Fractais
I
José Garcia Vivas Miranda
1º Dia
 Era uma vez...
Que são Fractais;
Conceitos;
Fractais e a Natureza;
Monstros Matemáticos;
 Como construir-los;
 Como caracteriza-los;
 Índices Fractais;
Histórico
... final século XIX e inicio do XX, Henrí Poincaré abre um caminho
comum entre o simples (previsível) e o complexo (caótico)...
Dinâmicas simples poderiam gerar formas complexas.
... em paralelo, matemáticos como, Cantor, Peano, Hilbert iniciaram
mudanças profundas nos conceitos de topologia, os “Monstros
matemáticos”...
... Richardson em 1961 se pergunta: “Quanto mede um costa
litorânea”...
(exemplo da fronteira ES-PT).
... 1975 Mandelbrot junta tudo ecunha o termo FRACTAL
TÓPICOS
 Era uma vez...
Que são Fractais;
Conceitos;
Fractais e a Natureza;
Monstros Matemáticos;
 Como construir-los;
 Como caracteriza-los;
 Índices Fractais;
Que são fractais
CONCEITOS
Definições formais:
“Um objeto é considerado fractal quando sua
dimensão de medida é maior que sua
dimensão topológica e menor que sua
dimensão de imersão”
Hausdorff
“Um fractal é uma figura feita de partes
similares ao todo de alguma forma”
Mandelbrot
Que são fractais
Idéia de autosemelhança
Que são fractais
Semelhança entre escalas (autosemelhança)
Cada tipo de árvore tem um padrão de
autosemelhança próprio.
Que são fractais
H=0,9
H=0,5
H=0,1
Autosemelhança em estruturas naturais
3
2
1
0
-1
-2
10
5
0
-5
-10
-15
400
300
200
100
0
-100
600
602
604
606
Tiempo
608
610
Que são fractais
H=0,9
H=0,5
H=0,1
Autosemelhança em estruturas naturais
3
2
1
0
-1
-2
10
5
0
-5
-10
-15
400
300
200
100
0
-100
600
602
604
606
Tiempo
608
610
Fractais e a Natureza
NATUREZA
Fractais e a Natureza
Exemplo de autosemelhança
Fractais e a Natureza
Fractais estão por todas as partes.
Nuvens;
Montanhas;
Árvores;
Pulmões;
Rochas;
Coração;
Chuvas;
Música;
Estrelas;
Passag. do Ferry;
Ruídos;
etc..
Fractais e a Natureza
Porque a Natureza escolheu esta
forma de estruturar-se ?
Para responder temos que conhecer os
Monstros Matemáticos.
TÓPICOS
 Era uma vez...
Que são Fractais;
Conceitos;
Fractais e a Natureza;
Monstros Matemáticos;
 Como construir-los;
 Como caracteriza-los;
 Índices Fractais;
Monstros Matemáticos
 O Conjunto de Cantor
Monstros Matemáticos
A Curva de Koch
Monstros Matemáticos
A Curva de Peano
Monstros Matemáticos
COMO CONSTRUIR

Técnica da substituição de strings.
‘F’ == Passo a frente
‘+’ == Gira a direita de um ângulo A
‘-’ == Gira a esquerda de um ângulo A
Exemplo da curva de Koch
F
Gerador
(F – F ++ F – F)
‘F’  “F-F++F-F”
Ângulo de 60º.
(F-F++F-F)- (F-F++F-F)++ (F-F++F-F)- (F-F++F-F)
...
Monstros Matemáticos
COMO CONSTRUIR

Técnica da substituição de strings.
F
++
F
F
-
F
FractalStr
-
F
Monstros Matemáticos

‘F’
‘+’
‘-’
‘X’
‘Y’
==
==
==
==
==
COMO CONSTRUIR
Técnica da substituição de strings
parte II
(Os fantasmas)
Passo a frente
Gira a direita de um ângulo A
Gira a esquerda de um ângulo A
Não faz nada
Exemplo do dragão
Não faz nada
Gerador
‘F’  ‘F’
‘X’  “X+YF+”
‘Y’  “-FX-Y”
Ângulo de 90º.
FX
F X + Y F +
F (X + Y F +) + (- F X - Y) F +
...
Monstros Matemáticos

