“Nos primeiros tempos o mundo era visto
como algo completamente imprevisível,
governado por divindades caprichosas. A
revolução newtoniana veio depois trazer a
ideia de que é possível prever quase
tudo(…).
Mas podemos estar hoje no inicio de
uma nova oscilação do pêndulo, com
o reconhecimento de que muitas das
regras deterministas mais simples
provocam, afinal, comportamentos
dinâmicos caóticos e imprevisíveis.”
In “Deus joga aos dados?”
Ian Stewart
Na Ciência que herdámos dos nossos
professores e de outros estudiosos o desejo de
compreender fixava-se na busca do simples, do
regular, do equilíbrio estável, do periódico.
No entanto, a Natureza deixou-nos uma herança
que exibe tanto de perfeito, como de irregular,
instável e não periódico.
Muitos foram necessários para que a ciência se
emancipasse e admitisse um novo percurso…
Façamos uma analepse…
Kepler, Galileu, Newton, Leibniz (séculos XVII e XVIII)
Kepler e Galileu iniciam o estudo do comportamento dos
sistemas dinâmicos, com a investigação do movimento dos
planetas.
Newton e Leibniz
Estudando as regularidades dos movimentos
criam o cálculo diferencial
e integral, com base na
ideia de infinitésimo e de
limite.
Não só descrevem leis do mundo
físico e natural, como as formalizam
em teoremas.
Muitos outros foram motivados a desenvolver os
seus estudos e a interpretar fenómenos, tudo no
paradigma do regular, do estável e do periódico.
Depois de árduo estudo com sucesso, a
Natureza aparecia simples,
espantosamente compreensível…
Final do séc. XIX e inicio do séc. XX
Surgem os casos
conhecidos como
patológicos
Curva de Weierstrass
Conjunto de Cantor.
Curva de Peano
Como se constrói a Curva de Peano?
Passo 0: Constroi-se um segmento de recta.
Passo 1: Divide-se esse segmento em três partes iguais.
Passo 2: Sobre o segmento médio, constrói-se um
rectângulo bissectado pelo segmento, formando dois
quadrados com lado igual ao segmento que lhes deu
origem.
Passo 3: Em cada segmento dos nove restantes,
repetem-se os passos 1 e 2, e assim sucessivamente,
até ao infinito.
 No limite a curva de Peano, não é mais
do que uma superfície completamente
preenchida.
Em 1904 Helge von Koch (matemático sueco) exibe mais
uma curva que oculta uma propriedade surpreendente…
…o perímetro infinito delimita uma área finita
Como se constrói da Curva de Von Koch?
Passo 0: Constroi-se um segmento de recta.
Passo 1: Divide-se o segmento em três partes iguais.
Passo 2: Substitui-se o segmento médio por dois
segmentos iguais, de modo a que, o segmento médio
e os dois novos segmentos formem um triângulo
equilátero.
Passo 3: Repete-se os passos 1 e 2 para cada um
dos segmentos obtidos
Passo 4: Repete-se este processo “ad infinitum”.
A curva de Von Koch tem:
 Comprimento infinito;
 Não tem derivada em nenhum dos pontos.
No princípio do século XX, Poincaré apoiado em exemplos da
física e da astronomia verifica que o comportamento, mesmo
sistemas simples, pode ser muito complexo, instável, não-linear.
Nasce a topologia como novo campo de visão para a física e
para a matemática…
Embora seguissem isoladamente, todas estas descobertas
caminhavam no mesmo sentido…
O pensamento determinista mostrou-se falível e inadaptado a muitas
situações reais.
Gaston Julia e Pierre Fatou apresentaram, em 1918, um
trabalho sobre processos iterativos envolvendo números
complexos que mais tarde viriam a ser conhecidos como
“Conjuntos de Julia”;
Todos estes objectos…
…se inserem hoje numa classe mais ampla de objectos denominados fractais.
O que é um fractal?
Termo criado por Benoît
Mandelbrot na década de 70
Para designar objectos
geométricos que nunca perdem
a sua estrutura qualquer que
seja a distância de visão.
