, First Out ou FCFS = First Come, First Served;
LIFO = Last In, First Out ou LCFS = Last Come, First Served;
SIRO = Service In Random Order;
GD = Disciplina Genérica.
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A/B/C/Z/K/m
K
Número máximo de
clientes no sistema.
a disciplina for FIFO.
é
quando for infinito.
O número de clientes incluem os que
estão na fila e os em atendimento.
m é omitido
omitido
Tamanho da
população.
quando for infinito.
A menos que o número de clientes seja
o mesmo que o de servidores a população é
considerada infinita.
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A notação utilizada na teoria das filas é
variada mas, em geral, as seguintes são comuns:
λ = número médio de clientes que entram
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Lq = número médio de clientes na fila;
Ls = número médio de clientes sendo atendidos;
W = tempo médio que o cliente fica no sistema;
Wq = tempo médio que o cliente fica na fila;
no sistema por unidade de tempo;
µ = número médio de clientes atendidos
(que saem do sistema) por unidade de tempo;
L = número médio de clientes no sistema;
Ws = tempo médio que um cliente leva para ser
atendido.
Nt = Número de clientes no sistema em t.
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Wq(t) = FDA do tempo de espera na fila;
wq(t) = fdp to tempo de espera na fila;
W(t) = FDA do tempo de permanência no
sistema;
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Um dos objetivos do estudo das filas é
determinar o tempo que um cliente fica no
sistema.
Assim se um sistema de filas está em estado
estacionário, tem-se (Leis de Little):
T = tempo gasto no sistema.
L = λW
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Lq =λ
λWq
L s = λ Ws
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David John Dutton Conant
Lembrar que L é espresso em termos de
Little (1928 - ) graduado em
número de clientes, λ é expresso em termos de
Física pelo MIT, em 1948, Foi o
clientes por hora e W é expresso em horas.
primeiro doutor em PO, obtendo
Assim λW tem a mesma unidade (clientes) de L.
o título em 1955. É professor do
MIT
desde
1962,
tendo
trabalhado anteriormente na GE.
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As três equações anteriores são válidas para
qualquer sistema de filas.
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Representando por pk a probabilidade de
que o sistema contenha k membros (ou esteja
no estado Ek ) em um momento t futuro, tem∞
se:
∑ pk = 1
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Fluxo de Entrada:
Ek = λk-1pk-1 + µk+1pk+1
Fluxo de Saída:
Ek = (λ
λk + µk)pk
k=0
Para que o sistema esteja em equilíbrio é
necessário que em algum momento:
Em equilíbrio os dois fluxos devem ser
iguais e então:
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k −1
λk-1pk-1 + µk+1pk+1 = (λ
λk + µk)pk
pk = p0 ∏
i =0
λi
µ i +1
p0 =
e
p1 =
Para
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k = 0 i =0
λi
µ i +1
e
de
a
existência
estados
das
estacionários
(steady-state) pk define-se:
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∞ k −1
para k = 0, 1, 2, ... é a
estudar
probabilidades
λ 0 λ 1 ... λ k −1
p
µ 1 µ 2 ... µ k 0
S1 = ∑ ∏
A relação pk
λi
µi + 1
principal equação da teoria das filas.
λ0
p
µ0 0
Então:
pk =
1+ ∑ ∏
k = 1 i =0
A solução dessa equação pode ser obtida
considerando inicialmente k = 0, que leva a:
1
∞ k −1
∞  
k −1 λ 
i 
S 2 = ∑ 1 / λ k ∏

k =0  
i = 0 µi + 1 
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É o caso Ergódico (S1 < ∞ e S2
→
∞) que
fornece probabilidades de equilíbrio pk e esse é
Diz-se, então, que um processo será:
o que interessa estudar. Pode-se notar que a
Ergódico se: S1 < ∞ e S2 → ∞;
condição de Ergodicidade é satisfeita sempre
Recorrente Nulo se: S1 → ∞ e S2 → ∞;
que a seqüência λk/µ
µk é menor do que a unidade
Transiente se: S1 → ∞ e S2 < ∞;
para algum k em diante, isto é, se existe algum
k0 tal que para k ≥ k0 tem-se: λk/µ
µk < 1.
