Fractais
Os fractais são conjuntos cuja forma é extremamente
irregular ou fragmentada: e que têm essencialmente a
mesma estrutura em todas as escalas.
A origem do termo fractal, introduzido por Mandelbrot, está
no radical fractus, proveniente do verbo latino frangere,
que quer dizer quebrar, produzir pedaços irregulares;
vem da mesma raiz a palavra fragmentar, em português.
Fractais: características
As principais propriedades que caracterizam e que permitem definir os
conjuntos fractais são as seguintes:
1) a auto-similaridade, que pode ser exata ou estatística, ou seja, o
sistema é invariante (mantém a mesma forma e estrutura) sob uma
transformação de escala (transformação que reduz ou amplia o
objeto ou parte dele);
2) a extrema 'irregularidade' no sentido de rugosidade (não-suavidade)
ou fragmentação;
3) possuir, em geral, uma dimensão fractal não-inteira. A dimensão
fractal, como veremos adiante, quantifica, de certo modo, o grau
de irregularidade ou fragmentação do conjunto considerado.
Fractais – existem?
Mas existem objetos ou estruturas naturais que são fractais?
Os fractais são conjuntos definidos por certas propriedades
matemáticas e, portanto, têm legitimidade como um conceito
matemático coerentemente definido e correlacionado com outros.
Mas o que se nota é que muitas estruturas ou processos naturais têm
propriedades similares às dos fractais, em particular a simetria de
escala, e que podem, portanto, ser descritos por eles, pelo menos
em determinados domínios.
Não custa lembrar também o ponto de vista otimista, expresso por,
entre outros, Pascal e Dirac, para os quais os produtos da nossa
imaginação (equações, por exemplo), quando dotados de beleza
matemática, sempre encontrarão algum uso na modelagem física
da natureza.
Dimensão Fractal
Duas idéias próximas, mas diversas, estão ligadas ao
termo dimensão usualmente empregado:
1) o número de informações (no caso, dadas pelas
coordenadas) necessárias para se localizar um ponto
no espaço: falamos que o espaço possui três
dimensões. Após a teoria da relatividade, a idéia de um
espaço quadridimensional se firmou na física, com a
introdução também da dimensão temporal para a
caracterização de um evento que ocorre no espaçotempo;
2) a noção de medida de comprimento. Assim, dizemos,
por exemplo, que a dimensão de um objeto é 50cm.
Dimensão fractal
Dimensão topológica, relacionada à primeira idéia, foi discutida por
Poincaré em 1911 e por Brouwer, em 1913:
Um contínuo tem n dimensões quando podemos dividi-lo por meio de
cortes que sejam eles próprios contínuos de (n-1) dimensões.
Considera-se que o ponto possui dimensão zero. Por essa definição, a
reta terá dimensão 1 (porque pode ser separada por um ponto), o
plano terá dimensão 2 (porque pode ser separado por uma reta), o
espaço usual terá três dimensões (porque pode ser separado por
um plano: as paredes de uma casa, por exemplo), e assim,
sucessivamente, podemos imaginar conjuntos contínuos com um
número crescente de dimensões.
Dimensão fractal
Considerando o aspecto métrico ligado à noção de dimensão, temos a
capacidade, definida por Kolmogorov, que mede o quanto o
conjunto ou objeto considerado preenche o espaço em que está
imerso. Por ser, talvez, a definição de dimensão mais simples que
permite caracterizar os fractais, é usualmente chamada de
dimensão fractal. Essa definição de capacidade é bastante próxima
da noção de dimensão introduzida por Hausdorff, em 1919.
Existem vários outros tipos de dimensões métricas utilizadas para
caracterizar os graus de 'fractalidade' de um conjunto.
A definição da capacidade dcap de um conjunto é a seguinte:
dcap = lim ε→∞[] [ log N(ε) / log (1/ε) ]
onde N(ε) é o número mínimo de cubos elementares necessários para
cobrir o conjunto considerado e ε é a dimensão linear do cubo
elementar.