Do adjectivo latino
fractus e do verbo
frangere, que
significa quebrar
Objectos autosemelhantes
Mandelbrot classificou-os desta forma por estes possuírem
dimensão fraccionária ou mesmo irracional.
Estamos perante um conceito geométrico para o qual não existe,
até à data uma definição formal.
Um fractal é um objecto gerado a partir de uma fórmula
matemática envolvendo funções reais ou complexas, muitas
vezes simples (como é o caso da quadrática)…
…mas que quando aplicadas de forma iterativa, produzem formas
geométricas abstractas, com padrões complexos que se repetem
infinitamente.
Mas quem é então Mandelbrot?
Matemático polaco
de origem judaico-lituana
acolhido pela secção de
investigação pura da IBM
Ao contrário de outros matemáticos, ele
enfrentava os problemas com a ajuda
da sua intuição para formas e padrões.
Ao estudar os preços do algodão e ao passar os dados para os
computadores da IBM, deparou com o resultado incrível…
Cada variação de preços era casual e imprevisível.
No entanto a sequência das variações era independente das
escalas: as curvas das variações diárias e das variações
mensais combinavam perfeitamente.
Este facto esteve na origem do interesse de Mandelbrot por
objectos auto-semelhantes.
No entanto a maior parte dos objectos com que lidamos no
nosso dia-a-dia não são rectas, nem esferas, nem cones.
“Há alguma razão para a geometria não descrever o formato das
nuvens, das montanhas, das árvores ou da sinuosidade dos
rios? Nuvens não são esferas, montanhas não são cones,
troncos de árvores não são hexágonos e rios não desenham
espirais.”
Benoît Mandelbrot
"As imagens que calculei com a minha teoria matemática
assemelhavam-se curiosamente à realidade: e se eu podia imitar
a natureza, era porque provavelmente teria descoberto um dos
seus segredos..."
Benoît Mandelbrot
As imagens fractais inserem-se essencialmente em duas categorias:
Fractais geométricos
Fractais aleatórios
Fractais geométricos: derivam da geometria tradicional e
constroem-se de forma iterativa a partir de uma figura inicial.
Fractais aleatórios são gerados por computador e resultam
de iterações operadas em funções não lineares reais,
complexas (o tipo mais comum) ou quaterniónicas.
Fractais obtidos através da iteração de números complexos.
Fractais obtidos por computador através da iteração de quaterniões.
Estes possibilitam imagens de uma beleza impressionante,
bem como um vasto leque de aplicações no domínio das artes…
…na indústria cinematográfica,
tornaram-se um meio de
conceber cenários naturais
…na escultura
…na arquitectura
Música baseada no Conjunto de Julia
…na música
CARACTERÍSTICAS DE UM FRACTAL
Um fractal distingue-se por três características fundamentais:
a sua auto-semelhança
a sua
complexidade
infinita
a sua dimensão
A auto-semelhança de um fractal baseia-se no facto de o
conjunto ser constituído por pequenas cópias de si mesmo.
No entanto verificamos que esta afirmação tem limites quando
abandonamos os modelos matemáticos e consideramos objectos
naturais.
Distinguem-se, assim, dois tipos de auto-semelhança: a exacta e
a aproximada (ou estatística).
A auto-semelhança exacta só existe, portanto, no seio da
matemática.
Formalmente, uma figura F, possui auto-semelhança exacta
se, para qualquer dos seus pontos, existe uma vizinhança que
contém uma parte da figura semelhante à totalidade de F.
Relativamente à auto-semelhança aproximada, embora não
seja também real, pois estamos limitados à escala visível,
encontram-se boas aproximações em formas da natureza.
A complexidade infinita advém do facto de o processo gerador dos
fractais ser recursivo, tendo um número infinito de iterações.
Contudo, os objectos da Natureza não são verdadeiramente
fractais, pois eles não possuem auto-semelhança exacta nem
são infinitamente complexos.
Como calcular a dimensão de um fractal?
Considere-se um segmento de recta e
divida-se 4 (=41) partes iguais.