COMO CONSTRUIR
Técnica da substituição de strings
parte II
(Os fantasmas)
FractalStr
Exemplo do dragão
Monstros Matemáticos

‘F’
‘+’
‘-’
‘X’
‘Y’
‘[‘
‘]‘
COMO CONSTRUIR
Técnica da substituição de strings
parte III
(As Arvores)
Exemplo da Arvore
== Passo a frente
== Gira a direita de um ângulo A
Gerador
== Gira a esquerda de um ângulo A ‘F’  “FF-[-F+F+F+F]+[+F-F-F]
== Não faz nada
Ângulo de 22º.
== Não faz nada
== Salva posição corrente.
== Recupera posição corrente.
Monstros Matemáticos
COMO CONSTRUIR
Exemplo da Arvore
FractalStr
Monstros Matemáticos
COMO CONSTRUIR
OBSERVAÇÃO
Não sei se deu para perceber, mas até
aqui todos as figuras são,
perfeitamente
DETERMINÍSTICAS!!!!
Conceito de simples  complexo
de Poincaré
Monstros Matemáticos

COMO CONSTRUIR
Incluindo aleatoriedade.
A curva de Koch aleatória
Ângulos aleatórios.
Monstros Matemáticos

COMO CONSTRUIR
Incluindo aleatoriedade.
Arvore aleatória
Ângulos aleatórios.
FractalStr
TÓPICOS
 Era uma vez...
Que são Fractais;
Conceitos;
Fractais e a Natureza;
Monstros Matemáticos;
 Como construir-los;
 Como caracteriza-los;
 Índices Fractais;
Monstros Matemáticos
CARACTERIZANDO
Qual o comprimento da curva de Koch ?
 Mas antes, o que é comprimento ?
L = N() 

Se medimos o N() para diferentes escalas:
50

40
N() = 1/
N()
30
1
0,5
20
10
0,25
N() L
1 1
2 1
4
1
0,125 8
1
0
0,0
0,5
1,0

1,5
2,0
Dimensão Fractal
Fazendo o mesmo para áreas...
L = N()  2
1400
N() = 1/2
1200
1000
800
N()

600
400
200
0
-200
0,0
0,5
1,0

1,5
Dimensão Fractal
70
E para a Curva de Koch ?
Que utilizar? Segmentos ou ladrilhos?
Se utilizamos segmentos
 = 1, N() = 1
50
40
N()

N() = 1/1.26
60
30
20
10
0
0,0
0,5


 = 1/3, N() = 4
 = 1/9, N() = 16
 = 1/27, N() = 64
1
0,333
1,0
N() L
1
1
4
1,3
0,111
16
1,8
0,037
64
2,4
lim L = 
 0
Dimensão Fractal

Juntando tudo...
Topologicamente a curva
de Koch esta entre uma
reta e um plano.
50
Reta
Plano
Koch
40
N()
30
20
Generalizando...
10
0
-10
0,0
N() = 1/D
0,2
0,4
0,6

0,8
1,0
onde D é a dimensão Fractal do objeto
Este método é conhecido como contagem de caixas. (box counting)
Dimensão Fractal

Método de contagem de caixas
•Calcular a dimensão fractal de sua assinatura!!!
•Calcular a dimensão fractal de uma imagem
(programa Robson).
Dimensão Fractal
Porque a Natureza escolheu esta
forma de estruturar-se ?
Resp.: Uma questão de economia!!
Dimensão Fractal
Conceito topológico de Dimensão
“Um objeto é considerado fractal quando
sua dimensão de medida é maior que sua
dimensão topológica e menor que sua
dimensão de imersão”
Hausdorff
Dimensão Fractal

Prática,
Calcular a dimensão fractal de uma bolinha de
papel!!!
Dimensão Fractal

Dever de casa,
Construir um novo Fractal!
Pensar em um método para calcular D para papeis rasgados.