Dimensão fractal: Conjunto de
Cantor
É um conjunto construído da
seguinte maneira: tomamos um
segmento de reta e o partimos
em três segmentos iguais. Em
seguida,
o
pedaço
intermediário é retirado. Os
dois segmentos restantes são
de novo repartidos em três
segmentos
iguais
e
os
segmentos intermediários são
retirados. O processo de
repartir os segmentos e de
retirar o pedaço intermediário
prossegue ad infinitum. O
Conjunto de Cantor é o
conjunto de pontos restantes,
após infinitas operações terem
sido realizadas.
Dimensão Fractal:
Conjunto de Cantor
A capacidade, ou dimensão fractal, desse conjunto, é:
dcap = log(2)/log(3) ≈ 0,6.
Isto porque, em cada etapa do processo de construção do
conjunto,
utilizamos
dois
segmentos
(cubos
elementares) para cobrir a figura, sendo que cada
segmento elementar tinha comprimento de 1/3.
Observe-se que esse conjunto tem comprimento zero,
porque, a cada etapa do processo, seu comprimento é
reduzido por um fator 2/3. Logo, seu comprimento, no
limite em que n → ∞, será L = (2/3)n → 0.
Dimensão fractal: Conjunto de
Koch
Em vez de retirarmos o pedaço
intermediário do segmento inicial,
nós o substituímos por mais dois
segmentos iguais, como indicado.
A dimensão fractal desse conjunto
será dada por
dcap= log(4)/log(3) ≈ 1,26.
O comprimento desse conjunto
tende para infinito, valendo em
cada etapa do processo de
construção (4/3)n.
Dimensão fractal
Pelo uso da definição de
capacidade, que a dimensão
fractal de uma reta  1,
a do plano  2 e
a do espaço  3,
coincidentes com a dimensão
topológica.
A figura exibe um fractal,
chamado de esponja de
Menger, que tem dimensão
fractal maior que 2:
dcap = log 19/ log 3 ≈ 2,727
Dimensão fractal x dimensão
topológica
As dimensões fractais muitas vezes não são números inteiros.
Isso ocorre em aparente contradição com nossa 'intuição', que
espera que os objetos tenham dimensão inteira n = 1, 2, 3,
etc.; a dimensão topológica, por sua definição exposta acima,
satisfaz essa propriedade 'intuitiva'.
A dimensão (capacidade) dos conjuntos fractais é maior ou igual
à sua dimensão topológica.
Uma dimensão não-inteira pode fornecer informações
interessantes sobre o grau de 'fractalidade' e de ocupação,
pela estrutura analisada, do espaço no qual está imersa.
Exemplo:
linha costeira de um país
Um exemplo concreto bem simples: a medida do comprimento da linha
costeira de um país.
Richardson chamou a atenção, em 1961, para o fato de que esse
comprimento não é uma quantidade bem definida como em geral se
imagina: seu valor depende do comprimento da 'régua' (unidade de
medida) que é escolhida para medi-la. Assim, se tomamos unidades
de medida cada vez menores (primeiro 10km, depois 1 km, em
seguida 100m, e assim sucessivamente), o comprimento da linha
costeira, em função de suas inúmeras reentrâncias, cresce
proporcionalmente na medida em que ε (comprimento da 'régua'
utilizada) decresce:
L(ε) ~ ε1-d, onde d é a dimensão fractal.
Esse tipo de dependência de uma quantidade, no caso L, em relação a
outra, ε neste caso, é chamada de lei de potência.
Dimensão fractal
de objetos naturais
• O procedimento básico é o seguinte: divide-se a área (ou volume)
do conjunto analisado em um certo número de caixas (cubos
elementares) iguais. Desenha-se o gráfico do logaritmo de N
(número de caixas ocupadas) em função do logaritmo de (1/ε), onde
ε é a dimensão linear da caixa, em cada etapa. A dimensão fractal
do conjunto é dada pelo valor da inclinação do gráfico.
• Limite inferior: determinado pelo tamanho dos constituintes
elementares do objeto (ou pela precisão das medidas), ou seja,
chega-se a um ponto onde não se pode mais ampliar as partes do
objeto e ainda se obter uma estrutura similar.
• Limite superior: dado pelo tamanho finito do objeto considerado.