Efectuando um processo semelhante para
cada um do lados de um quadrado obtêm-se
16 (= 42) partes iguais.
Procedendo-se de igual modo para o cubo,
obtêm-se 64 (=43) partes iguais.
Sejam:
R – a razão na qual dividimos cada
segmento da figura (coeficiente de
redução)
N - o número de partes resultante
d - a dimensão
Para a recta (dimensão 1)
N = 1∕R1
 Para o quadrado (dimensão 2)
Para o cubo (dimensão 3)
N = 1∕R2
N = 1∕R3
Generalizando para qualquer dimensão
N = 1∕Rd
Ou seja,
1
N d
R

Logo,
d  log(1/ R) N
Isto é,
ln N
d
ln(1 / R)
1
N  
R
d
Este processo válido para todas as figuras com auto-semelhança
exacta, fractais ou não e…
…confirma o valor da dimensão atribuída pela geometria
euclidiana
Por exemplo, para o cubo
temos
1
R
4
N  64  4
3
3
ln 4
3 log 4
d

3
ln 4
log 4
Geometria Euclidiana versus geometria fractal
““Dois graus de ordem no caos: a ordem euclidiana e a ordem fractal(…)
entre o domínio do caos desregulado e a ordem excessiva de Euclides
existe agora uma nova zona da ordem fractal.”
Mandelbrot
Geometria Euclidiana
Geometria fractal
Mais de 2000 anos
Últimos trinta anos
Baseada em tamanho ou
escala pré-definida
Tamanho ou escala específica
Adequada a objectos
abstractos
Adequada também a formas
naturais
Dimensão inteira {0,1,2,3}
Dimensão real no intervalo
[0,3]
Descrita por fórmulas e
equações
Uso de algoritmos recursivos
Estudo de alguns fractais
Floco de Neve de Koch
O triângulo de Sierpinski
Conjunto de Mandelbrot
Como se constrói o Floco de Neve de koch?
Passo 0: Constrói-se um triângulo equilátero.
Passo 1: Divide-se em três partes iguais cada um dos
lados do triângulo, construindo-se sobre cada um dos
segmentos médios um novo triângulo equilátero.
Passo 2: Repete-se o processo de construção sobre
cada um dos lados da figura obtida anteriormente. E
assim sucessivamente.
Obtém-se assim a seguinte sequência de figuras:
Como varia o número de lados da curva com as
transformações?
Passos
Número de lados
Figura de partida
3
= 3 x 40
1º Transformação
3x4 = 12
= 3 x 41
2º Transformação
12x4 = 48
= 3 x 42
3º Transformação
48x4 = 192 = 3 x 43
4º Transformação
192x4 = 768 = 3 x 44
...
….
 O número de lados de cada figura em função do número de transformações
é dado por:
n
n
L  3 4
 O Floco de Neve tem um número infinito de lados.
Como é que varia o comprimento dos lados da curva com
as transformações?
Suponhamos que o lado do triângulo inicial vale uma unidade.
Passos
Medida de cada lado
Figura de partida
1
1º Transformação
1/3 = 1/3 = 3-1
2º Transformação
1/9 = 1/32 = 3-2
3º Transformação
1/27 = 1/33 = 3-3
4º Transformação
1/81 = 1/34 = 3-4
….
...
 A medida dos lados de cada figura em função do número de transformações é
dado por:
n
Mn  3
A medida de cada lado da curva tende para zero.
Como varia o perímetro da curva em função do número de
transformações?
Sabemos que:
Ln  3 4
n
M n  3 n
e
Definindo a sucessão dos perímetros Pn à custa das duas sucessões
anteriores, obtemos:
4
Pn  Ln  M n  (3  4 )  (3 )  3   
3
n
n
 O perímetro do floco de neve é infinito.
n
Qual é a área do floco de neve de Koch?
• Considerando que a área do triângulo inicial que serve de ponto de
partida para a construção da curva de Koch tem uma unidade de
medida.
 A área do Floco de Neve de Koch é:
 inferior à área do hexágono
 está compreendida entre 1 e 2.