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Lembrar que um sistema M/M/1/GD/∞/∞
tem um tempo de inter chegadas exponencial (a
taxa de chegadas por unidade de tempo é λκ = λ
para k = 0, 1, 2 …) e um único servidor com
tempo de atendimento também exponencial (a
taxa de atendimento será assumida como sendo
µκ = µ para k = 0, 1, 2, …).
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Assim:
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∞
pk
k =0
p0
S1 = ∑
k −1 λ
λ
λi
pk = p0 ∏
= p0 ∏
= p 0  
i =0 µ i +1
i =0 µ
µ
k −1
k
para k ≥ 0
A condição para que o sistema seja
ergódico (e assim tenha uma solução de
equilíbrio pk > 0) é que S1 < ∞ e S2
→
∞. Nesse
∞ λ
= ∑ 
k=0  µ
Essa série irá convergir se e somente se
(λ
λ/µ
µ) < 1 ou λ < µ.
A segunda condição de Ergodicidade
torna-se:
∞
1
k=0
λ(pk p0 )
S2 = ∑
caso a primeira condição, torna-se:
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k

 < ∞

∞
= ∑
k =0
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Esta condição será satisfeita se (λ
λ/µ
µ) < 1,
assim a condição necessária e suficiente de
ergodicidade do sistema M/M/1 é que λ < µ.
Para resolver as equações em relação a p0
partimos de:
p0 =
1
∞ k −1
1+ ∑ ∏
k =1 i=0
λi
µi +1
=
1
∞ λ
1 + ∑  
k =1  µ 
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1  µ k
  =∞
λλ
k
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Essa soma converge se λ < µ e então:
p0 =
1+
1
λ
= 1−
λµ
µ
1−λ µ
Fazendo λ/µ = ρ segue que:
pk = (1 – ρ) ρk para k = 0, 1, 2, .... Assim o
número de usuários no sistema segue uma
distribuição geométrica de parâmetro 1 – ρ.
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Uma medida básica de um sistema de filas
é o número esperado de clientes no sistema
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De forma similar pode-se determinar a
variância σ2N e o desvio padrão σN do número
de clientes no sistema que é dado por:
que é dado por:
∞
ρ
E(N ) = L = ∑ k pk = (1 − ρ) ∑ k ρk =
k=0
k =0
1−ρ
∞
∞
2
σ2N = ∑ pk ( k − N ) =
k =0
( 1− ρ)2
Assim o desvio padrão é dado por:
σN =
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ρ
ρ
1−ρ
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Define-se ρ = λ/µ como a intensidade de
trânsito de um sistema de filas ou fator de
utilização ou ainda taxa de utilização do
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Assim, por exemplo, se λ = 6 clientes por
hora e µ = 4 clientes por hora. Se o servidor
trabalhar todo o tempo ele só poderá atender
sistema.
Para o sistema atingir um estado estacionário
em média a 4 pessoas por hora. Assim o
é necessário que 0 ≤ ρ < 1. Se ρ ≥ 1 é fácil de ver
número médio de clientes por hora irá
que o estado estacionário não será alcançado.
aumentar de 6 – 4 = 2 clientes por hora.
Quando ρ = 1, o sistema torna-se instável.
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Dessa forma a fila aumentaria sem limites
e não existe uma distribuição do estado
estacionário. Se ρ = 1, então a não existência
de um estado estacionário não é óbvia, mas a
uma análise mais aprofundada indica que ele
não existe.
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Derivação de L
De agora em diante será assumido que
ρ < 1, assegurando que a distribuição de
probabilidade
do
estado
estacionário
pk = ρk(1 - ρ) existe. Assumindo que o estado
estacionário tenha sido alcançado, o número
médio de consumidores no sistema é dado por:
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∞
∞
∞
S - ρS = ρ + ρ2 + ρ3 + ... = ρ/(1 – ρ)
k =0
k =0
j= 0
Assim: S = ρ/(1 – ρ)2 = V(N)
L = ∑ k pk = ∑ k ρk (1 − ρ) = (1 − ρ) ∑ k ρk
Definindo:
Então L = (1 – ρ)S = (1 – ρ)[ρ
ρ/(1 – ρ)2]
∞
S = ∑ k ρk = ρ + 2 ρ2 + 3 ρ3 + ...