Dimensão fractal
de objetos naturais
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Pulmão  ~2,2
Cérebro dos mamíferos  ~2,62
Ramificação de plantas  2 < d < 2,81
Linhas costeiras  1,2 < d < 1,4
Meandros de rios  1 < d < 1,2
Contornos topográficos de montanhas  1,1 < d < 1,3
Objetos fragmentados(granito, carvão, basalto, quartzo
etc.)  2,1 < d < 2,6
• Distribuição de galáxias no Universo~1,2
Aplicação 1: antenas utilizando
a curva fractal de Koch
Referência: Miniaturização de Antenas tipo Patch retangular em
Microfita utilizando a curva fractal de Koch
Elder Eldervitch C. de Oliveira, Paulo H. da F. Silva e Sandro G. da
Silva
III Congresso de Pesquisa e Inovação de Rede Norte Nordeste de
Reducação Tecnológica (2008)
Aplicação 1: antenas utilizando
a curva fractal de Koch
Aplicação 1: antenas utilizando
a curva fractal de Koch
Aplicação 1: antenas utilizando
a curva fractal de Koch
Resultados: antenas utilizando a
curva fractal de Koch
Resultados: antenas utilizando a
curva fractal de Koch
Resultados: antenas utilizando a
curva fractal de Koch
Resultados: antenas utilizando a
curva fractal de Koch
Aplicação 2: Antenas Monopolo de
Sierpinski
Referência: Uma Contribuição ao Estudo de Filtros e Antenas de
Microondas Usando os Fractais de Sierpinski
Tarcílio Cavalcanti, Marcelo Ribeiro, Paulo H. da F. Silva
III Congresso de Pesquisa e Inovação de Rede Norte Nordeste de
Reducação Tecnológica (2008)
Aplicação 2: Antenas Monopolo de
Sierpinski
Resultados: Antenas Monopolo de
Sierpinski
Resultados: Antenas Monopolo de
Sierpinski
Aplicação 3: Auto-similaridade de
uma rede Ethernet
Referências:
1) On the self similarity nature of Ethernet
Will E. Leland, Murad S. Taqqu, Walter Willlinger e Daniel V. Wilson
IEEE/ACM Transactions on Networking, vol. 2, Feb 1994
2) Predição de Tráfego Auto-Similar em Redes de Faixa Larga
Marcelo Menezes de Carvalho
Dissertação de Mestrado da Faculdade de Engenharia Elétrica e de
Computação da Universidade Estadual de Campinas (1998)
(Capítulo 4)
Aplicação 3: Auto-similaridade de
uma rede Ethernet
Análise de um tráfego de rede: dezenas de milhões de pacotes de
Ethernet sem perda e capturados com intervalos temporais de 100 μs.
Os dados foram coletados entre Agosto de 1989 e Fevereiro de 1992 na
rede do “Bellcore Morristown Research and Engineering Center”.
O comportamento desta rede é bem diferente do tráfego telefônico
convencional e dos modelos usualmente considerados para descrever o
tráfego: modelo de Poisson e modelos markovianos de modo geral.
Aplicação 3: Auto-similaridade de
uma rede Ethernet
Aplicação 3: Auto-similaridade de
uma rede Ethernet
O parâmetro utilizado para caracterizar a auto-similaridade
de uma série temporal é o parâmetro de Hurst (H).
A correta estimação deste parâmetro permite uma melhor
caracterização do tráfego, levando a uma alocação mais
racional dos recursos da rede e, consequentemente,
uma maior garantia de QoS para os usuários.
Existem algumas maneiras de se calcular o parâmetro H.
Estaremos vendo duas delas:
1) Método da estatística R/S;
2) Método da Variância Amostral.
Método da Estatística R/S
Método da Estatística R/S
H pode assumir valores entre 0,5 e 1.
Método da Estatística R/S
Tráfego externo. Valor do parâmetro de Hurst  H ≈ 0,8322.
Método da Estatística R/S
Tráfego interno. Valor do parâmetro de Hurst  H ≈ 0,6605.
Método da Variância Amostral
Método da Variância Amostral
Método da Variância Amostral
Método da Variância Amostral