Qual o valor exacto da área do Floco de Neve?
 A área do polígono, em cada passo, obtém-se adicionando à área
do polígono do passo anterior a área de um triângulo equilátero, cujo
lado é 1/3 do anterior, multiplicada tantas vezes quantas o número de
lados do polígono anterior.
A0  1
1
1
A1  1     3  1 
3
9
2
1 1
1 1 4
A 2  1      (3  4)  1   
3 9
3 3 9
.......
2
n
1 1 4 1 4
1 4
1 4
A n 1  1               1    
3 3 9 3 9
3 9
3 9
n
Então An+1 = 1 + Sn com
4
1 
1
9
Sn    
4
3
1
9
n
Calculando o limite de Sn quando n tende para infinito tem-se:
3
lim S n 
5
A área do Floco de Neve de Koch é:
3
lim A n 1  lim (1  Sn )  1   1,6
n 
n 
5
Qual é a dimensão do Floco de Neve de Koch?
 O coeficiente de redução é 1/3.
1
R
3
 O número de partes iguais obtidas em cada segmento
de recta é 4.
Então,a dimensão do Floco de Neve é dada por:
log 4
d
 1,26
log 3
N4
Em suma:
 À medida que se vão fazendo transformações o número de
lados da curva aumenta, mas o comprimento de cada um deles
diminui.
 A curva vai ter um número infinito de lados.
A medida de cada lado da figura tende para zero.
O perímetro é infinito.
A área é limitada é 1,26.
 Dimensão do floco de neve.
 O Floco de Neve de Koch possui auto-semelhança exacta.
Como se constrói o triângulo de Sierpinski?
Passo 0: Constrói-se um triângulo equilátero (sólido);
Passo 1: Determina-se os pontos médios de cada um dos
lados de um triângulo e unem-se por segmentos esses
pontos médios. Considera-se os 4 triângulos resultantes e
retira-se o triângulo central. Ficamos assim com 3
triângulos sólidos;
Passo 2 – Aplica-se o procedimento anterior a cada um
dos 3 triângulos resultantes. Obtemos 9 triângulos
sólidos;
...
Passo N – Aplica-se o procedimento descrito no
passo 2 a cada um dos triângulos sólidos obtidos no
passo N-1, até ao infinito. Obtém-se assim o Triângulo
de Sierpinski.
O triângulo de Sierpinski é a figura limite do processo:
Qual a área do Triângulo de Sierpinski?
Passo 0
Área  A
Passo 1
Área  3  A
4
2
Área  3  3  A  3  A
4
4
4
2
3


Área  3   3  A   3  A
4  4
4

Passo 2
Passo 3
...
Passo n

  
 
 
 4  A
Área  3
n
 A área do Triângulo de Sierpinski tende para zero.
Como varia o perímetro da figura com as transformações?
O número de triângulos sólidos em cada passo da construção é
dado por:
Tn  3
n
Passo 0
Perímetro  P
Passo 1
Perímetro  3  P  3  3  P
6
2
2
2
Perímetro  3  P  3  3  P
12
2
3
3
Perímetro  3  P  3  3  P
24
2
Passo 2
Passo 3
 
 
 2  P
Perímetro  3
n
 O perímetro do Triângulo de Sierpinski tende para infinito.
Qual a dimensão do Triângulo de Sierpinski?
 O coeficiente de redução é 1/2.
1
R
2
 O número de triângulos obtidos é o triplo do passo anterior.
Então, a dimensão do Triângulo de Sierpinski é dada por:
log 3
d
 1,59
log 2
 O Triângulo de Sierpinski possui auto-semelhança exacta.
N 3
Triângulo de Sierpinski
e o Triângulo de Pascal
Em suma:
 A área do Triângulo de Sierpinski tende para zero.
 O perímetro tende para infinito.
 A dimensão é 1,59.
 Possui auto-semelhança exacta.
Como se constrói o conjunto de Mandelbrot?
 É obtido quando submetemos os números complexos ( a+bi, a,b
reais, i constante imaginária ) a um processo iterativo.