L = ρ/(1 – ρ) = (λ
λ/µ
µ)/[1 – (λ
λ/µ
µ)] = λ/(µ
µ – λ)
k =0
Portanto: L = λ/(µ
µ – λ) = número médio de
Tem-se: ρS = ρ2 + 2ρ
ρ3 + 3ρ
ρ4 + ...
clientes no sistema.
Subtraindo ρS de S vem:
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Se k pessoas estiverem no sistema (k ≥ 1),
Derivação de Lq
Em algumas situações existe interesse em
saber o número médio de pessoas esperando
então k – 1 estarão esperando na fila. Assim se
o sistema estiver em estado estacionário:
∞
∞
∞
k =1
k =1
k =1
L q = ∑ ( k − 1) pk = ∑ k pk − ∑ pk
na fila. Esse valor será representado por Lq.
Note que nenhum ou apenas um cliente estiver
Assim Lq = L – (1 – p0) = L – ρ
no sistema então ninguém estará esperando na
Lq = ρ2/(1 – ρ) = λ2/µ
µ(µ
µ – λ)
fila.
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Então: Lq = λ2/µ
µ(µ
µ – λ)
Utilizando
esses
resultados
O valor de Ls é também de interesse, isto
mais
o
Teorema um podemos determinar outras
relações:
Tem-se: L = ρ/(1
ρ/(1 – ρ) e L = λW. Assim
W = L/λ
λ, então W = 1/(µ
µ – λ)
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é,
o
número médio de clientes
sendo
atendidos:
Ls = 1 – p0 = 1 – ( 1- ρ) = ρ
ρ) – ρ =
Assim Lq = L – Ls = ρ/(1ρ/(
= ρ2/(1 – ρ)
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Curso: Engenharia de Produção
Curso: Engenharia de Produção
Também Lq = λ2/[µ
µ(µ
µ – λ)] e Wq = Lq /λ,
λ,
Outro
então: Wq = λ/[µ
µ(µ
µ – λ)] = ρ/(µ
µ − λ)
Observe que a medida que ρ se aproxima
de 1, tanto W quanto Wq tornam-se muito
grandes. Se ρ se aproxima de zero, W se
resultado
de
interesse
é
a
probabilidade de que exista pelo menos k
clientes no sistema:
∞
∞
i =k
i =k
P( N ≥ k ) = ∑ pi = ∑ (1 − ρ) ρi = ρk
aproxima de zero e Wq se aproxima de 1/µ
µ
que é a taxa média de serviço.
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Pode-se ver assim que a probabilidade
de existirem mais do que k clientes no
sistema é uma função geometricamente
decrescente do número k que decresce
rapidamente.
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Aplicando a lei de Little podemos obter
outra expressão para o tempo médio gasto no
sistema, isto é:
W=T=
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N  ρ  1  1 / µ
  =
=
λ  1 − ρ   λ  1 − ρ
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Função de distribuição
acumulada do
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Tem-se Wq(0) = P(Tq ≤ 0) = P(N = 0) = 1 – ρ
e para t > 0, tem-se:
tempo de espera na fila
∞
Seja
Wq(t)
a
função
de
distribuição
acumulada de Tq = tempo que um usuário espera
Wq ( t ) = ∑ P( k usuários no sistema atendidos até o tempo t)
k =0
Daí segue que:
na fila. Então:
Wq(t) = P(Tq ≤ t).
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Wq(t) = 1 – ρe-(µ – λ)t
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Função densidade do tempo de espera na fila
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Função de distribuição
acumulada
do
tempo de permanência no sistema
w q (t) =
d W q (t)
dt
d[1 − ρ e −( µ −λ ) t]
=
= ρ(µ − λ ) e −(µ − λ ) t
dt
De forma análoga ao caso anterior a função
acumulada do tempo T de permanência no
sistema W(t) é dada por:
Assim wq(t) = ρ(µ – λ)e-(µ – λ)t
µ(1 −ρ)t
W(t) = P(T ≤ t) = 1 – e-µ(1
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Assim,
pode-se
perceber
que
a
VAC
T = tempo gasto no sistema, segue uma
distribuição exponencial de parâmetro µ(1−ρ).