 A nossa construção começa com um número complexo (um ponto
do plano) a partir do qual criamos uma sequência infinita de números
(pontos) que dependem do número inicial;
 Esta sequência de números chama-se SEQUÊNCIA DE
MANDELBROT.
 Atribuímos a cor a um número complexo Z= a+ib, qualquer, que vai
ser desenhado como um ponto (a,b) do plano.
Comecemos o processo iterativo:
Zn1  Zn  W
2
,w nº complexo constante
Observando o comportamento de Zn+1, ou seja, do seu módulo
| Zn+1 |, temos as seguintes possibilidades:
• |Zn| mantém-se sempre finito - Atribui-se a cor preta a z.
•
|Zn| tende para infinito - Atribuem-se diferentes cores a z,
dependendo do comportamento de |Zn|. A classificação é definida
por quem desenha o fractal.
Um possível critério:
Cores quentes se divergir lentamente
Pontos de Divergência
Cores frias se divergir rapidamente
Pontos de Periodicidade
Ponto negro
Pontos de Convergência
Como resultado de um processo iterativo obtemos:
Sucessivas ampliações do conjunto de Mandelbrot…
Feedback
 «O que foi feito uma vez pode sempre ser repetido » , Louise
B.Young.
Em termos gerais o feedback surge quando uma porção do output
retorna ao input.
Exemplos
• Rock, Medicina, Psicologia, Bioquímica
• No mundo matemático, feedback está geralmente associado ao
resultado de uma «iteração» ou «recursão»
Exemplificando...
 Se numa calculadora digitarmos 0.5 e pressionarmos repetidamente
x2, aparecer-nos-ão os seguintes números:
 0.5 ; 0.25 ; 0.0625 ; 0.00390625 ...
Que correspondem a, respectivamente:
x0 ; f(x0) ; f(f(x0)) ; f(f(f(x0))) ...
Mas o feedback pode produzir resultados bem mais
interessantes...
Conjunto de Julia z= z2+c ( c=-1+0i )
Pontos Periódicos
 O conceito de ponto peródico bastante comum no nosso
vocabulário.
 Por exemplo todos nós já ouvimos falar que o cometa Halley tem
um período de aproximadamente 76 anos.
O que é matematicamente, um ponto periódico?
• Definição:
Seja x0 um ponto do domínio de f. Então x0 é n- periódico se :
f(x0) = x0
e,
x0, f(1)(x0), f(2)(x0), ... , f(n)(x0)
são distintos.
Se x0 tem período
n, então a
órbita
{x0, f(1)(x0), f(2)(x0), ... , f(n)(x0)}
é uma orbita periódica e é chamada de n- ciclo.
Exemplo:
Seja T definida por
2x
para
0  x  1/2
T(x)=
2-2x para 1/2 x  1
para mostrar que {2/7, 4/7, 6/7} é um 3- ciclo para T basta ver que
T(2/7)= 4/7, T(4/7)= 6/7 e T(6/7)= 2/7.
Três padrões distintos de comportamento iterativo, no
batimento cardíaco.
Exemplo ilustrativo do comportamento cardíaco e cerebral de um gato.
ECG antes da dose de cocaína
EEG antes da dose de cocaína
ECG depois da dose de cocaína
EEG depois da dose de cocaína
CAOS
O que é?
Dependência das condições iniciais
• O estudo da Teoria do caos assenta basicamente no estudo dos
fenómenos de dependência sensível das condições iniciais .
• Isto significa que se mudarmos ligeiramente um parâmetro
podemos obter um resultado / comportamento muito diferente do
esperado.
Definição
• Seja J um intervalo , f: J  J uma aplicação . Então f
tem dependência sensível nas condições iniciais em x ,
ou apenas dependência sensível em x se existir um
>0 tal que para cada >0 , existe um y J e nN tal
que
|x-y|<  e |f(n)(x) - f(n)(y)|>  .
EFEITO BORBOLETA
 Muito da teoria do caos se deve à tentativa de compreender o
comportamento da atmosfera terrestre.
 Actualmente, os meteorologistas estão a usar o caos para avaliar e
prever as alterações climáticas e estados do tempo com alguma
segurança.
• A pesquisa matemática está a desenvolver modelos que ajudarão
fazer previsões cada vez mais longas e precisas.
• Exemplo: previsões sazonais das chuvas das monções, mudanças
no clima como resultado das actividades humanas, tais como o
efeito de estufa.
• No entanto sabemos que a atmosfera é um sistema caótico que é em
muitas situações imprevisível.
• Assim, são as tentativas de previsão do tempo a longa escala e da
alteração do clima um desperdício do tempo?
• Devemos nós satisfazermo-nos com a previsão dada pela televisão ?
Ilustração do efeito borboleta
(a) - Condições iniciais para oito
previsões climatéricas.
(b) - Previões do estado do tempo,
uma semana depois das condições
iniciais
• Em (a) reflecte-se as condições iniciais idênticas para a previsão do
tempo .
• Em (b), uma semana depois, o modelo computacional mostra um
mudança abrupta nas condições do tempo.
• Esta é uma ilustração realista da dependência das condições
iniciais. A partir daqui podemos compreender a dificuldade que os
meteorologistas têm em fazer longas previsões, e o porquê dos
seus frequentes erros.
• O caos encontra-se num sistema dinâmico se dois pontos
inicialmente próximos divergem exponencialmente ao longo das
várias iterações.
• O seu comportamento futuro pode ser imprevisível.
Definição (Caos)

Uma função f é caótica se satisfaz a condição:
f tem dependência sensível nas condições iniciais em
todos os valores do seu domínio.
São fractais e caos sinónimos ?
Não.
Fractais e caos determinístico são ferramentas matemáticas
que modelam diferentes tipos de fenómenos.
Muitos fractais não são caóticos
Sierpinsky, curva de Koch,…)
(triângulo
de
Mas existem factores comuns, pois muitos fenómenos
caóticos têm estruturas fractais.
Como por exemplo no gráfico:
CAOS E LINGUAGEM DOS FRACTAIS NO ENSINO
SECUNDÁRIO
“A grande força da Matemática é a sua capacidade para
construir estruturas complexas, a partir de algumas ideiaschave simples. Assim que surge o esqueleto de uma tal
estrutura, cada novo bocado pode ser acrescentado no
lugar certo. Sem haver a percepção do esqueleto, os
bocados jazem dispersos e indevidamente avaliados.
Temos, agora, o esqueleto de uma teoria dos Fractais. O
desafio para os matemáticos do próximo século será
moldar a carne para esses já fascinantes ossos”.
Ian Stewart
No ensino secundário, 11º ano e/ou 12º, os tópicos caos e
fractais são facultativos.
Porquê abordar fractais e caos no secundário?
O universo dos fractais e caos é uma nova e rica área
interdisciplinar que proporciona uma maneira diferente de olhar
para a natureza.
Os Fractais poderão contribuir para despertar os alunos
para a beleza e utilidade da Matemática.
Quer a geometria fractal, quer a teoria do caos constituem
um tema por excelência para invocar a importância da
matemática nas tecnologias informáticas e vice-versa
Quando abordados, é de forma superficial, com o objectivo de
que o aluno tenha uma noção intuitiva dos temas. Uma boa forma
de o fazer é através de…
…exemplos na vida quotidiana:
1. Suponhamos que temos alguns berlindes e
resolvemos atirá-los ao chão.
Depois de um algum tempo
os berlindes param nas
suas posições.
Agora junte os
berlindes e repita a
experiência.
Será que os berlindes se
irão posicionar
exactamente como na vez
anterior?
É esperado que
não.
Mesmo que tentemos atirá-los da mesma
posição não conseguiremos ter precisão
suficiente para posicioná-los correctamente.
2. O trânsito é outro exemplo. Mesmo assim, o número de
variáveis é grande e o comportamento do sistema depende muito
das condições iniciais. Nunca se sabe quando o trânsito está bom
ou mau.
Já observou que há dias em que o
congestionamento é maior?