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O valor esperado (média) da variável Tq =
tempo que um usuário espera na fila é :
∞
∞
W q = E( T q ) = ∫0 t w q( t )dt = ∫0 tρ(µ − λ ) e−(µ −λ )t dt =
O valor esperado dessa variável é :
E(T) =
=
1
1
=
µ(1 − ρ ) µ − λ
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λ
ρ
=
µ(µ − λ ) µ − λ
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Probabilidade do tempo de espera na fila ser
maior do que t > 0
P(Tq > t) = 1 – Wq(t) = ρe-µ(1− ρ)t
Probabilidade de que o tempo no sistema seja
maior do que t > 0
µ(1 −ρ)t
P(T > t) = 1 – W(t) = e-µ(1
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O percentil 0 < p < 1 de clientes que irão
esperar no sistema menos do que tp é:
µ(1 −ρ)t = p
P(T ≤ tp) = W(t) = 1 - e-µ(1
Assim o tempo tp tal que a probabilidade do
tempo de espera no sistema seja menor do tp é dado
µ(1
µ( 1 −ρ)t = p ou
por: tp = W(t) = 1 - e-µ(
tp =
1
1
ln(
)
µ (1 − ρ) 1 − p
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O percentil 0 < p < 1 de clientes que irão
tq =
esperar na fila menos do que tp é:
Esta fórmula só é válida se p que for
P(T ≤ tp) = Wq(t) = 1 - ρe-µ(1− ρ)t = p
Assim o tempo tp tal que a probabilidade do
tempo de espera na fila seja menor do tp é
µ(1 −ρ)t = p ou
dado por: tp = Wq(t) = 1 - ρe-µ(1
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1
ρ
ln(
)
µ (1 − ρ) 1 − p
maior do que “1 – ρ”. Todos os postos
percentis abaixo deste valor serão iguais a
zero.
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Um média de 10 carros por hora
chegam a a um drive-thru de um único
funcionário. O atendente leva em média 4
minutos para atender cada cliente. Tanto as
chegadas quanto o atendimento seguem
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1. Qual é a probabilidade de que o atendente
esteja livre?
2. Qual é o número médio de carros esperando
para ser atendidos (um carro que está sendo
atendido não é contado na fila)?
uma distribuição exponencial.
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3. Qual o tempo médio total que um cliente
gasta para ser servido?
4. Na média, quantos consumidores serão
atendidos no período de uma hora?
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Por hipótese estamos lidando com um
sistema M/M/1 para o qual λ = 10 carros
por hora e µ = 15 carros por hora. Assim
ρ = 10/15 = 2/3.
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1. Tem-se p0 = 1 – ρ = 1 – 2/3 = 1/3. Assim o
atendente estará livre 1/3 do tempo.
2. Lq = ρ2/(1 – ρ) = (2/3)2/[1 – (2/3)] = 4/3 =
1,33 carros.
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4. Se o atendente estivesse sempre ocupado
ele atenderia uma média de µ = 15
consumidores por hora. Como ele está
ocupado apenas 2/3 do tempo então ele
3. W = L/λ. Tem-se L = ρ/(1 – ρ) =
atenderá (2/3)15 = 10 consumidores.
= (2/3)/[1 – (2/3)] = 2 consumidores. Assim
W = 2/10 = 0,2 horas = 12 minutos.
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GRIMMETT, G. R., SITRZAKER, D. R.
Probability and Random Processes. Oxford
(London): Oxford University Press, 1991.
KLEINROCK, Leonard. Queueing Systems: v. 1:
Theory. New York: John Wiley, 1975.
WISTON, Wayne L.
Operations Research:
Applications and Algorithms. 3 ed. Belmont
(CA): Duxbury Press, 1994.
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