É bem provável que o transtorno tenha sido
causado por um carro acidentado, ou operação
stop, ou uma via paralisada por um veículo ter
derramado combustível.
O número de variáveis é grande e o comportamento do
sistema depende muito das condições iniciais.
Nunca se sabe quando o trânsito está bom ou mau.
Outro exemplo que se pode referir é o ”Efeito Borboleta” …
“O bater das asas de uma borboleta na China
pode causar um furacão no Texas”
…por ser de compreensão imediata.
O primeiro estudo do caos na ecologia foi sobre o
acompanhamento temporal de evoluções de abelhas,
borboletas, pássaros raros etc.
Esta é uma situação real e fundamental para os ambientalistas.
As leis que governam tais populações são muito variadas, e no
conjunto delas, existe uma simples equação logística, cuja expressão
matemática é:
xn1  axn (1  xn )
A teoria do e a geometria fractal transcendeu a ciência e mexeu
com a imaginação popular.
Alguns exemplos disso são os filmes “Butterfly Effect”, Cidade de
Deus e “Jurassic Park”.
Neste último a teoria do caos é utilizada para explicar porque os
dinossauros poderiam fugir ao controle de seus criadores. ou seja,
sistemas aparentemente simples e seguros, podem de repente
apresentar um comportamento caótico e imprevisível.
Mas, não é só em Hollywood que essa teoria é aplicada.
Podemos facilmente encontrar outros exemplos: na natureza, um rio
calmo que se transforma num remoinho de um minuto para outro; em
nosso dia-a-dia, a fumaça do cigarro que se eleva em linha recta, mas
de repente aumenta de velocidade e forma círculos; no corpo humano,
o aparelho digestivo que apresenta ondulações dentro de ondulações,
os alvéolos pulmonares, o sistema urinário e o sistema circulatório são
considerados fractais.
Actividades sugeridas
1. Construção um cartão
fractal:
a) Dobre uma folha A4 ao
meio;
b) Faça cortes de comprimento a/2 a
um quarto de cada lado;
c) Dobremos ao longo do segmento
produzido pelos dois cortes;
d) Repita o processo de cortar e
dobrar enquanto possível;
e) Finalmente, abra as
dobras e empurre o fractal;
Figura final:
Exemplo de fractais tridimensionais:
CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS
SUCESSÕES:
 Definição e diferentes formas de representação;
Estudo de propriedades: monotonia e limitação;
Progressões aritméticas e geométricas: termo
geral e soma de n ternos consecutivos;
LIMITES
Infinitamente grandes e infinitamente
pequenos;
Limites de sucessões e convergência;
A convergência das sucessões
monótonas e limitadas;
Problemas de limites com
progressões.
COMPETÊNCIAS DESENVOLVIDAS:
Aplicação de conteúdos a situações
problemáticas reais;
Estabelecimento de conexões entre a
matemática e outras disciplinas (economia,
meteorologia, biologia e etc.)
Uso da calculadora e do
computador
Finalização
A matemática é uma
estrutura de
conhecimentos
inteligentes e dinâmicos;
Quando bem articulada, pode
prever o futuro de certos
comportamentos, o que torna, a
nós matemáticos, especiais e
diferenciados;
Não devemos continuar a
insistir apenas em fórmulas
nas nossas aulas. Não resolve.
Quanto à pergunta do aluno: para
que serve isto, professor (a)?
Serve para…, foi desenvolvido em…, pelo
matemático…, no ano de …, tinha como finalidade…,
pois em sua época…, enquanto hoje podemos aplicar
em…
Esta sequencia fascina o aluno, pois são
respostas, argumentos, de que ele precisa
para “sacrificar” sua juventude em cima dos
livros.
Prof. Aguinaldo Prandini Ricieri.
“ Houve quem criticasse a matemática por falta de
contacto com a realidade.
A história do caos é apenas uma das muitas que se desenrolam
correntemente e que mostram que esta crítica é descabida.
É como criticar um pulmão por não bombear
sangue”.
Deus joga aos dados?
Ian Stewart